Hilbertův osmý problém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. srpna 2020; kontroly vyžadují 5 úprav .

Hilbertův osmý problém  je jedním z problémů , které nastolil David Hilbert ve své zprávě [1] [2] na II. mezinárodním kongresu matematiků v Paříži v roce 1900. Hilbertův osmý problém se skládá ze dvou problémů souvisejících s teorií prvočísel . Jedná se o Riemannovu hypotézu a Goldbachův problém .

Riemannova hypotéza

Riemannova hypotéza říká, že všechny netriviální nuly funkce zeta mají reálnou část rovnou . Mnoho tvrzení o rozdělení prvočísel je dokázáno za předpokladu, že Riemannova hypotéza je správná. V současnosti ( 2021 ) není prokázána a je zařazena na seznam sedmi problémů tisíciletí .

Goldbachův problém

Goldbachův problém se skládá ze dvou hypotéz.

Binární Goldbachův dohad říká, že nějaké sudé číslo , počínaje 4, může být reprezentováno jako součet dvou prvočísel .

Slabší ternární Goldbachův dohad uvádí, že jakékoli liché číslo , počínaje 7, může být reprezentováno jako součet tří prvočísel.

Platnost binární hypotézy implikuje platnost ternární Goldbachovy hypotézy, ale v současné době není binární Goldbachova hypotéza prokázána. Vinogradov v roce 1937 dokázal, že téměř všechna sudá čísla jsou reprezentovatelná jako součet dvou prvočísel (zlomek nereprezentovatelných čísel, pokud existují, má tendenci k nule, jak se délka uvažovaného segmentu zvětšuje). Z platnosti dokázané Goldbachovy ternární domněnky vyplývá, že libovolné sudé číslo je součtem nejvýše 4 prvočísel.

Vinogradov v roce 1937 prokázal platnost ternární Goldbachovy hypotézy pro všechna čísla větší než nějaká konstanta [3] . Ukázalo se však, že spodní hranice je tak velká, že ve 20. století nebylo možné zbytek čísel zkontrolovat pomocí počítače. Pro všechna čísla byla věta prokázána až v roce 2013 Haraldem Gelfgottem [4]

Poznámky

  1. ↑ David Hilbert . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900  (německy) . — Text zprávy, kterou četl Hilbert 8. srpna 1900 na II. mezinárodním kongresu matematiků v Paříži. Získáno 27. srpna 2009. Archivováno z originálu dne 8. dubna 2012.
  2. ↑ Překlad Hilbertovy zprávy z němčiny - M. G. Shestopal a A. V. Dorofeev , publikované v knize Hilbertovy problémy / ed. P. S. Alexandrova . - M .: Nauka, 1969. - S. 36-37. — 240 s. — 10 700 výtisků. Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Získáno 28. září 2014. Archivováno z originálu 17. října 2011. 
  3. ↑ MODERNÍ PROBLÉMY MATEMATIKY Číslo 11
  4. ↑ Terence Tao – Google+ – Rušný den v analytické teorii čísel; Harald Helfgott má… . Získáno 28. září 2014. Archivováno z originálu 8. srpna 2013.

Literatura

 Hilbertovy problémy