Distribuce (diferenciální geometrie)

Distribuce na rozdělovači je dílčím svazkem tečného svazku rozdělovače. Jinými slovy, v každém bodě je zvolen lineární podprostor tečného prostoru , který plynule závisí na bodu . $M$ $x\v M$ $\Delta _{x}$ $T_{x}M$ $X$

Distribuce se používají v teorii integrability a v teorii foliace na varietu.

Definice

Dovolit být hladký - dimenzionální různý a . Předpokládejme, že v každém bodě je vybrán -rozměrný podprostor tečného prostoru tak , že každý bod má sousedství a lineárně nezávislá hladká vektorová pole a pro jakýkoli bod tvoří vektory základ podprostoru . $M$ $n$ $k\leq n$ $x \v M$ $k$ $\Delta _{x}\subset T_{x}(M)$ $x\v M$ $U_{x}\subset M$ $k$ $X_{1},\ldots ,X_{k}$ $y\in U_{x}$ $X_{1}(y),\ldots ,X_{k}(y)$ $\Delta _{y}\subset T_{y}(M)$

V tomto případě se sbírka všech podprostorů , , nazývá -rozměrná distribuce na manifoldu . $\Delta$ $\Delta _{x}$ $x \v M$ $k$ $M$

V tomto případě se vektorová pole nazývají lokální báze rozdělení $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$ $\Delta .$

Involutivní distribuce

Distribuce na se nazývá involutivní , pokud v blízkosti každého bodu existuje lokální distribuční báze taková , že všechny Lieovy závorky vektorových polí patří do lineárního rozpětí , to znamená, že jsou lineárními kombinacemi vektorů . involutivní se píše jako . $\Delta$ $M$ $x \v M$ $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$ $[X_{i},X_{j}]$ $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}$ $[X_{i},X_{j}]$ $\{X_{1},\ldots ,X_{k}\}.$ $\Delta$ $[\Delta ,\Delta ]\subset \Delta$

Involutivní distribuce jsou tečné prostory k foliacím . Involutivní rozdělení jsou důležitá v tom, že splňují podmínky Frobeniovy věty a vedou tak k integrovatelným systémům.

Definování distribuce 1-formovým systémem

Na otevřené množině může být -rozměrná distribuce dána systémem hladkých 1-forem definovaných v a lineárně nezávislých v každém bodě: je definováno rovnicemi . Jestliže a jsou systémy 1-forem, které určují distribuci v a v , pak na průsečíku forma , kde jsou hladké funkce takové, že v . Jestliže , říkáme , že je dán globální definující systém formulářů . $U\podmnožina M$ $k$ $\Delta$ ${\displaystyle \omega _{1},\tečky ,\omega _{nk))$ $U$ $\omega _{i}(\xi )=0$ ${\displaystyle \{\omega _{1}\tečky ,\omega _{nk}\))$ ${\displaystyle \{\omega _{1}',\tečky ,\omega _{nk}'\))$ $\Delta$ $U$ $U'$ $U\cap U'$ ${\displaystyle \omega _{i}=\sum \phi _{ij}\omega _{j))$ ${\displaystyle \phi _{ij))$ $\det(\phi _{ij})\neq 0$ $U\cap U'$ $U=M$

Integrovatelnost distribuce

$k$ O -rozměrném rozdělení se říká, že je integrovatelné , pokud existuje -rozměrný integrální povrch procházející každým bodem, který je tečný k rozdělení v každém z jeho bodů. $x\v M$ $k$

Jednorozměrné rozdělení je dáno vektorovým polem , které nezaniká . Takové rozdělení je vždy integrovatelné díky lokální existenci a teorému jednoznačnosti pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic.

V případě -dimenzionální , existují integrovatelné i neintegrovatelné distribuce. Frobeniova věta dává nezbytnou a postačující podmínku integrovatelnosti rozdělení. $k$ $k>1$

Frobeniova věta z hlediska vektorových polí

Věta: -rozměrná distribuce je integrovatelná právě tehdy, když je množina vektorů tečných k distribuci uzavřena pod Lieovou závorkou . $k$

Involutivní distribuce jsou tedy integrovatelné.

Frobeniova věta z hlediska 1-forem

Věta: -rozměrné rozdělení dané soustavou hladkých 1-forem je integrovatelné tehdy a jen tehdy, když je nějaký diferenciál $k$ ${\displaystyle \omega _{1},\tečky ,\omega _{nk))$

${\displaystyle d\omega _{i}=\sum _{j}\eta _{j}^{i}\wedge \omega _{j))$ ,

kde jsou hladké 1-formy. Pokud jsou definující formuláře nezávislé, je tato podmínka ekvivalentní systému ${\displaystyle \eta _{j}^{i))$ $\omega _{{i}}$

$\omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{nk}\wedge d\omega _{i}=0$ .

Integrovatelná distribuce definuje foliaci na rozdělovači : její vlákna jsou integrální distribuční povrchy. Všimněte si, že -rozměrná distribuce je vždy integrovatelná, a proto generuje -rozměrnou foliaci . $\Delta$ $M$ $jeden$ $jeden$

Thurstonova věta

Thurstonův teorém : Na uzavřené varietě je každé rozdělení homotopicky integrovatelné [1] , [2] .

Pro otevřenou varietu nalezl Haefliger kritérium pro distribuci, aby byla homotopická k nějaké integrovatelné distribuci [3] .

Viz také

Poznámky

↑ W. Thurston , Teorie foliace kodimenze větší než jedna - Comm. Matematika. Helv. 49 (1974), str. 214–231.
↑ W. Thurston , Existence kodimenze jedna foliací - Ann. of Math., 104:2 (1976), str. 249–268.
↑ A. Haefliger , Feuilletages sur les variétés ouvertes - Topology, 9:2 (1970), pp. 183–194.

Literatura

Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Moderní geometrie. Metody a aplikace. — M .: Nauka, 1971.
Fomenko A. T. , Fuchs D. B. Kurz topologie homotopie. — M .: Nauka, 1989.