Borsukova hypotéza

Borsukova domněnka (Borsukův problém ) je vyvrácená domněnka v kombinatorické geometrii :

Je možné rozdělit libovolné těleso s konečným jednotkovým průměrem v -rozměrném euklidovském prostoru na ne více než část tak, aby průměr každé části byl menší než 1?

n

n+1

Nominován Karolem Borsukem v roce 1933 . Sehrála významnou roli ve vývoji kombinatorické geometrie 20. století: hypotéza byla dlouhou dobu potvrzena pro řadu speciálních případů a hlavní úsilí směřovalo k nalezení důkazu v obecném případě, neboť o jeho platnosti nebyly žádné vážné pochybnosti [1] . Nicméně v roce 1993 byl nalezen protipříklad .

Od roku 2021 bylo prokázáno, že hypotéza je pravdivá pro , a nepravdivá pro , stav tvrzení pro zůstává nejasný. $n\leqslant 3$ $n\geqslant 64$ $4\leqslant n<64$

Pozitivní rozhodnutí

Případ je zřejmý. Případ dokázal sám Borsuk v roce 1933, použil výsledek Gyuly Pál ( maď. Pál Gyula ) z roku 1929, podle kterého lze do pravidelného šestiúhelníku o šířce 1 umístit libovolnou postavu o průměru 1, a takový šestiúhelník, zase může být rozřezán na tři pětiúhelníky o průměru . Borsuk navíc dokázal, že -rozměrnou kouli nelze rozdělit na části s menším průměrem, čímž stanovil dolní mez pro počet částí (důkaz je založen na Borsuk-Ulamově teorému ). $n=1$ $n=2$ ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}<1$ $n$ $n$

V roce 1946 Hadwiger prokázal platnost domněnky pro všechny pro konvexní tělesa s hladkou hranicí [2] . $n$

V roce 1947, Julian Perkal ( polsky: Julian Perkal ) dokázal případ pro všechna ohraničená tělesa [3] , nezávisle na něm , britský matematik Eggleston získal stejný výsledek v roce 1955 ; jednoduchý důkaz podobný Borsukovi našel poněkud později Branko Grünbaum a Aldar Heppesch ; dokazují, že jakékoli těleso o průměru 1 lze umístit do určitého osmistěnu s odříznutými třemi vrcholy, které lze dále rozdělit na 4 části o průměru menším než 0,9888. $n=3$

Minimálně od začátku 70. let 20. století byla hypotéza potvrzena pro centrálně symetrická tělesa. V roce 1971 Claude Rogers dokázal domněnku pro jakoukoli množinu, která je invariantní při působení skupiny transformací , které zanechávají regulérně - rozměrný simplex na místě . $n$

V roce 1993 Boris Dexter stanovil platnost hypotézy pro konvexní tělesa s pásem pravidelných bodů [4] a v roce 1995 kladně vyřešil problém pro všechna rotační tělesa v libovolných rozměrech [5] .

Borsukovo číslo

Borsukovo číslo je nejmenší počet možných částí menšího průměru, na kterélze rozdělit jakékoli ohraničené těleso v -rozměrném prostoru. Paralelně s potvrzením hypotézyve speciálních případech se dolní a horní mez pro. Odhadujea. V roce 1983 Marshall Lassack zjistil, že. $f(n)$ $n$ $f(n)=n+1$ $f(n)$ $f(n)\leqslant (2{\sqrt {n}}+1)^{n}$ ${\displaystyle f(n)\leqslant 2^{n))$ $f(n)\leqslant 2^{n-1}+1$

Mezi asymptotickými horními hranicemi byl po dlouhou dobu nejlepší odhad Clauda Ambrose Rogerse ( 1965 ; 1965 ) :; v roce 1988 Oded Schramm zjistil, že: $f(n)\leqslant {\big (}{\sqrt {2}}+o(1){\big )}^{n}$

{\displaystyle f(n)\leqslant {\Big (}{\sqrt {\tfrac {3}{2))}+o(1){\Big )}^{n))

Negativní rozhodnutí

Negativní řešení problému v obecném případě objevili v roce 1993 Gil Kalai a Jeff Kahn [ 6 ] , kteří zkonstruovali protipříklad v dimenzi a dokázali, že domněnka neplatí pro všechny . Navíc ukázali, že pro dostatečně velká , existují rozměrová tělesa, která nelze rozložit na části s menším průměrem. V následujících letech dimenze, nad kterou není hypotéza splněna, trvale klesala: $n=1325$ $n>2014$ $n$ $n$ ${\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n))$

1993 – (Kalai – Kan), $n\geqslant 2015$
1994 - (Neally), $n\geqslant 946$
1997 - (Weissbach - Gray), $n\geqslant 903$
1997 - (Raigorodsky) [7] , $n\geqslant 561$
2000 - (Weissbach), $n\geqslant 560$
2001 - (Hinrichs), $n\geqslant 324$
2002 - (Pikhurko), $n\geqslant 323$
2003 - (Hinrichs - Richter) [8] , $n\geqslant 298$
2013 - (Bondarenko) [9] , $n\geqslant 65$
2013 - (Jenrich) [10] . $n\geqslant 64$

Ke konstrukci protipříkladů byly ve všech případech použity konečné množiny a byly použity jemné kombinatorické výsledky [11] . Spodní hranice pro minimální počet částí menšího průměru ve většině protipříkladů jsou , v jednom z výsledků Raigorodského (1999) je tato hranice vylepšena na . ${\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n))$ ${\big (}1{,}2255+o(1){\big )}^{\sqrt {n))$

Variace a zobecnění

V roce 1953 David Gale předložil hypotézu, že každé těleso o jednotkovém průměru v trojrozměrném prostoru lze rozdělit na 4 části o průměru:

{\sqrt {\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}}\cca 0{,}888

to znamená, že míč je v tomto smyslu „nejhorší“ těleso [12] .

V roce 1971 byla Borsukova domněnka potvrzena pro sférické a hyperbolické prostory na [13] . $n=2.3$

V roce 1991 byl tento výsledek zobecněn na libovolné rozměry pro centrálně symetrické konvexní hyperplochy [14] .

V roce 2012 byly studovány analogy Borsukova problému v prostoru s euklidovskou metrikou a s metrikou [15] . ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n))$ $l_p$

V roce 2019 byla zvažována otázka rozdělení libovolných ohraničených metrických prostorů na daný počet podmnožin o menším průměru a byla identifikována kritéria pro proveditelnost a nemožnost takového rozdělení v závislosti na vzdálenosti podle Gromov-Hausdorffovy metriky od daný prostor simplexům dané mocniny , kde simplex je chápán jako metrický prostor, ve kterém jsou všechny nenulové vzdálenosti stejné [16] .

Poznámky

↑ Raygorodsky, 2006 , s. 27.
↑ Boltyansky - Gokhberg, 1965 , str. 34.
↑ Grünbaum, 1971 , s. 62.
↑ BV Dexter. Borsukova domněnka platí pro konvexní tělesa s pásem pravidelných bodů // Geometriae Dedicata. - 1993. - T. 45 . — S. 301–306 .
↑ BV Dexter. Borsukova domněnka platí pro rotační tělesa // Journal of Geometry. - 1995. - T. 52 . — S. 64–73 .
↑ J. Kahn, G. Kalai. Protipříklad k Borsukově domněnce (anglicky) // Bull. amer. Matematika. soc. (NS). - 1993. - Sv. 29 , č. 1 . - str. 60-62 . - arXiv : math.MG/9307229 .
↑ A. M. Raigorodskij. O dimenzi v problému Borsuk // Uspekhi Mat. - 1997. - T. 52 , č. 6 (318) . - S. 181-182 .
↑ A. Hinrichs, C. Richter. Nové sady s velkými Borsukovými čísly // Diskrétní matematika. - 2003. - T. 270 . - S. 137-147 .
↑ Andrij V. Bondarenko. Na Borsukův dohad pro množiny na dvě vzdálenosti. - 2013. - arXiv : 1305.2584 .
↑ Thomas Jenrich. 64rozměrný dvouvzdálený protipříklad k Borsukově domněnce. - 2013. - arXiv : 1308.0206 .
↑ Raygorodsky, 2006 .
↑ Raygorodsky, 2006 , s. 16.
↑ A. S. Ryzlink rýnský. Borsukův problém v prostorech konstantního zakřivení // Ukrajinská geometrická sbírka . - Charkov. - T. 11 . - S. 78-83 .
↑ A. D. Milka . Analog problému Borsuk // Izvestiya vuzov. Matematická řada. - 1992. - č. 5 . - S. 58-63 .
↑ A. B. Kupavskij, E. I. Ponomarenko, A. M. Raigorodskij. K některým analogům problému Borsuk ve vesmíru // Sborník Moskevského institutu fyziky a technologie. - 2012. - T. 12 , č. 1 . - S. 81-90 . ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n))$
↑ A. O. Ivanov , A. A. Tužilin . Řešení zobecněného problému Borsuk z hlediska vzdáleností Gromov–Hausdorff k simplexům. - arXiv : 1906.10574v1 .

Literatura

V. G. Boltyansky , I. Ts. Gokhberg . Věty a problémy kombinatorické geometrie . — M .: Nauka, 1965. — 108 s. — (Matematická knihovna). (obsahuje důkaz domněnky v rozměrech 2 a 3)
V. G. Boltyansky, I. Ts. Gokhberg. Rozdělení čísel na menší části / série = Populární přednášky o matematice, číslo 50 . — M .: Nauka, 1971. — 88 s.
B. Grünbaum . Etudy o kombinatorické geometrii a teorii konvexních těles. — M .: Nauka, 1971.
A. M. Raigorodsky . Borsukův problém. — M. : MTsNMO , 2006. — 56 s.
A. B. Skopenkov. -rozměrná krychle, polynomy a řešení Borsukovy úlohy // Matematické vzdělávání. - M. : MTSNMO, 1999. - Vydání. 3(3) . $n$