Průměr

Průměr ( fr. diamètre z lat. diametrus z jiného řeckého διάμετρος - průměr [1] ) - úsečka spojující dva body na kružnici a procházející středem kružnice, stejně jako délka této úsečky. Průměr se rovná dvěma poloměrům .

Obecně platí , že průměr obrazce (sady) je maximální vzdálenost mezi body tohoto obrazce (sady), nebo přesná horní hranice všech možných vzdáleností, pokud maximum neexistuje.

Průměr geometrických tvarů

Průměr je tětiva ( úsečka spojující dva body) na kružnici ( koule , povrch koule ) procházející středem této kružnice (koule). Průměr se také nazývá délka tohoto segmentu. Průměr kruhu je tětiva procházející jeho středem; takový akord má největší délku. Největší průměr se rovná dvěma poloměrům .

Symbol průměru

Ve strojírenské grafice a technických specifikacích se průměr obvykle označuje symbolem [2] . Symbol průměru je uveden v Unicode ( znak průměru U+ 2300 ⌀ ) [3] , a přestože se nenachází ve standardním rozložení klávesnice , lze jej zadat z klávesnice:

v HTML jako ⌀nebo⌀
v LaTeXu je k jeho zobrazení určen příkaz \diameterz balíčku wasysym
v aplikaci Microsoft Word lze ke znaku přistupovat zadáním 2300a stisknutím tlačítka Alt+X
ve Windows pomocí Alt-code Alt + 8960(v anglickém rozložení)
na systémech používajících X Window System ( Unix / Linux / ChromeOS atd.) pomocí kombinace Ctrl+ ⇧ Shift+ u 2300Пробелnebo pomocí klávesy Compose postupným stisknutím Composedi[4 ] .

Symbol lze také najít a zkopírovat v aplikacích a nástrojích, jako je „tabulka znaků“, například:

ve Windows - Tabulka znaků
v programech z balíku Microsoft Office - nabídka "Vložit" → "Symbol ..."
v macOS - Paleta/Prohlížeč znaků (nazývaný ⌥ Opt+ ⌘ Cmd+ T)
v GNOME , Mapa znaků GNOME (dříve gucharmap).

V mnoha případech se symbol průměru nemusí zobrazit, protože je ve fontech obsažen jen zřídka (je přítomen například v Arial Unicode MS (dodáváno s Microsoft Office, po instalaci se nazývá „Universal Font“), DejaVu ( zdarma ) , Code2000 ( podmíněně zdarma ) a některé další), a proto se místo nich často používají jiné znaky podobného stylu. Například v AutoCAD CADu je místo symbolu průměru použit symbol prázdné sady ( U+ 2205 ∅ prázdná sada ), zadaný kombinací (písmeno - latinka) nebo v textovém řádku. Zaměnitelnost těchto znaků se odráží i ve standardech konsorcia W3C [5] . Také písmeno Ø dánsko-norské abecedy se často používá jako náhražka . %%cc\U+2205

Konjugované průměry elipsy a hyperboly

Konjugované průměry elipsy

Průměr elipsy je libovolná tětiva procházející jejím středem. Konjugované průměry elipsy jsou párem jejích průměrů, které mají následující vlastnost: středy tětiv rovnoběžné s prvním průměrem leží na druhém průměru. V tomto případě leží středy tětiv paralelně s druhým průměrem také na prvním průměru.

Obrázek ukazuje pár průměrů konjugátu (červený a modrý). Pokud v průsečíku průměru s elipsou nakreslíme přímku rovnoběžnou se sdruženým průměrem, pak bude přímka tečnou k elipse a čtyři takové tečny ke všem čtyřem koncům dvojice sdružených průměrů elipsy vytvořte rovnoběžník popsaný v blízkosti elipsy (zelené čáry na obrázku).

Vzdálenosti a od každého z ohnisek k danému bodu na elipse se v tomto bodě nazývají ohniskové poloměry . $r_{1}$ $r_{2}$
Poloměr elipsy v daném bodě (vzdálenost od jejího středu k danému bodu) se vypočítá podle vzorce , kde je úhel mezi vektorem poloměru daného bodu a osou úsečky . $r={\frac {ab}{\sqrt {b^{2}\cos ^{2}\varphi +a^{2}\sin ^{2}\varphi ))}={\frac {b}{ \sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\varphi }}}$ $\varphi$

Konjugované průměry hyperboly

Průměr hyperboly, stejně jako průměr jakékoli kuželosečky, je přímka procházející středy rovnoběžných tětiv. Každý směr rovnoběžných tětiv má svůj vlastní konjugovaný průměr. Všechny průměry hyperboly procházejí jejím středem. Průměr odpovídající tětivám rovnoběžným s imaginární osou je skutečná osa; průměr odpovídající tětivám rovnoběžným se skutečnou osou je imaginární osou.
Sklon rovnoběžných tětiv a sklon odpovídajícího průměru souvisí vztahem $k$ $k_{1}$

k\cdot k_{1}=\varepsilon ^{2}-1={\frac {b^{2}}{a^{2}}}

Jestliže průměr hyperboly a půlí tětivy rovnoběžné s průměrem b , pak průměr b půlí tětivy rovnoběžné s průměrem a . Takové průměry se nazývají vzájemně konjugované .
Hlavní průměry hyperbol jsou vzájemně konjugované a vzájemně kolmé průměry. Hyperbola má pouze jeden pár hlavních průměrů, skutečnou a imaginární osu.
V případě hyperbol s asymptotami svírajícími pravý úhel se její konjugované hyperboly získají zrcadlením vzhledem k jedné z asymptot. U takového zrcadlového obrazu bude jeho průměr přecházet do konjugovaného průměru , což bude jednoduše průměr konjugované hyperboly (viz obr.). Taky. stejně jako je pozorována kolmost konjugovaných průměrů na kružnici (na obrázku vlevo), podobná ortogonalita je pozorována pro konjugované průměry hyperboly se vzájemně kolmými asymptotami (na obrázku vpravo).

Variace a zobecnění

Koncept průměru umožňuje přirozené zobecnění na některé další geometrické a matematické objekty. Pokud je metrika prostoru definována v množině některých objektů , pak pro podmnožinu těchto objektů lze zavést pojem průměru množiny.

Průměr množiny ležící v metrickém prostoru s metrikou je veličina . $M$ $\rho$ $(\sup_{x,y \in M}\rho(x, y))$

Průměr metrického prostoru je nejmenší horní hranicí vzdáleností mezi libovolným párem jeho bodů.

Zejména:
- Průměr kuželosečky je přímka procházející středy dvou rovnoběžných tětiv.
- Průměr grafu je maximální ze vzdáleností mezi dvojicemi jeho vrcholů. Vzdálenost mezi vrcholy je definována jako nejmenší počet hran, které musí projít, abychom se dostali z jednoho vrcholu do druhého. Jinými slovy, toto je vzdálenost měřená počtem hran mezi dvěma vrcholy grafu, které jsou od sebe co nejdále.
- Maximální Hammingova vzdálenost mezi dvěma slovy stejné délky ve znacích je , jinými slovy, průměr sady slov v Hammingově metrice je . $n$ $n$ $n$
- Průměr geometrického obrazce je maximální vzdálenost mezi body tohoto obrazce.

Například průměr n - rozměrné hyperkrychle se stranou s je

d = s\cdot \sqrt{n}

Některé kruhy konstruované v trojúhelníku na jednom segmentu, jako v průměru

Furmanův kruh je postaven na jednom segmentu, jako na průměru
Brocardův kruh je postaven na jednom segmentu jako na průměru

Viz také

Poloměr
Pi
Při dělení obrazců na části o menším průměru vznikla Borsukova hypotéza , vyvrácená v roce 1993
izodiametrická nerovnost
Úhlový průměr astronomických objektů.
Průměr oběhu
Hydraulický průměr

Poznámky

↑ průměr // Etymologický slovník ruského jazyka = Russisches etymologisches Wörterbuch : ve 4 svazcích / ed. M. Vasmer ; za. s ním. a doplňkové Člen korespondent Akademie věd SSSR O. N. Trubačov , ed. a s předmluvou. prof. B. A. Larina [sv. já]. - Ed. 2., sr. - M .: Progress , 1986-1987.
↑ Bolshakov V.P., Tozik V.T., Chagina A.V. Inženýrství a počítačová grafika . - Petrohrad. : BHV-Petersburg, 2013. - 288 s. - ISBN 978-5-9775-0422-5 . - S. 90.
↑ Standard Unicode, verze 13.0 . Různé technické, rozsah: 2300–23FF (anglicky) (PDF) . Unicode Inc (2020) . Získáno 6. září 2020. Archivováno z originálu dne 30. prosince 2019.
↑ Monniaux, David skládací sekvence UTF-8 (Unicode) . — Konfigurační soubor znaků zadaných pomocí klávesy Compose. Získáno 6. září 2020. Archivováno z originálu dne 3. srpna 2020.
↑ SYMBOL Znaky a glyfy . Získáno 6. září 2020. Archivováno z originálu dne 6. srpna 2020. (neurčitý)

Literatura

Průměr // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velká Katalánština Velká Katalánština Skvělý norský Velký Rus Brockhaus a Efron Malý Brockhaus a Efron V. Dahl Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4273067-3 J9U : 987007535068005171 LCCN : sh2003001062