Hilbertův čtvrtý problém

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. června 2019; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Čtvrtý Hilbertův problém v seznamu Hilbertových problémů se týká základního axiomového systému geometrie . Problém je v tom

„Definujte vše až po izomorfismus realizace systémů axiomů klasických geometrií (euklidovské, Lobačevského a eliptické), pokud vynechají axiomy kongruence obsahující pojmy úhel, a doplňte tyto systémy axiomem trojúhelníkové nerovnosti“ [1] .

V případě roviny, pokud přijmeme axiom spojitosti, dojdeme k problému, který představuje Darboux:

"Najděte na rovině všechny variační problémy, jejichž řešením jsou všechny přímky na rovině" [2] .

Ploché metriky

Platí Desarguesova věta :
Pokud jsou dva trojúhelníky umístěny v rovině tak, že přímky spojující odpovídající vrcholy trojúhelníků procházejí jedním bodem, pak tři body, ve kterých jsou prodloužení tří dvojic odpovídajících stran trojúhelníků protínají ležet na jedné přímce

Nezbytnou podmínkou pro řešení Hilbertova problému IV je požadavek, aby metrický prostor , který splňuje axiomy tohoto problému, byl desarguesovský, to znamená, že musí být splněny následující podmínky:

Je-li prostor dvourozměrný, je nutné, aby platila Desarguesova věta a její obrácení;
Pokud je rozměr prostoru větší než dva, pak je nutné, aby libovolné tři body ležely ve stejné rovině.

Pro Desarguesovské prostory Hamel dokázal, že jakékoli řešení Hilbertova problému může být reprezentováno v reálném projektivním prostoru nebo v konvexní oblasti , pokud je kongruence segmentů definována pomocí rovnosti jejich délek ve speciální metrice, pro kterou jsou přímky projektivu prostor jsou geodetické. $RP^{n}$ $RP^{n},$

Takové metriky se nazývají ploché nebo projektivní.

Řešení Hilbertova problému se tak zredukovalo na problém konstruktivní definice všech kompletních plochých metrik.

Hamel tento problém vyřešil navržením dostatečné pravidelnosti metriky [3] . Jak však ukazují jednoduché příklady, běžné ploché metriky zdaleka nevyčerpávají všechny ploché metriky. Z axiomů uvažovaných geometrií vyplývá pouze kontinuita metrik. Kompletní řešení Hilbertova problému tedy implikuje konstruktivní definici všech spojitých plochých metrik.

Pozadí Hilbertova IV problému

Do roku 1900 byl znám Cayley-Kleinův výklad Lobachevského geometrie v jednotkovém kruhu , kde tětivy kruhu jsou přímky a vzdálenost mezi body je určena jako logaritmus komplexního poměru čtyř bodů.

Pro dvourozměrné Riemannovy metriky E. Beltrami (1835-1900) dokázal, že jedinou plochou metrikou jsou metriky konstantního zakřivení [4] .

Pro vícerozměrné Riemannovy metriky toto tvrzení dokázal v roce 1930 E. Cartan .

V roce 1890 G. Minkowski v souvislosti s teorií čísel zavedl to, co dnes nazýváme konečně-dimenzionální Banachovy prostory [5] .

Minkowského prostor

${\displaystyle F_{0}\subset \mathbb {E} ^{n))$ je kompaktní uzavřená konvexní hyperplocha v euklidovském prostoru, definovaná implicitně

F_{0}=\{y\in E^{n}:F(y)=1\}.

Funkce splňuje podmínky: $F=F(y)$

$F(y)\geqslant 0,\qquad F(y)=0\Leftrightarrow y=0$ ;
$F(\lambda y)=\lambda F(y),\qquad \lambda \geqslant 0$ ;
$F(y)\in C^{k}(E^{n}\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3$ ;
${\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}\xi ^{i}\xi ^{j}>0$ .

Nastavíme délku vektoru OA takto:

||OA||_{M}={\frac {||OA||_{\mathbb {E} }}{||OL||_{\mathbb {E} }}}.

Prostor s takovou metrikou se nazývá Minkowského prostor.

Hyperpovrch může být nepravidelný konvexní povrch. Takto zadaná metrika je plochá. $F_{{0}}$

Finslerovy prostory

Nechť M je hladká konečnorozměrná varieta a nechť M je tečný svazek. Funkce se nazývá Finslerova metrika if $(x,y)\in TM$ $F(x,y)\colon TM\rightarrow [0,+\infty )$

$F(x,y)\in C^{k}(TM\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3$ ;
Pro každý bod je omezení funkce na Minkowského normu. $x\v M$ $F(x,y)$ $T_{x}M$

$(M,F)$ se nazývá Finslerův prostor.

Hilbertova geometrie

$U\subset (\mathbb {E} ^{n+1},\|.\|_{\mathbb {E} })$ je ohraničená otevřená konvexní množina s hranicí třídy C 2 a kladnými normálovými zakřiveními. Analogicky k Lobačevského prostoru se hyperplocha nazývá absolutno Hilbertovy geometrie [6] . $\partial U$

Hilbertova metrika

d_{U}(p,q)={\frac {1}{2))\ln {\frac {\|q-q_{1}\|_{E)){\|q-p_ {1}\|_{E))}\times {\frac {\|p-p_{1}\|_{E)){\|p-q_{1}\|_{E))}.

$d_{U}$ indukuje Finsler Hilbertovu metriku na U pro jakékoli a (viz obr.) $F_{U}$ $x\v U$ $y\in T_{x}U$

F_{U}(x,y)={\frac {1}{2}}\|y\|_{\mathbb {E} }\left({\frac {1}{\|x- x_{+}\|_{\mathbb {E} }}}+{\frac {1}{\|x-x_{-}\|_{\mathbb {E} }}}\right).

Tato metrika je také plochá.

D. Hilbert jej představil v roce 1895 jako zobecnění Lobačevského geometrie. Když je hyperplocha elipsoid, získáme Lobačevského geometrii. $\partial U$

Funkova metrika

V roce 1930 představil Funk nesymetrickou metriku. Je dán v oblasti ohraničené uzavřenou konvexní hyperplochou a je také plochý.

σ-metrika

Dostatečná podmínka pro ploché metriky

První příspěvek k řešení Hilbertova problému IV přinesl Hamel [3] . Dokázal následující tvrzení.

Věta . Pokud běžná metrika Finsler splňuje podmínku $F(x,y)=F(x_{1},....x_{n},y_{1},...,y_{n})$

${\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial x^{i}\partial y^{j}}}={\frac {\partial ^{2}F^{ 2}}{\částečné x^{j}\částečné y^{i}}},\,i,j=1..n,$

pak je to ploché.

Croftonův vzorec

Uvažujme množinu orientovaných přímek v rovině. Čára je určena parametry kde je vzdálenost k čáře od počátku, je úhel, který čára svírá s osou Ox . Potom je množina orientovaných čar homeomorfní ke kruhovému válci o jednotkovém poloměru, kde je prvek plochy . Nechť je rektifikovatelná křivka v rovině. Pak jeho délka $\rho ,\varphi ,$ $\rho$ $\varphi$ $dS=d\rho d\varphi$ $\gamma$

L={\frac {1}{4}}\iint \limits _{\Omega }n(\rho ,\varphi )dpd\varphi

kde je množina čar, které protínají danou křivku, je počet průsečíků přímky s křivkou. To ukázal M. Crofton v roce 1870. $\Omega$ $n(p,\varphi )$

Podobné tvrzení platí v projektivním prostoru [7] .

Blaschke-Busemann opatření

V roce 1966 představil G. Busemann na Mezinárodním matematickém kongresu v Moskvě novou třídu plochých metrik. G. Busemann zavedl na množině přímek projektivní roviny zcela aditivní nezápornou míru , která splňuje následující podmínky: $RP^{2}$ $\sigma$

$\sigma (\tau P)=0$ , kde je množina přímek procházejících bodem P ; $\tau P$
$\sigma (\tau X)>0$ , kde je množina čar procházejících nějakou množinou X obsahující úsečku; $\tau X$
$\sigma (RP^{n})$ konečný.

Pokud vezmeme v úvahu -metriku definovanou v libovolné konvexní doméně projektivního prostoru , pak podmínka 3) je nahrazena požadavkem, že pro jakoukoli množinu H , takovou, že H je obsažena v , uzávěr H neprotíná hranici , $\sigma$ $\Omega$ $RP^{2}$ $\Omega$ $\Omega$

\sigma (\pi H)<\infty

[8] .

Pomocí takového měření se určí -metric in : $\sigma$ $RP^{2}$

|x,y|=\sigma \left(\tau [x,y]\right),

kde je množina čar protínajících segment . $\tau [x,y]$ $[x,y]$

Trojúhelníková nerovnost pro tuto metriku vyplývá z Paschovy věty.

Věta . -metric in je plochá metrika, to znamená, že geodetika v této metrice jsou čáry projektivního prostoru. $\sigma$ $RP^{2}$

Ale Busemann byl daleko od toho, aby si myslel, že -metriky vyčerpávají všechny ploché metriky. Napsal: „...Svoboda ve výběru metrik při specifikaci geodetiky v případě neriemannovské metriky je tak velká, že lze pochybovat, zda skutečně existuje přesvědčivá charakterizace všech desarguesovských prostorů...“ [8] . $\sigma$

Dvourozměrné pouzdro

Pogorelovova věta

Překvapivým se ukázal teorém dokázaný v roce 1973 A. V. Pogorelovem [9] [10] .

Věta . Jakákoli dvourozměrná spojitá úplná plochá metrika je -metrika. $\sigma$

Tím je problém IV Hilberta pro dvourozměrný případ zcela vyřešen.

Další důkazy

V roce 1976 podal R. B. Ambartsumian další důkaz Hilbertova problému IV [11] . Jeho důkaz souvisí s tím, že v dvourozměrném případě je celá míra rekonstruována ze svých hodnot na digonech. A pak je dán na trojúhelníky stejným způsobem, jako je uvedena plocha trojúhelníku na kouli. Na nedegenerovaných trojúhelnících je kladná, protože trojúhelníková nerovnost platí, a pak je míra určena na všech Borelových množinách. Tato konstrukce však není zobecněná v rozměrech. S tím souvisí Hilbertův problém III, který řešil M. Dehn. Ve dvourozměrném případě jsou polygony o stejné ploše rovnoměrně složeny. Ve vyšší dimenzi, jak ukazuje M. Dehn, to není pravda.

3D pouzdro

Pro případ n=3 dokázal A. V. Pogorelov následující větu

Teorém. Jakákoli trojrozměrná pravidelná spojitá úplná plochá metrika je -metrika. $\sigma$

V trojrozměrném případě však mohou -míry nabývat kladných i záporných hodnot. Nezbytné a postačující podmínky pro to, aby pravidelná metrika daná funkcí set byla plochá, jsou následující tři podmínky: $\sigma$ $\sigma$

hodnota v jakékoli rovině je nula; $\sigma$
hodnota v libovolném kuželu je nezáporná; $\sigma$
hodnota je kladná, pokud kužel obsahuje vnitřní body. $\sigma$

A. V. Pogorelov navíc ukázal, že jakákoli úplná spojitá plochá metrika v trojrozměrném případě je limitem regulárních -metrik s rovnoměrnou konvergencí v jakékoli kompaktní subdoméně domény, kde je tato metrika specifikována. Takové metriky nazval zobecněné -metriky. $\sigma$ $\sigma$

To se tedy A. V. Pogorelovovi podařilo prokázat

Teorém. Každá úplná spojitá plochá metrika v trojrozměrném případě je -metrikou v zobecněném smyslu. $\sigma$

G. Busemann v recenzi na překlad knihy A. V. Pogorelova `` Hilbertův čtvrtý problém napsal: „V souladu s duchem doby se Hilbert omezil na rozměry n = 2, 3. A. V. Pogorelov se také omezil I když skutečný rozdíl mezi n = 2 a n > 2. Pogorelovova metoda funguje také pro n > 3, vyžaduje pouze více technických podrobností [12] ."

Vícerozměrné pouzdro

Vícerozměrný případ IV Hilbertova problému studoval ZI Sabo. V roce 1986 dokázal, jak sám píše, Pogorelovův zobecněný teorém: Věta. Jakýkoli n - rozměrný desarguesovský třídní prostor je generován Blaschke-Busemannovou konstrukcí. $C^{n+2},n>2$

$\sigma$ -míra, která generuje plochou míru, má následující vlastnosti:

$\sigma$ -míra nadrovin, které procházejí pevným bodem, je rovna nule.
$\sigma$ -míra množiny nadrovin, které protínají dva segmenty [x, y], [y, z] , kde x, y, z nejsou kolineární, je kladná.

Stejný článek uvádí příklad ploché metriky, která není generována Blaschke-Busemannovou konstrukcí. ZI Sabo popsal všechny spojité ploché metriky v jazyce zobecněných funkcí [13] .

IV Hilbertův problém a konvexní tělesa

IV Hilbertův problém také úzce souvisí s vlastnostmi konvexních těles. Konvexní mnohostěn se nazývá zonotop , pokud je součtem (podle Minkowského) úseček. Konvexní těleso, které je hranicí zonotopů v Blaschke-Hausdorffově metrice, se nazývá zonoid . Pro zonoidy je podpůrná funkce reprezentována jako

h(x)=\int \limits _{S^{n-1}}|\langle x,u\rangle |\partial \sigma (u),

kde je sudá kladná borelská míra na kouli . $\sigma (u)$ $S^{{n-1}}$

Minkowského prostor je generován Blaschke-Busemannovou konstrukcí právě tehdy, má-li podpůrná funkce indikatrix výše uvedený tvar, kde je borelovská míra, která nemusí být nutně znaménková konstanta [14] . Tělesa ohraničená takovými hyperpovrchy se nazývají generalizované zooidy. $\sigma (u)$

Osmistěn v euklidovském prostoru není zobecněný zooid. Z výše uvedeného tvrzení pak vyplývá, že plochá metrika Minkowského prostoru s normou není generována Blaschke-Busemannovou konstrukcí. $|x_{1}|+|x_{2}|+|x_{3}|\leqslant 1$ $E^{3}$ ${\displaystyle \|x\|=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,|x_{3}|\))$

Zobecnění Hilbertova problému IV

Byla nalezena korespondence mezi plochými n -rozměrnými Finslerovými metrikami a speciálními symplektickými formami na Grassmannově manifoldu v [15] . $G(n+1,2)$ $E^{n+1}$

Byla zvažována periodická řešení Hilbertova IV problému:

Nechť (M, g) je kompaktní lokálně euklidovská riemannovská varieta. Je dána Finslerova metrika, jejíž geodetika se shoduje s metrikou g . Finslerova metrika je pak součtem lokálně Minkowovy metriky a uzavřené 1-formy [16] . $C^{2}$

Nechť (M, g) je kompaktní symetrický Riemannův prostor o hodnosti větší než jedna. Jestliže F je symetrická Finslerova metrika, jejíž geodetika se shoduje s geodetikou Riemannovy metriky g, pak (M, F) je symetrický Finslerův prostor [16] . $C^{2}$

Další prezentace Hilbertova problému IV je v Paveyově práci z roku 2003 [17] .

Nevyřešené problémy

Hilbertův IV problém pro asymetrickou vzdálenost nebyl vyřešen.
Analog poslední věty pro případ symetrických prostorů první úrovně není znám.
Popište metriky, pro které k -roviny minimalizují k -oblast (G. Busemann) [18] . $RP^{n}$

Literatura

↑ D. Hilbert, Mathematische Probleme , Gottinger Nachrichten, 1900, 253-297
↑ G. Darboux, Lecons sur la theorie generale des surfaces , V.III, Paříž, 1894.
↑ 1 2 G. Hamel, Uber die Geometrien in denen die Geraden die Kurzesten sind , Math. Ann. 57 (1903), 221-264.
↑ E. Beltrami, Risoluzione del Problema: Riportare i punti di una superficie sobra un piano in modo che le linee geodetiche Vengano rappresentate da linee rette , Annali di Matematica Pura ed Applicata, č. 7 (1865), 185-204
↑ H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Lpz.-B., 1953
↑ D. Hilbert, Uber die gerade Line als kurzeste Verbindung zweier Punkte , Math. Ann. 46 (1895), 91-96
↑ LA Santalo, Integrální geometrie.- In: Studies in Global Geometry and Analysis (SS Chern, ed.), Washington, DC: Math. asoc. Amer, 147-195
↑ 1 2 G. Buseman, Geometry of geodesics , Moskva, 1962.
↑ A. V. Pogorelov, Kompletní řešení problému IV Hilberta , DAN SSSR č. 208, vol. 1 (1973), 46-49. Anglický překlad: AV Pogorelov, Kompletní řešení "Hilbertova čtvrtého problému , Dokl. Acad. Nauk SSR, Vol. 208, č. 1 (1973), 48-52.
↑ A. V. Pogorelov, Hilbertův čtvrtý problém . Ed. Nauka, 1974. Anglický překlad: AV Pogorelov, Hilbert's Fourth Problem , Scripta Series in Mathematics, Winston and Sons, 1979.
↑ RV Ambartzumian, Poznámka k pseudometrice v rovině , Z. Wahrscheinlichkeits theor. Verw. Geb. 37 (1976), 145-155.
↑ H. Busemann, Recenze: A. V. Pogorelov, Hilbertův čtvrtý problém , Bull. amer. Matematika. soc. (NS) sv. 4, č. 1 (1981), 87-90.
↑ ZI Szabo, Hilbertův čtvrtý problém I , Adv. Matematika. 59 (1986), 185-301.
↑ R. Alexander, Zonoid theory a Hilbertův čtvrtý problém , Geom. Dedicata 28, č. 2 (1988), 199-211.
↑ JC Alvarez Paiva, Sympletická geometrie a Hilbertův čtvrtý problém , J. Differ. Geom. 69, č. 2 (2005), 353-378.
↑ 1 2 J. C. Alvarez Pavia a J. Barbosa Gomes, Periodická řešení Hilbertova čtvrtého problému , 20 stran. arXiv:1809.02783v1[math.MG], 2018.
↑ JC Alvarez Paiva, Hilbert čtvrtý problém ve dvou dimenzích I , in: MASS selecta: výuka a učení pokročilé pregraduální matematiky, ed. S. Katok a kol., Providence, RI, AMS, (2003), 165-183.
↑ A. Papadopoulos, O Hilbertovi čtvrtý problém , 1-43. Handbook of Hilbert geometry (A. Papadopoulos a M. Troyanov, ed.), European Mathematical Society, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, č. 22 (2014), str. 460.

Hilbertovy problémy
jeden 2 3 čtyři 5 6 7 osm 9 deset jedenáct 12 13 čtrnáct patnáct 16 17 osmnáct 19 dvacet 21 22 23 ( 24 )