Hilbertův dvacátý první problém

Hilbertův dvacátý první problém ( Riemann-Hilbertův problém ) je jedním z 23 problémů , které David Hilbert navrhl 8. srpna 1900 na II. mezinárodním kongresu matematiků , který spočíval v potvrzení nebo vyvrácení hypotézy o existenci systému lineární diferenciální rovnice pro libovolný daný systém singulárních bodů a danou matici monodromy .

Vyřešeno zkonstruováním protipříkladu v roce 1989 Andrei Bolibrukh [1] . Přitom byl dlouho považován za vyřešený v roce 1908 Josipem Plemelem , ve svém kladném řešení v 70. letech však Julii Iljašenko objevil chybu - Plemelova konstrukce umožnila vybudovat požadovaný systém pouze tehdy, pokud alespoň jedna z matic monodromy byla diagonalizovatelná) [ 2] .

Původní znění:

21. Důkaz existence lineárních diferenciálních rovnic s danou monodromickou grupou. <...> Vždy existuje lineární fuchsovská diferenciální rovnice s danými singulárními body a danou monodromickou grupou. <…> [3]

Původní text  (německy)[ zobrazitskrýt] 21. Beweis der Existenz linearer Differentialgleichungen mit vorgeschriebener Monodromiegruppe. Problem hinweisen, welches wohl bereits Riemann im Sinne gehabt hat, und welches darin besteht, zu zeigen, daß es stets einetellechung der Fuchsen Schen einer gegebenen Monodromiegruppe giebt. Die Aufgabe verlangt also die Auffindung von n Functionen der Variabeln z, die sich überall in der complexen z-Ebene regulär verhalten, außer etwa in den gegebenen singulären Stellen: in diesen dürfen sie nur von endlich Ubelched hoher Ordnerung erfahren sie die gegebenen linearen Substitutionen. Die Existenz solcher Differentialgleichungen ist durch Constantenzählung wahrscheinlich gemacht worden, doch gelang der strenge Beweis bisher nur in dem besonderen Falle, wo die Wurzeln der Fundamentalgleichungen der gegebenen Substitutionen somämnt Betlichung Diesen Beweis klobouk L. Schlesinger {Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, Bd. 2, část 2 č. 366} auf Grund der Poincaréschen Theorie der Fuchsschen zeta-Functionen erbracht. Es würde offenbar die Theorie der linearen Diferentialgleichungen ein wesentlich abgeschlosseneres Bild zeigen, wenn die allgemeine Erledigung des bezeichneten Problems gelänge. [4] .


Poznámky

  1. ↑ A. A. Bolibrukh, „Problém Riemann-Hilbert na komplexní projektivní linii“ , Mat. notes, 46:3 (1989), 118-120
  2. ↑ Yu. S. Ilyashenko, " Nelineární Riemann-Hilbertův problém ", Diferenciální rovnice s reálným a komplexním časem, Sborník článků, Tr. MIAN, 213, Nauka, M., 1997, str. 10-34.
  3. ↑ Překlad Hilbertovy zprávy z němčiny - M. G. Shestopal a A. V. Dorofeev , publikované v knize Hilbertovy problémy / ed. P. S. Alexandrova . - M. : Nauka, 1969. - S. 39. - 240 s. — 10 700 výtisků. Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Získáno 30. prosince 2009. Archivováno z originálu 17. října 2011. 
  4. ↑ David Hilbert . Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900  (německy) . — Text zprávy, kterou četl Hilbert 8. srpna 1900 na II. mezinárodním kongresu matematiků v Paříži. Získáno 27. srpna 2009. Archivováno z originálu dne 8. dubna 2012.

Literatura

 Hilbertovy problémy