Ortocentroidní kruh

Ortocentroidní kruh rovnostranného trojúhelníku  je kruh postavený na segmentu spojujícím jeho orthocenter a těžiště , jako na průměru . Tento průměr také obsahuje střed opsané kružnice a střed kruhu devíti bodů trojúhelníku a je součástí Eulerovy čáry .

Guinand (1984) ukázal, že střed trojúhelníku musí ležet uvnitř ortocentroidního kruhu , ale nesmí se shodovat se středem devíti bodů ; to znamená, že musí spadnout do otevřeného ortocentroidního disku se středem devíti bodů vyřezaných uvnitř [1] [2] [3] [4] [5] :pp. 451–452 .

Navíc [2] , Fermatův bod , Gergonnův bod a Lemoinův bod leží v otevřeném ortocentroidním disku s vlastním středem vyříznutým uvnitř (a může být v kterémkoli bodě uvnitř něj), zatímco druhý Fermatův bod je vně ortocentroidní kruh (a může být i kdekoli mimo). Možné polohy prvního a druhého Brokarova bodu jsou také v otevřeném ortocentroidním disku [6] .

Druhá mocnina průměru ortocentroidní kružnice je [7] :p.102 kde a , b a c jsou délky stran trojúhelníku, D  je průměr kružnice opsané .

Poznámky

  1. ↑ Guinand, Andrew P. (1984), Eulerovy čáry, tritangentní centra a jejich trojúhelníky, American Mathematical Monthly T. 91 (5): 290–300  .
  2. ↑ 1 2 Bradley, Christopher J. & Smith, Geoff C. (2006), Umístění středů trojúhelníků , Forum Geometricorum sv. 6: 57–70 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html > Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine . 
  3. ↑ Stern, Joseph (2007), Eulerův problém určování trojúhelníku , Forum Geometricorum vol . 7: 1–9 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200701.pdf > Archivováno 26. října 2021 na Wayback Machine . 
  4. ↑ Franzsen, William N. (2011), Vzdálenost od středu k Eulerově linii , Forum Geometricorum vol. 11: 231–236 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126index.html > Archivováno z října 22, 2021 na Wayback Machine . 
  5. ↑ Leversha, Gerry & Smith, GC (listopad 2007), Euler a geometrie trojúhelníku, Mathematical Gazette vol. 91 (522): 436–452  .
  6. ↑ Bradley, Christopher J. & Smith, Geoff C. (2006), Umístění bodů Brocard , Forum Geometricorum sv . 6: 71–77 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200608index.html > Archivováno 4. března 2016 na Wayback Machine . 
  7. ↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).