Fuchsovský singulární bod

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 21. března 2017; kontroly vyžadují 3 úpravy .

V teorii diferenciálních rovnic s komplexním časem se bod nazývá fuchsovský singulární bod lineární diferenciální rovnice $t=t_{0}\in \mathbb {C}$

{\dot {z}}=A(t)z,\quad z\in \mathbb {C} ^{n},\quad t\in \mathbb {C} ,

jestliže systémová matice A(t) má v sobě pól prvního řádu . Toto je nejjednodušší možná singularita lineární diferenciální rovnice s komplexním časem.

Také se říká, že je to fuchsovský singulární bod, pokud se bod po změně ukáže jako fuchsovský , jinými slovy, pokud matice systému má tendenci k nule v nekonečnu. $t=\infty$ $s=0$ $t=1/s$ $V)$

Nejjednodušší příklad

Jednorozměrná diferenciální rovnice má fuchsovský singulární bod na nule a její řešení jsou (obecně vícehodnotové ) funkce . Při pohybu kolem nuly se řešení vynásobí . ${\dot {z}}={\frac {a}{t}}z$ ${\displaystyle z(t)=C\cdot t^{a))$ $\lambda =e^{2\pi ia}$

Růst řešení a mapování monodromií

Když se přiblížíme k fuchsovskému singulárnímu bodu v jakémkoli sektoru, norma řešení neroste rychleji než polynomiálně:

{\displaystyle \|z(t-t_{0})\|\leq C\|t-t_{0}\|^{-N))

pro některé konstanty a . Každý fuchsovský singulární bod je tedy pravidelný . $C$ $N$

Poincaré-Dulac-Levelle normální forma

Hilbertův 21. problém

Hilbertovým dvacátým prvním problémem bylo, že za dané body na Riemannově sféře a reprezentaci fundamentální grupy jejich doplňku sestrojte systém diferenciálních rovnic s fuchsovskými singularitami v těchto bodech, pro které se monodromie ukazuje jako daná reprezentace. Dlouho se věřilo, že tento problém pozitivně vyřešil Plemel (který publikoval řešení v roce 1908 ), ale chybu v jeho řešení objevil v 70. letech Ju. S. Iljašenko . Plemeljova konstrukce ve skutečnosti umožnila sestrojit požadovaný systém, když je alespoň jedna z matic monodromie diagonalizovatelná . [jeden]

V roce 1989 publikoval A. A. Bolibrukh [2] příklad množiny singulárních bodů a monodromických matic, které nelze realizovat žádným fuchsovským systémem, čímž se problém vyřešil negativně.

Literatura

↑ Yu. S. Ilyashenko, " Nelineární Riemann-Hilbertův problém ", Diferenciální rovnice s reálným a komplexním časem, Sborník článků, Tr. MIAN, 213, Nauka, M., 1997, str. 10-34.
↑ A. A. Bolibrukh, „Problém Riemann-Hilbert na komplexní projektivní linii“ , Mat. notes, 46:3 (1989), 118-120

A. A. Bolibrukh, Problémy inverzní monodromy v analytické teorii diferenciálních rovnic, M.: MTsNMO, 2009.
Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, Lectures on Analytic Differential Equations, AMS, 2007.