Vektorový svazek

Vektorový svazek je specifická geometrická konstrukce odpovídající rodině vektorových prostorů parametrizovaných jiným prostorem (například to může být topologický prostor , varieta nebo algebraická struktura ): každý bod prostoru je spojen s vektorovým prostorem , takže jejich spojení tvoří prostor stejného typu jako (topologický prostor, varieta nebo algebraická struktura atd.), nazývaný prostor vektorového svazku nad . Samotný prostor se nazývá základna svazku . $X$ $X$ $X$ $X$ $V_{x}$ $X$ $X$ $X$

Vektorový svazek je speciální typ lokálně triviálních svazků , které jsou zase zvláštním typem svazků .

Obvykle se uvažuje o vektorových prostorech nad reálnými nebo komplexními čísly. V tomto případě se vektorové svazky nazývají reálné nebo komplexní. Komplexní vektorové svazky lze považovat za skutečné s dodatečnou strukturou.

Příklady

Nejjednodušším příkladem je triviální svazek , který má formu přímého součinu , kde je topologický prostor (základ svazku) a je vektorovým prostorem. $X\times V$ $X$ $PROTI$
Složitějším příkladem je svazek tečny hladkého potrubí : každý bod na potrubí je spojen s tečným prostorem k potrubí v tomto bodě. Tangentní svazek může být obecně netriviální.
Dalším příkladem netriviálního svazku je Möbiův pás . Začneme triviálním svazkem kóty 1 přes segment a na jeho koncích čáry slepíme podle pravidla . Toto je příklad vektorového svazku, který nelze orientovat. $[0,1]$ $[0,t]\sim [1,-t]$

Definice

Vektorový svazek je lokálně triviální svazek , jehož vláknem je vektorový prostor se strukturou skupiny reverzibilních lineárních transformací . $PROTI$ $PROTI$

Související definice

Podsvazek U vektorového svazku V na topologickém prostoru X je sbírka lineárních podprostorů , , která sama o sobě má strukturu vektorového svazku. $U_{x}\subset V_{x}$ $x\in X$
Svazek čar je vektorový svazek úrovně 1.

Morfismy

Morfismus z vektorového svazkudo vektorového svazkuje dán dvojicí spojitých zobrazeníatakovými ${\displaystyle \pi _{1}\colon E_{1}\to X_{1))$ ${\displaystyle \pi _{2}\colon E_{2}\to X_{2))$ ${\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2))$ ${\displaystyle g\colon X_{1}\to X_{2))$

$g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f$
pro any , indukované mapování je lineární mapování vektorových prostorů. $x\in X_{1}$ $\pi _{1}^{-1}(\{x\})\to \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\}),$ $F,$

Všimněte si, že je definován (jelikož je surjekce); v tomto případě říkají, že pokrývá . $G$ $F$ $\pi_{1}$ $F$ $G$

Třída všech vektorových svazků spolu s morfismy svazků tvoří kategorii . Když se omezíme na vektorové svazky, které jsou hladkými varietami a hladkými morfismy svazků, získáme kategorii hladkých vektorových svazků . Morfismy vektorových svazků jsou speciálním případem mapování svazků mezi lokálně triviálními svazky, často se jim říká homomorfismus (vektorových) svazků .

Homomorfismus svazků od do spolu s inverzním homomorfismem se nazývá izomorfismus (vektorových) svazků . V tomto případě se svazky nazývají izomorfní . Izomorfismus vektorového svazku (rank ) oproti triviálnímu svazku (rank over ) se nazývá trivializace , zatímco triviální (nebo trivializovatelný ). Z definice vektorového svazku je jasné, že jakýkoli vektorový svazek je lokálně triviální . $E_1$ $E_2$ $E_1$ $E_2$ $k$ $E$ $X$ $k$ $X$ $E$ $E$

Operace se svazky

Většinu operací s vektorovými prostory lze rozšířit na vektorové svazky tak, že to uděláte bodově .

Pokud je například vektorový svazek na , pak existuje svazek na , nazývaný duální svazek , jehož vlákno v bodě je duální vektorový prostor . Formálně jej lze definovat jako množinu dvojic kde a . Dvojitý balíček je lokálně triviální. $E$ $X$ $E^{*}$ $X$ $x\in X$ $(E_{x})^{*}$ $E^{*}$ $(x,\varphi )$ $x\in X$ $\varphi \in E_{x}^{*}$

Existuje mnoho funkčních operací prováděných na párech vektorových prostorů (na jednom poli). Rozšiřují se přímo na páry vektorových svazků na (přes dané pole). Zde jsou nějaké příklady. $E,F$ $X$

Whitneyův součet , nebo svazek přímého součtu a, je vektorový svazekna, jehož vlákno v boděje přímým součtem vektorových prostorůa. $E$ $F$ $E\oplus F$ $X$ $X$ $E_{x}\oplus F_{x}$ ${\displaystyle E_{x))$ $F_{x}$

Svazek tenzorových součinů je definován podobně pomocí bodových tenzorových součinů vektorových prostorů. $E\otimes F$

Svazek homomorfismu ( hom-bundle ) je vektorový svazek, jehož vlákno v bodě je prostorem lineárních zobrazení od do (často označovaného nebo ). Tento svazek je užitečný, protože existuje bijekce mezi homomorfismy vektorových svazků od do do a části do . $\operatorname {Hom} \,(E,F)$ $X$ ${\displaystyle E_{x))$ $F_{x}$ $\operatorname {Hom} \,(E_{x},F_{x})$ $L(E_{x},F_{x})$ $E$ $F$ $X$ $\operatorname {Hom} \,(E,F)$ $X$

Viz také

Odkazy

Mishchenko A.S. Vektorové svazky a jejich aplikace. - M .: Věda. Hlava. vyd. Fyzikální matematika lit., 1984. - 208 s.
Jurgen Jost. Riemannova geometrie a geometrická analýza - (2002) Springer-Verlag, Berliná ISBN 3-540-42627-2 - Viz část 1.5 .
Ralph Abraham , Jerrold E. Marsden. Základy mechaniky, - (1978) Benjamin-Cummings, LondonbISBN 0-8053-0102-X -Viz část 1.5.