Simsonova přímka

Simsonova přímka je přímka procházející základnami kolmiček ke stranám trojúhelníku z bodu na jeho kružnici opsané. Jeho existence se opírá o Simsonovu větu .

Simsonova věta

Základny kolmiček spadlých z libovolného bodu opsané kružnice trojúhelníku na jeho strany nebo jejich prodloužení leží na téže přímce. Tato linie se nazývá Simsonova linie [1] . $P$ $ABC$

Platí i obrácené tvrzení: leží-li základny odvěsnic, pokleslé z bodu na strany trojúhelníku nebo jejich prodloužení, na stejné přímce, pak bod leží na kružnici opsané trojúhelníku. $P$ $ABC$ $P$

Historie

Objev této linie byl dlouho připisován Robertu Simsonovi (1687-1768), ale ve skutečnosti ji objevil až v roce 1797 skotský matematik William Wallace . Proto se spolu s tradičním názvem této přímky často používá historicky spravedlivější název: „Wallaceova přímka“ . [2]

Vlastnosti

Dovolit být ortocentrum trojúhelníku . Potom Simsonova čára libovolného bodu na kružnici opsané trojúhelníku půlí úsečku v bodě ležícím na kružnici o devíti bodech . $H$ $ABC$ $P$ $ABC$ $PH$

Jestliže P a Q jsou body na kružnici opsané, pak úhel mezi Simsonovými přímkami bodů P a Q je roven polovině úhlu oblouku PQ .
- Konkrétně, pokud jsou 2 body na opsané kružnici diametrálně odlišné, jejich Simsonovy přímky jsou kolmé, v takovém případě průsečík 2 kolmých Simsonových přímek také leží na devítibodové kružnici . V tomto případě budou druhé průsečíky 2 kolmých čar Simsona s kružnicí o devíti bodech konce průměru poslední kružnice.

Pro dva dané trojúhelníky se stejnou kružnicí opsanou je úhel mezi Simsonovými přímkami bodu P na kružnici pro oba trojúhelníky nezávislý na P .

Simsonova přímka a Morleyův trojúhelník

Na kružnici opsané trojúhelníku jsou přesně tři body , takže jejich Simsonova čára je tečnou k Eulerově kružnici trojúhelníku a tyto body tvoří pravidelný trojúhelník . Strany tohoto trojúhelníku jsou rovnoběžné se stranami Morleyova trojúhelníku . $ABC$ $ABC$

Simsonova linie a Steinerova linie

Body symetrické k bodu P na kružnici opsané vzhledem ke stranám trojúhelníku leží na stejné přímce procházející ortocentrem. Tato přímka ( Steinerova přímka ) je rovnoběžná se Simsonovou přímkou a přechází do ní pod stejnoměrností s koeficientem 1/2

Simsonova linie a Feuerbachův bod

Feuerbachův bod , tj. tečný bod kružnice nebo kružnice s kružnicí o devíti bodech, je průsečíkem dvou Simsonových přímek konstruovaných pro konce průměru kružnice opsané procházející odpovídajícím středem vepsané nebo kružnice. [3] .
- Zejména Feuerbachovy body mohou být konstruovány bez použití odpovídající incircle nebo excircle a Eulerovy kružnice tečné k nim .

Simsonova linie a deltoid

Obálka Simsonovy rodiny čar daného trojúhelníku je deltoid - tzv. Steinerův deltoid .
- Jacob Steiner objevil deltoid jako částečnou hypocykloidu , která je popsána libovolným pevným bodem kruhu, který se bez skluzu kutálí uvnitř kruhu o 3krát větším průměru. A to, že množina všech možných Simsonových čar, které lze pro daný trojúhelník nakreslit, má obálku ve tvaru deltoidu, objevil asi před 100 lety a vůbec ne Steiner [4] .

Simsonova linie a orthopol

Leží -li orthopol na Simsonově přímce, pak je jeho přímka ℓ k ní kolmá [5] .
Pokud přímka ℓ ortopolu protíná kružnici opsanou trojúhelníku ve dvou bodech P a Q , pak samotný orthopol leží v průsečíku dvou Simsonových přímek posledních dvou bodů P a Q. [6]
Pokud je přímka ℓ orthopólu Simsonova přímka bodu P , pak se bod P nazývá pól Simsonovy přímky ℓ [5]

Simsonova rovnice přímky

Umístěním trojúhelníku na komplexní rovinu předpokládejme, že trojúhelník ABC je vepsán do jednotkové kružnice a má vrcholy, jejichž komplexní souřadnice jsou a , b , c , a nechť P s komplexní souřadnicí p je bod na kružnici. Potom je Simsonova linie popsána následující rovnicí na z : [7] $2abc{\bar {z}}-2pz+p^{2}+(a+b+c)p-(bc+ca+ab)-{\frac {abc}{p}}=0,$

kde overbar označuje komplexní konjugaci .

Variace a zobecnění

Žádný konvexní mnohoúhelník s alespoň 5 stranami nemá Simsonovu čáru. [osm]
Jsou-li přímky vedeny z daného bodu opsané kružnice trojúhelníku v daném orientovaném úhlu ke stranám, pak budou tři získané průsečíky ležet na jedné přímce. $P$ $ABC$
Simsonovu přímku lze definovat pro jakýkoli vepsaný -úhelník indukcí takto: Simsonova přímka bodu vzhledem k danému -úhelníku je přímka obsahující průměty bodu na Simsonovy přímky všech -úhelníků získaná odstraněním jednoho vrcholu -gon . $n$ $P$ $n$ $P$ $(n-1)$ $n$
Lososova věta
Poderův trojúhelník - trojúhelník, jehož vrcholy jsou základnami kolmiček spadlých z bodu na strany trojúhelníku; v případě, kdy bod leží na kružnici opsané, subdermální trojúhelník degeneruje a jeho vrcholy leží na Simsonově čáře.

Nechť ABC je trojúhelník a přímka ℓ (na obrázku zelená) prochází středem X 3 kružnice opsané a bod P leží na kružnici. Nechť AP, BP, CP protne přímku ℓ v bodech A p , B p , C p , resp . Nechť A 0 , B 0 , C 0 jsou průměty bodů A p , B p , C p na přímky BC, CA, AB . Pak 3 body A 0 , B 0 , C 0 jsou kolineární body , to znamená, že leží na jedné přímce. Navíc přímka, která jimi prochází, současně prochází středem úsečky PH , kde H je ortocentrum trojúhelníku ABC . Pokud ℓ prochází přes P , pak se čára bude shodovat se Simsonovou čárou. [9] [10] [11]

Příklady

Simsonova přímka Steinerova bodu trojúhelníku je rovnoběžná s přímkou a Simsonova přímka Tarryho bodu je kolmá k přímce , kde je střed opsané kružnice a je průsečíkem tří simediánů ( bod Lemoine ) trojúhelníku . $ABC$ $OK$ $OK$ $Ó$ $K$ $ABC$

Poznámky

↑ Coxeter G. S. M., Greitzer S. P. Nová setkání s geometrií. - M .: Nauka, 1978. - T. 14. - (Knihovna matematického kroužku).
↑ Historie Gibsona 7 - Robert Simson (30. ledna 2008). Získáno 2. října 2019. Archivováno z originálu dne 9. října 2016. (neurčitý)
↑ Vysokoškolská geometrie: Úvod do moderní geometrie trojúhelníku a kruhu. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Poznámka. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Archivováno 30. června 2020 na Wayback Machine
↑ Savelov, 1960 .
↑ 1 2 Orthopole (21. ledna 2017). Staženo 22. června 2020. Archivováno z originálu dne 22. června 2020. (neurčitý)
↑ Vysokoškolská geometrie: Úvod do moderní geometrie trojúhelníku a kruhu. Nathan Altshiller-Court. (Odstavec: G. Orthopole. Položka. 697. Věta. Obr. 155. S.289-290). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 s.
↑ Todor Zaharinov, „Simsonův trojúhelník a jeho vlastnosti“, Forum Geometricorum 17 (2017), 373-381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf Archivováno 7. října 2020 na Wayback Machine
↑ Tsukerman, Emmanuel. O mnohoúhelnících Přijetí Simsonovy linie jako diskrétních analogů parabol // Forum Geometricorum : deník. - 2013. - Sv. 13 . - S. 197-208 .
↑ Zobecnění Simson Line . Cut-the-knot (duben 2015). Staženo 2. října 2019. Archivováno z originálu dne 28. srpna 2019. (neurčitý)
↑ Nguyen Van Linh (2016), Další syntetický důkaz Daova zobecnění Simsonovy věty o přímce , Forum Geometricorum vol . 16:57–61 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201608.pdf > Archi 22, 2018 na Wayback Machine
↑ Nguyen Le Phuoc a Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 Syntetický důkaz Daova zobecnění Simsonovy věty o přímce. The Mathematical Gazette, 100, s. 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77. Archivováno 19. srpna 2016 na Wayback Machine The Mathematical Gazette

Literatura

Savelov A. A. Rovinné křivky. Systematika, vlastnosti, aplikace (Referenční příručka) / Ed. A.P. Norden. - M .: Fizmatlit, 1960.
V. Berezin. Deltoid // Kvant . - 1977. - č. 3 . - S. 19 . (Ruština)
EH Lockwood. Chapter 8: The Deltoid // Kniha křivek (neopr.) . — Cambridge University Press , 1961.
Vysokoškolská geometrie: Úvod do moderní geometrie trojúhelníku a kruhu. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p . doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false.— P. 140-149 , 158, 165, 252, 273, 284, 288, 289

Odkazy

Simson Line na cut-the-knot.org
FM Jackson a Weisstein, Eric W. Simson Line (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Zobecnění Neubergovy věty a Simson-Wallaceova linie v Dynamic Geometry Sketches , interaktivní dynamické geometrické skice.

Trojúhelník
Typy trojúhelníků	Obdélníkový Rovnoramenné Rovnostranný Rovnoramenné obdélníkové
Nádherné linie v trojúhelníku	Medián Výška Bisector Středověký střední čára Opsané a vepsané kružnice Simsonova přímka Eulerova linie Simediana Cheviana
Pozoruhodné body trojúhelníku	Ortocentrum Centroid Střed Brocard bod Vecten bod Bod Gergonne Lemoine bod Miquel bod Nagelův bod Napoleon body Body Torricelliho Devítibodový střed kruhu Spiekerovo centrum Encyklopedie trojúhelníkových center
Základní věty	trojúhelníková nerovnost Znaky podobnosti trojúhelníků Řešení trojúhelníků Věta o vnějším úhlu trojúhelníku Věta o součtu úhlů o trojúhelníku Pythagorova věta Kosinová věta Sinusová věta Projekční teorém Heronův vzorec
Dodatečné věty	Van Obelova věta Meneláův teorém Reuschleova (Terkemova) věta Stewartova věta Věta tečny Kotangensová věta Cevova věta Mollweideovy vzorce
Zobecnění	sférický trojúhelník hyperbolický trojúhelník Simplexní