Bod Gergonne

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 17. května 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Bod Gergonne
Trojúhelník ΔABC, s vepsanou kružnicí (modrá), středem vepsané kružnice I, červeným trojúhelníkem tvořeným tečnými body T a , T b a T c a bodem Gergonne (zelená, Ge)
barycentrické souřadnice	${\frac {1}{-a+b+c)):{\frac {1}{a-b+c):{\frac {1}{a+bc))$
Trilineární souřadnice	${\frac {bc}{-a+b+c}}:{\frac {ac}{a-b+c}}:{\frac {ab}{a+bc}}$
ECT kód	X(7)
Spojené tečky
izotomicky konjugované	Nagelův bod
další	mittenpunkt

Gergonnův bod - průsečík úseček spojujících vrcholy trojúhelníku s body dotyku protilehlých stran kružnice vepsané .

Obvykle se značí , , nebo . $Ge$ $G$ $J$ $K$

Vlastnosti

Gergonnův bod je Lemoinův bod trojúhelníku tvořený body dotyku stran trojúhelníku s vepsanou kružnicí.
Gergonnův bod je izotomicky konjugován s Nagelovým bodem .
Gergonnův bod je izogonálně konjugován se středem negativní homothety incircle a opsané kružnice .
Druhá mocnina vzdálenosti od bodu Gergonne ke středu vepsané kružnice je

$L^{2}=r^{2}-{\frac {3p^{2}r^{2}}{(4R+r)^{2}}}$

Druhá mocnina vzdálenosti od Gergonnova bodu ke středu opsané kružnice je

${\displaystyle L^{2}=R^{2}-{\frac {4p^{2}r(R+r)}{(4R+r)^{2))))$

Gergonnův bod leží uvnitř otevřeného ortocentroidního kruhu s proraženým středem. [jeden]
Kompletní sadu vlastností Gergonne bodu najdete v Dekovově článku. [2]

Gergonnův trojúhelník

Gergonnův trojúhelník pro hlavní trojúhelník ABC je definován třemi styčnými body vepsané kružnice jeho tří stran. Označme tyto vrcholy jako T A , T B a T C . Bod T A leží naproti vrcholu A . Tento Gergonnův trojúhelník T A T B T C je také známý jako tečný trojúhelník trojúhelníku ABC .

Vlastnosti

Tři přímky AT A , BT B a CT C se protínají v jednom bodě - Gergonnově bodě a jsou označeny Ge - X(7) .
Gergonnův bod trojúhelníku je průsečíkem symmediánů Gergonnova trojúhelníku .
Nechť jsou styčné body kružnice vepsané do daného trojúhelníku spojeny úsečkami, pak vyjde Gergonnův trojúhelník a do výsledného trojúhelníku se zakreslí výšky. V tomto případě jsou čáry spojující základny těchto výšek rovnoběžné se stranami původního trojúhelníku. Proto jsou ortotrojúhelník Gergonnova trojúhelníku a původního trojúhelníku podobné.
Gergonnův trojúhelník (pro trojúhelník ABC ) je podtrojúhelník pro střed v trojúhelníku ABC .

Viz také

Historie

Gergonnův bod objevil Joseph Diaz Gergonne (Joseph Diaz Gergonne, 19. 6. 1771 - 4. 5. 1859) na počátku 19. století .

Poznámky

↑ Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. Umístění středů trojúhelníků // Forum Geometricorum. - 2006. - Vydání. 6 . - S. 57-70. .
↑ Deko Děkov. Počítačem generovaná matematika: Gergonnův bod // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. - 2009. - T. 1 . — S. 1–14. . Archivováno z originálu 5. listopadu 2010.