Monodromii

V matematice je monodromie [1] jev spočívající v přeměně nějakého objektu při jeho uzavření podél netriviální uzavřené cesty.

Historie

Objev monodromie se vrací ke sporu mezi d'Alembertem a Eulerem o tom, jaké hodnoty logaritmus nabývá na záporných číslech. Logaritmus nelze definovat na nule, proto je pro zodpovězení této otázky nutné přejít do komplexní oblasti . Logaritmus je rozšířen na nenulová komplexní čísla pomocí analytického pokračování . V době Eulera tato technika ještě nebyla formalizována a on se řídil vzorcem nesoucím jeho jméno (které však Kotsu stále znal ): . Pokud segmentem od do prochází reálné číslo , pak bod $\log(\cos x+i\sin x)=ix$ $X$ $0$ $\pi$ $z=\cos x+i\sin x$ prochází horní polovinou jednotkového kruhu v komplexní rovině a pro , máme . Na druhou stranu v tomto případě segment pomyslné osy probíhá od do , takže je přirozené předpokládat, že . $x=\pi$ $z=-1$ $\log z=ix$ $0$ $i\pi$ $\log(-1)=i\pi$

Pokud se však neomezíme na půlkruh, ale necháme bod procházet celým kruhem, pak odpovídající bod , který je dobře vidět, bude muset běžet od do , a logaritmus tedy bude probíhat segmentem od do . Proto je z Eulerova pohledu nutné umožnit komplexnímu logaritmu , aby nabral hodnotu i hodnotu – a umožnit vám obejít jednotkový kruh tolikrát, kolikrát chcete v libovolném směru, pak všechny hodnoty pro všechna možná celá čísla . Aby Euler tento problém vyřešil, musel připustit, že komplexní logaritmus je „ funkce s více hodnotami “ – koncept striktně definovaný Riemannem o mnoho let později. $z$ $X$ $0$ $2\pi$ $0$ $2\pi i$ $\mathrm {Log} ~1$ $0$ $2\pi i$ $2\pi in$ $n$

Demystifikace "logaritmu jako vícehodnotové funkce": monodromie diferenciálních rovnic

Z pohledu moderní matematiky je řešení tohoto problému následující. Cotes-Eulerův vzorec je o něco více než způsob, jak říci, že logaritmus splňuje diferenciální rovnici . Pokud funkci reprezentujeme jako její graf, pak to geometricky znamená, že se graf logaritmu v bodě dotýká přímky překlenuté vektorem , kde jsou jednotkové vektory nasměrovány podél souřadnicových os. Když , , integrální křivky takového vektorového pole protnou každou svislou čáru jednou, a jsou tedy grafy funkcí, které jsou ve skutečnosti funkcemi . Když znáte počáteční podmínku , umožňuje vám to obnovit logaritmus. $\log(\cos x+i\sin x)=ix$ $y'(x)=1/x$ ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {C} ^{2))$ $\partial _{x}+\partial _{y}/x$ $\partial _{x},~\partial _{y}$ $x,y\in \mathbb {R}$ $x>0$ $y(x)=\log x+C$ $y(1)=0$

Současně, pokud budeme uvažovat vektorové pole jako holomorfní vektorové pole na (není definováno v ), pak jeho integrální křivky, i když to budou dobře definované holomorfní křivky v , nebudou grafy žádné funkce : integrální křivky toto pole protíná každý řádek formuláře v nekonečných množinách, které se od sebe liší posunem o vektor . $\partial _{x}+\partial _{y}/x$ $\mathbb {C} ^{2}$ $x=0$ $\mathbb {C} ^{2}$ $y=y(x)$ $x=C$ $(0,2\pi palce)$

Z hlediska teorie diferenciálních rovnic je užitečné považovat tento obrázek nikoli za rovinu, ale za triviální fibraci s vrstvou přes Riemannovu kouli s několika vpichy (v tomto případě v bodech a ). Topologicky je Riemannova koule se dvěma vpichy prstenec , a proto je její základní skupina izomorfní . Generátorem této skupiny je homotopická třída jednotkového kruhu; při uzavření kolem jednotkové kružnice se řešení diferenciální rovnice posune o . Toto je formálně řečeno takto: monodromie diferenciální rovnice je reprezentace cyklické skupiny , která posílá generátor do posunu o . Akce je definována následovně: bod je vnímán jako okrajová podmínka diferenciální rovnice v jejím omezení na naši smyčku, řešení pokračuje analyticky podél smyčky a po návratu do výchozího bodu v ní určuje nějakou novou hodnotu. Transformace vrstev, která transformuje původní okrajovou podmínku na výsledek analytického pokračování, se nazývá transformace monodromy . $\mathbb {C}$ $0$ $\infty$ $S^{1}\times (-1,+1)$ $\pi _{1}(S^{1})=\mathbb {Z}$ $2\pi i$ $y'(x)=1/x$ $\mathbb {Z}$ $2\pi i$ $(x,y)$

Zvláště zajímavá je monodromie lineárních Fuchsových rovnic . V tomto případě nebude odpovědí jedna funkce, ale několik, to znamená, že část svazku s vrstvou není , ale . Navíc, protože rovnice je lineární, analytické pokračování řešení kolem uzavřené smyčky neurčuje žádné holomorfní transformace , ale lineární. Monodromie lineární Fuchsovy rovnice je tedy zobrazením . Vzhledem k tomu, že základní skupina koule s více vpichy je volná , lze takovou reprezentaci definovat tak, že ke každému vpichu přiřadíme komplexní matici (pak je monodromie kolem zbývajícího vpichu inverzní součinu známých monodromických matic. ve správném pořadí). Slavný Riemann-Hilbertův problém se ptá, zda je možné kolem nich rekonstruovat lineární Fuchsovu rovnici pro jakoukoli danou sadu punkcí a monodromických matic kolem nich. To bylo pozitivně vyřešeno Plemeljem v roce 1908 , dokud Iljašenko nezjistil, že aby toto řešení bylo pravdivé, musí být alespoň jedna monodromická matice diagonalizovatelná. Poté, v roce 1989, Bolibrukh zkonstruoval protipříklad, čímž poskytl negativní řešení klasické verze problému Riemann-Hilbert. [2] $\mathbb {C}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $\pi _{1}(\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\setminus \{z_{1},\tečky ,z_{k}\})\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$

Monodromie krytin

Snad nejjednodušší pojem monodromie vzniká v topologii, konkrétně v teorii krytů . Nechť být kryt (jehož základna je spojena cestou, ale celkový prostor je možná odpojený) a být dva body v základně. Spojením cestičkou tuto cestu zvedneme do celkového prostoru krytiny. Tento výtah bude záviset na volbě inverzního obrazu bodu , ale podle krycí homotopické věty nic víc. Zejména výběr („okrajové podmínky“) jednoznačně určuje . Uveďme cesty v souladu s mapováním , které vede bod do odpovídajícího bodu („Cauchyho mapování“). Toto mapování nezávisí na třídě homotopie přibité cesty, zejména pokud byla cesta smyčkou, pak dává permutaci vrstvy v závislosti pouze na třídě homotopie této smyčky. Spojení s třídou homotopie permutační smyčky vrstvy dává zobrazení , které, jak je snadné ověřit, je grupový homomorfismus. Tento homomorfismus se nazývá reprezentace monodromy a jeho obraz se nazývá skupina monodromy . $p\colon Y\to X$ $x,x'\in X$ $\gamma$ $y(x)\in p^{-1}(x)$ $y(x)$ $y(x')$ $\gamma$ $p^{-1}(x)\to p^{-1}(x')$ $y(x)$ $y(x')$ ${\displaystyle p^{-1}(x)=Y_{x))$ $\pi _{1}(X)\to {\mathfrak {S}}(Y_{x})$

Historicky byla teorie krytí formalizována právě v Riemannových pracích souvisejících s monodromií diferenciálních rovnic, kde formalizoval koncept vícehodnotové funkce. Jeho kryty byly kryty proražené Riemannovy koule, na které by se „mnohohodnotové funkce“ staly dobře známými jednohodnotovými funkcemi a různé hodnoty vícehodnotových funkcí v jednom bodě by byly jednoduše jejími hodnotami. na všech předobrazích tohoto bodu na obálce. Například pro dvouhodnotovou funkci je odpovídajícím krytím dvouvrstvý kryt Riemannovy koule proražené v bodech a pro komplexní logaritmus její univerzální kryt . Skupiny monodromy jsou v těchto případech skupiny a , resp . Obdobně , vrstvený kryt koule se dvěma vpichy odpovídá funkci s hodnotou a má monodromickou grupu , takže má smysl mluvit o logaritmu jako o "kořenině nekonečného stupně". ${\sqrt {z))$ $0$ $\infty$ $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $m$ $m$ ${\sqrt[{m}]{z))$ $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$

Uvažujme vícehodnotovou funkci danou podmínkou , kde je dostatečně obecný polynom stupně . Krytina, na které se funkce stává jednohodnotovou, má listy, takže její monodromická grupa je podgrupou symetrické grupy a pro dostatečně obecný polynom vyčerpá celou symetrickou grupu. Řešitelnost rovnice v radikálech (tj. reprezentovatelnost funkce jako složení aritmetických operací a odmocninových stupňů) odpovídá skutečnosti, že odpovídající pokrytí získáme jako složení pokrytí s monodromií , jinými slovy , je řešitelná skupina . Skutečnost, že symetrické grupy jsou řešitelné na , odpovídá řešitelnosti v radikálech rovnic do čtvrtého a neřešitelnost grupy odpovídá Abel-Ruffiniho teorému . Tato věta obsahuje nejstarší představu o topologické povaze monodromie. $y=y(x)$ $x=P(y)$ $P$ $n$ $y$ $n$ ${\mathfrak {S}}_{n}$ $P(t)=0$ $y(x)$ $m_i$ $\mathbb {Z} /m_{i}\mathbb {Z}$ ${\mathfrak {S}}_{n}$ $n<5$ ${\mathfrak {S}}_{5}$

Monodromie plochých spojů

V diferenciální geometrii vzniká pojem monodromie jako zvláštní případ pojmu holonomie . Totiž nechť je svazek, pro jednoduchost vektorový svazek a buď v něm spojení . Potom lze s každou hladkou cestou po částech spojit operaci paralelního překladu pomocí spojení. Konkrétně, pokud uvažujeme uzavřené po částech hladké smyčky s počátkem v bodě , dostaneme transformaci vrstvy, tedy prvek skupiny . Protože třída po částech-hladkých smyček je uzavřena při zřetězení a obrácení směru procházení smyčky dává inverzní endomorfismus, množina všech takových endomorfismů tvoří skupinu. Tato skupina se nazývá skupina holonomie . $E\to X$ $\nabla$ $\gamma \colon [0;1]\to X$ ${\displaystyle E_{\gamma (0)}\to E_{\gamma (1)))$ $X$ $\mathrm {GL} (E_{x})$

Pokud by navíc bylo spojení ploché, pak z Frobeniovy věty , aplikované na rozložení horizontálního rozložení na celkovém prostoru , vyplývá, že holonomie podél smyčky se svými malými deformacemi nemění, to znamená, že závisí na pouze na své homotopické třídě. Proto je u plochých spojení smysluplnější mluvit o monodromii než o holonomii. Z topologického hlediska to odpovídá následujícímu: z Frobeniovy věty vyplývá, že jakýkoli vektor v plochém svazku může být lokálně rozšířen na plochý řez (takové řezy se také nazývají horizontální, paralelní nebo kovariančně konstantní). Pokud budeme uvažovat celkový prostor svazku s jinou topologií (označíme ho takovou topologií ), ve kterém budou základem otevřených množin průsečíky lokálních horizontálních řezů s otevřenými podmnožinami v , pak bude promítací mapa ve skutečnosti být krytinou a monodromie takové krytiny bude jednoduše monodromií svazku s plochou konektivitou. $E$ $E$ $E$ $E'$ $E$ $E'\to X$

Původní, eulerovský koncept monodromie pro lineární diferenciální rovnice prvního řádu s komplexním časem lze získat uvažováním triviálního holomorfního svazku nad proraženou Riemannovou koulí se spojením odpovídajícím této diferenciální rovnici. Je však třeba poznamenat, že pokud by rovnice byla druhého nebo vyššího řádu, pak najít její interpretaci pokud možno v nějaké ploché souvislosti geometrického charakteru je mimořádně netriviální úkol: například mnoho prací se věnují souvislosti mezi hypergeometrickou rovnicí a Gauss-Maninovým spojením . [3] [4]

Myšlenku, jak aplikovat monodromii na neplanární spojení, vyvinul Bogomolov a jeho studenti. Uvažujme pro jednoduchost Riemannovu plochu s vyznačeným bodem a uvažme kategorii všech možných konečných podmnožin neobsahujících , kde morfismus existuje, ledaže (pokud si objekt představujeme jako Riemannovu plochu , ze které jsou body podmnožiny proraženy, pak je morfismus jednoduše identické vložení více proraženého povrchu k méně proraženému). Nyní aplikujte na tuto kategorii funktor v kategorii grup . Limita výsledného grupového diagramu bude označena . Tuto skupinu lze neformálně považovat za základní skupinu povrchu proraženého ve všech bodech kromě . Hladká smyčka po částech založená na bodu má v této skupině dobře definovanou třídu, protože ji má v základních skupinách všech možných povrchů proražených mimo tuto smyčku. Jestliže je svazek se spojením přes , pak mapa, která transformuje smyčku na holonomii spojení podél ní, je homomorfismus podobný reprezentaci monodromy. Na skupině lze zavést netriviální topologii , jmenovitě limit diskrétních topologií podél výše popsaného diagramu. V tomto případě bude spojení odpovídat souvislému zobrazení, pokud toto spojení bylo ploché mimo několik bodů (například spojení Levi-Civita pro povrch mnohostěnu v ). Ve známé analogii mezi Riemannovými plochami a číselnými poli odpovídá taková skupina (ale ne doslovně) konečnému dokončení Galoisovy grupy . $X$ $X$ $S\subset X$ $X$ $S\to S'$ $S\supset S'$ $S$ $X$ $S$ $S\mapsto \pi _{1}(X\setminus S,x)$ $\Pi _{1}(X,x)$ $X$ $X$ $X$ $(E,\nabla )$ $X$ $\Pi _{1}(X,x)\to \mathrm {GL} (E_{x})$ $\Pi _{1}(X,x)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\Pi _{1}(X,x)$

Poznámky

↑ Důraz na čtvrté slabice je historicky charakteristický pro moskevskou školu, na třetí - pro Petrohradskou školu.
↑ A. A. Bolibrukh, „Problém Riemann-Hilbert na komplexní projektivní linii“ , Mat. notes, 46:3 (1989), 118-120
↑ S. Bloch . [jeden]
↑ W. J. Hoffman . Aritmetické vlastnosti Picard-Fuchsových diferenciálních rovnic