Hypotéza (matematika)

Hypotéza v matematice  je tvrzení , které se na základě dostupných informací zdá s vysokou pravděpodobností pravdivé , ale pro které nelze získat matematický důkaz [1] [2] . Matematická hypotéza je otevřený matematický problém a každý nevyřešený matematický problém, který je problémem řešitelnosti, může být vyjádřen ve formě hypotézy. Ne každý matematický problém však lze formulovat jako hypotézu. Například nelze předpovědět konkrétní řešení určité soustavy rovnic nebo optimalizační úlohy pro 2208 neznámých, ale takové řešení může být nejen praktickým, ale i matematickým výsledkem [3] .

Riemannova hypotéza , Fermatův poslední teorém , Waringova hypotéza a několik dalších matematických hypotéz hrály významnou roli v matematice, protože pokusy o jejich prokázání vedly k vytvoření nových oblastí a metod výzkumu.

Matematická a přírodovědná hypotéza

Na rozdíl od přírodovědné hypotézy lze matematickou hypotézu logicky dokázat v nějakém systému axiomů , načež se z ní stane teorém, pravdivý pod těmito omezeními, „pro všechny časy“. Typickým příkladem je vědecké dědictví Newtona , který prohlásil, že „nevymýšlí hypotézy“, a který se ve fyzice snažil nepřekračovat rámec matematického modelu . Newtonovy matematické teorémy, stejně jako starověká Pythagorova věta , zůstávají v platnosti dodnes, nicméně jeho klasická mechanika a teorie gravitace se po příchodu speciální a obecné teorie relativity staly vyvrácenými fyzikálními hypotézami. Pokud lze rozhodnoutelnou matematickou hypotézu buď dokázat, nebo vyvrátit, pak se u přírodovědné hypotézy vzhledem k relativitě přírodovědných poznatků vlastnosti ověřitelnosti a falzifikovatelnosti navzájem nevylučují [4] . Newtonovská mechanika je nepoužitelná pro rychlosti blízké rychlosti světla, ale popisuje pohyb většiny těles ve sluneční soustavě s velmi vysokou přesností. Ve fyzice se proto obvykle nemluví o vyvracení hypotéz, ale o omezení rozsahu použitelnosti teorie.

Řešení matematických hypotéz

Důkaz

Matematika je založena na formálních důkazech. Bez ohledu na to, jak přesvědčivě se může zdát hypotéza, bez ohledu na to, kolik příkladů je uvedeno na její podporu, hypotézu lze vyvrátit jedním protipříkladem. Moderní matematické časopisy někdy publikují výsledky výzkumu o rozsahu, ve kterém se testuje platnost hypotézy. Například Collatzova domněnka byla testována pro všechna celá čísla do 1,2 × 10 12 , ale tato skutečnost sama o sobě neposkytuje nic, co by domněnku prokázala.

K prokázání hypotézy je třeba předložit matematický důkaz , který prostřednictvím logicky bezchybné úvahy založené na určitém systému axiomů činí vyslovení hypotézy jediným možným nebo opačné tvrzení je logicky nemožné.

Když je hypotéza prokázána, v matematice se z ní stává věta . Vyvrácení explicitní nebo implicitní hypotézy se také může stát teorémem. V dějinách matematiky existovaly některé hypotézy v implicitní podobě dlouhou dobu a četné pokusy najít druhou mocninu kružnice nebo řešení algebraické rovnice pátého stupně v radikálech vycházely z následně vyvrácených hypotéz, že je to možné . .

Vyvrácení

Vyvracení hypotézy se také provádí pomocí důkazu, ale s přihlédnutím k typickým formulacím hypotéz je vyvracení často nejjednodušším typem důkazu – protipříkladem. Takový důkaz je z logického hlediska nejjednodušší, nicméně zkonstruovat příklad v teorii grafů nebo najít příklad v teorii čísel ( Eulerova domněnka ) může být velmi obtížné. Po vyvrácení se hypotéza může stát faktem dějin matematiky, nebo může být přeměněna na novou matematickou hypotézu. Například Eulerova hypotéza byla poté, co byla vyvrácena, transformována na Lander-Parkin-Selfridge hypotézu . V tomto případě je proces podobný vývoji přírodovědných hypotéz.

Nerozhodnutelné hypotézy

Ne u žádné hypotézy nelze v daném systému axiomů prokázat její pravdivost či nepravdivost. Podle Gödelova teorému neúplnosti , v nějaké dostatečně komplexní axiomatické teorii, takový jako aritmetika , tam jsou sdělení, která nemohou žádný být vyvrácen ani dokázaný uvnitř teorie sám. Proto každá matematická teorie obsahující aritmetiku obsahuje hypotézy, které v jejím rámci nejsou vyvrácené a neprokazatelné.

Například se ukázalo, že Cantorova hypotéza kontinua v teorii množin nezávisí na obecně přijímaném Zermelo-Fraenkelově systému axiomů . Proto lze toto tvrzení nebo jeho negaci přijmout jako axiom, aniž bychom se dostali do rozporu se zbytkem axiomů a bez jakýchkoli důsledků pro dříve dokázané teorémy. V geometrii od starověku matematici pochybovali o Euklidově axiomu rovnoběžnosti . Dnes je známo, že pokud přijmeme opačný axiom, pak je možné sestrojit konzistentní Lobačevského geometrii včetně absolutní geometrie , tedy se zachováním všech ostatních axiomů.

Podmíněné důkazy

Z platnosti některých neprokázaných hypotéz vyplývají důležité důsledky. Existuje-li rozšířená víra, že hypotéza je pravdivá, pak matematici někdy dokážou věty, které jsou pravdivé pouze tehdy, pokud je hypotéza pravdivá, v naději, že hypotéza bude prokázána. Podobné důkazy jsou běžné například v souvislosti s Riemannovou hypotézou.

Několik pozoruhodných příkladů

Zde jsou výroky, které měly velký vliv na matematiku a byly ve stavu hypotéz. Některé z nich zůstávají hypotézami dodnes, jiné byly prokázány nebo vyvráceny.

Fermatova poslední věta

V teorii čísel Fermatova poslední věta říká, že žádná tři přirozená čísla nejsou stejná , pokud je celé číslo větší než 2.

Pierre de Fermat napsal tuto domněnku v roce 1637 na okraj Diophantovy aritmetiky spolu s prohlášením, že má důkaz, ale je příliš velký, aby se na tento okraj vešel. [5] První úspěšný důkaz získal John Wiles v roce 1994 a publikoval v roce 1995, po 358 letech úsilí mnoha matematiků. Pokusy vyřešit tento problém v 19. století vedly k rozvoji algebraické teorie čísel a důkazu věty o modularitě ve 20. století.

Poincarého domněnka

Poincarého domněnka říká, že každá jednoduše připojená kompaktní 3- rozmanitost bez hranic je homeomorfní k 3 - kouli . Henri Poincare formuloval tuto hypotézu v roce 1904. Po téměř století matematického úsilí Grigory Perelman dokázal tuto domněnku ve třech článcích zveřejněných v letech 2002 a 2003 na webových stránkách arXiv . Důkaz následoval po návrhu Richarda Hamiltona použít pro řešení Ricciho tok . [6] Několik týmů matematiků testovalo Perelmanův důkaz a potvrdilo, že je správný. Je zajímavé, že pro sféry vyšších dimenzí byly důkazy získány již dříve.

Riemannova hypotéza

Riemannova hypotéza , navržená v roce 1859, uvádí, že všechny netriviální kořeny Riemannovy zeta funkce mají reálnou část rovnou 1/2. Z platnosti Riemannovy hypotézy vyplývá řada výsledků o rozdělení prvočísel . Někteří matematici považují tento dohad za nejdůležitější nevyřešený problém v „čisté matematice“ . Riemannova hypotéza je na seznamech Hilbertových problémů a problémů tisíciletí .

Rovnost tříd P a NP

Otázka rovnosti tříd P a NP je zařazena do seznamu úkolů tisíciletí a je jedním z hlavních problémů informatiky . Neformálně, ale docela přesně se otázka scvrkává na to, zda jakýkoli problém, jehož řešení lze ověřit v polynomiálním čase, lze také vyřešit v polynomiálním čase pomocí polynomiální paměti. Dnes převládá názor, že tomu tak není. Pokud však důkaz pravdivosti této hypotézy může být konstruktivní (je nutné předložit pouze jeden algoritmus, o což se mnoho lidí pokouší), pak není jasné, jak dokázat opak. Problém byl pravděpodobně poprvé zmíněn v roce 1956 v dopise Kurta Gödela Johnu Neumannovi . [7] Problém přesně uvedl v roce 1971 Stephen Cook [8] a je mnohými považován za nejdůležitější otevřený problém v oboru [9] .

Historie

Starověcí řečtí matematici často používali jako metodu matematického důkazu myšlenkový experiment, který zahrnoval předkládání hypotéz a vyvozování důsledků z nich pomocí dedukce důsledků za účelem ověření správnosti počátečních odhadů. Dnes se takové úvahy nazývá metoda důkazu kontradikcí . Platón považoval hypotézy za premisy jím vyvinuté analyticko-syntetické metody důkazu, schopné poskytnout absolutně pravdivý charakter závěru. Hypotézu jako výzkumnou metodu však odmítl Aristoteles , který považoval pouze obecné, nutné a absolutní pravdy za premisy sylogistického důkazu. To vedlo k následnému negativnímu postoji vědců k hypotézám jako k formě nespolehlivého či pravděpodobného poznání [4] . Teprve v 19. století se podařilo překonat protiklad hypotéz a naprosto přesných znalostí a v důsledku toho i odmítavý postoj k hypotézám. Zejména Engels , zvažující hypotézu jako formu „rozvoje přírodních věd“ [10] , předložil stanovisko ke vztahu hypotéz se zákony a teoriemi jako různými formami pravdivého poznání.

Poznámky

  1. ↑ Oxfordský slovník angličtiny  (neopr.) . — 2010.
  2. ↑ JL Schwartz. Pohyb mezi konkrétním a obecným: úvahy o úloze domněnek a hypotéz při vytváření znalostí ve vědě a  matematice . - 1995. - S. 93.
  3. ↑ Přibližný bilineární algoritmus délky 46 pro násobení matic 4×4  (downlink)
  4. ↑ 1 2 Hypothesis Archived 5. března 2016 na Wayback Machine // New Philosophical Encyclopedia
  5. ↑ Ore, Oystein (1988), Teorie čísel a její historie , Dover, s. 203–204, ISBN 978-0-486-65620-5 
  6. ↑ Hamilton, Richard S. Four-manifolds with positive isotropic curvature  (indefinite)  // Communications in Analysis and Geometry. - 1997. - V. 5 , č. 1 . - S. 1-92 .
  7. ↑ Juris Hartmanis 1989, Godel, von Neumann a problém P = NP Archivováno 26. února 2015 na Wayback Machine , Bulletin Evropské asociace pro teoretickou informatiku, sv. 38, str. 101-107
  8. ↑ Kuchař, Stephene Složitost postupů dokazování teorémů // Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing  (anglicky) . - 1971. - S. 151-158.
  9. ↑ Lance Fortnow, Stav problému P versus NP Archivováno z originálu 24. února 2011. , sdělení ACM 52 (2009), no. 9, str. 78-86. doi : 10.1145/1562164.1562186
  10. ↑ K. Marx a F. Engels Soch., díl 20, s. 555