Hypotéza kontinua

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. dubna 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

hypotéza kontinua
Pojmenoval podle	kontinuum
Discoverer nebo Inventor	Georg Kantor
datum otevření	1877
Vzorec popisující zákon nebo větu	$\aleph _{0}\leq \kappa \leq 2^{\aleph _{0}}\Rightarrow \kappa =\aleph _{0}\lor \kappa =2^{\aleph _{0} }$
Kdo rozhodl	Kurt Gödel a Paul Cohen

Hypotéza kontinua ( problém kontinua , Hilbertův první problém ) je předpoklad předložený v roce 1877 Georgem Cantorem , že jakákoli nekonečná podmnožina kontinua je buď spočetná nebo spojitá . Jinými slovy, hypotéza předpokládá, že mohutnost kontinua je nejmenší, překračuje mohutnost spočetné množiny, a mezi spočetnou množinou a kontinuem neexistují žádné „mezilehlé“ mohutnosti. Tento předpoklad konkrétně znamená, že pro libovolnou nekonečnou množinu reálných čísel lze vždy stanovit korespondenci jedna ku jedné buď mezi prvky této množiny a množinou celých čísel , nebo mezi prvky této množiny a množinou všechna reálná čísla.

První pokusy dokázat toto tvrzení pomocí naivní teorie množin nebyly úspěšné, později se ukazuje, že hypotézu v Zermelo-Fraenkelově axiomatice nelze dokázat ani vyvrátit (jak s axiomem výběru, tak bez něj).

Hypotéza kontinua je jednoznačně prokázána v systému Zermelo-Fraenkel s axiomem determinismu (ZF+AD).

Historie

Hypotéza kontinua byla prvním z dvaceti tří matematických problémů , které Hilbert představil na II. mezinárodním kongresu matematiků v Paříži v roce 1900 . Proto je hypotéza kontinua známá také jako Hilbertův první problém .

V roce 1940 Gödel dokázal, že negace hypotézy kontinua byla v ZFC neprokazatelná, systém Zermelo-Fraenkelových axiomů s axiomem výběru a v roce 1963 Cohen pomocí své vynucovací metody že hypotéza o kontinuu je také neprokazatelná v [ 1] . Oba tyto výsledky jsou založeny na předpokladu konzistence ZFC , který je nezbytný, protože jakékoli tvrzení v nekonzistentní teorii je triviálně prokazatelné. Hypotéza kontinua je tedy nezávislá na ZFC.

Za předpokladu negace hypotézy kontinua má smysl položit si otázku: pro které ordinály může být splněna rovnost ? Odpověď na tuto otázku poskytuje Eastonův teorém v roce 1970 $\mathrm {ZFC+\neg CH}$ $\alpha$ ${\mathfrak {c}}=\aleph _{\alpha }$

Ekvivalentní formulace

Existuje několik tvrzení, která jsou ekvivalentní hypotéze kontinua:

Přímou čáru lze vybarvit na spočetný počet barev tak, že podmínka [2] není splněna pro žádný jednobarevný čtyřnásobek čísel . $\mathbb {R}$ $abeceda$ $a+b=c+d$
Rovina může být zcela pokryta spočetnou rodinou množin, z nichž každá má tvar (tj. má jedinečný průsečík s každou svislou čárou) nebo (má jedinečný průsečík s každou vodorovnou čárou) [3] . $\mathbb {R} ^{2}$ $y=f(x)$ $x=f(y)$
Prostor lze rozdělit na 3 množiny tak, že se protínají libovolnou přímkou rovnoběžnou s osami , resp . pouze v konečném počtu bodů (každá množina má svou osu) [4] . $\mathbb {R} ^{3}$ $Vůl$ $Oj$ $Oz$
Prostor lze rozdělit na 3 množiny tak, že pro každou z nich existuje takový bod , že se tato množina protíná s libovolnou přímkou procházející , pouze v konečném počtu bodů [5] . $\mathbb {R} ^{3}$ $P$ $P$

Variace a zobecnění

Zobecněná hypotéza kontinua spočívá v předpokladu, že pro každého nekonečného kardinála platí rovnost ; kde označuje dalšího kardinála. Jinými slovy, v každé množině, která je větší než nějaká nekonečná množina , existuje podmnožina, která je ekvivalentní booleovskému [6] . $\kappa$ ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+))$ $\kappa ^{+}$ $\kappa$ $S$ ${\mathcal {P}}(S)$

Zobecněná hypotéza kontinua také neodporuje Zermelo-Fraenkelově axiomatice, a jak ukázali Sierpinski v roce 1947 a Specker v roce 1952 , axiom výběru z ní vyplývá .

Viz také

Martinův axiom

Poznámky

↑ Paul J. Cohen Teorie množin a hypotéza kontinua. - M.: Mir, 1969. - S. 347.
↑ Stephen Fenner, William Gasar. Prohlášení v kombinatorice, které je nezávislé na ZFC (An Exposition) Archivováno 27. listopadu 2021 na Wayback Machine
↑ Václav Sierpinski . Kardinální a řadové číslovky. - Warszawa : Polish Scientific Publishers, 1965. (anglicky)
↑ Václav Sierpinski . O teorii množin. - M .: Vzdělávání, 1966.
↑ Archivovaná kopie . Datum přístupu: 9. července 2012. Archivováno z originálu 18. února 2013. (neurčitý)
↑ Problém kontinua / A. G. Dragalin // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.

Literatura

Katin Yu.E. Z historie problému kontinua // Historie a metodologie přírodních věd. - M. : MGU, 1970. - Vydání. 9 . - S. 248-261 .
Manin Yu. I. Problém kontinua // Itogi nauki i techhniki. Řada „Moderní problémy matematiky. Nejnovější úspěchy. - 1975. - č. 5. - S. 5-72. — ISSN 0202-747X.

Hilbertovy problémy
jeden 2 3 čtyři 5 6 7 osm 9 deset jedenáct 12 13 čtrnáct patnáct 16 17 osmnáct 19 dvacet 21 22 23 ( 24 )