Algebra

Algebra (z arabštiny اَلْجَبْرُ ‎ al -jabr „doplňování“ [1] ) je odvětví matematiky , které lze volně charakterizovat jako zobecnění a rozšíření aritmetiky ; v této části jsou čísla a další matematické objekty označovány písmeny a jinými symboly, což umožňuje zapisovat a studovat jejich vlastnosti v nejobecnější podobě. Slovo „algebra“ se také používá v obecné algebře ve jménech různých algebraických systémů . V širším smyslu je algebra chápána jako odvětví matematiky věnující se studiu operací s prvky množin libovolného charakteru, zobecňující obvyklé operace sčítání a násobení čísel [2] .

Klasifikace

Algebra jako odvětví matematiky tradičně zahrnuje následující kategorie.

Elementární algebra , která studuje vlastnosti operací na reálných číslech . V něm jsou konstanty a proměnné označeny abecedními znaky. Elementary Algebra obsahuje pravidla pro transformaci algebraických výrazů a rovnic pomocí těchto symbolů. Obvykle se vyučuje ve škole zvané algebra [3] .
Obecná algebra , někdy nazývaná moderní algebra nebo abstraktní algebra , kde jsou axiomatizovány a studovány nejobecnější algebraické struktury , jako jsou skupiny , kruhy a pole .
Univerzální algebra , která studuje vlastnosti společné všem algebraickým strukturám (považovaná za podsekci obecné algebry).
Lineární algebra , která studuje vlastnosti vektorových prostorů (včetně matic ).
Algebraická kombinatorika , ve které se metody abstraktní algebry používají ke studiu otázek v kombinatorice .

Elementární algebra

Elementární algebra je odvětví algebry, které studuje nejzákladnější pojmy. Obvykle se studuje poté, co se naučí základní pojmy aritmetiky . V aritmetice se studují čísla a nejjednodušší (+, −, ×, ÷) operace s nimi. V algebře jsou čísla nahrazena proměnnými ( a tak dále). Tento přístup je užitečný, protože: $a,b,c,x,y$

Umožňuje získat obecnou představu o zákonech aritmetiky (například pro jakékoli a ), což je první krok k systematickému studiu vlastností reálných čísel . $a + b = b + a$ $A$ $b$
Umožňuje zavést pojem „neznámý“, formulovat rovnice a studovat způsoby jejich řešení. (Například „Najdi číslo x takové, že “ nebo obecněji „Najdi číslo x takové, že “. To vede k závěru, že nalezení hodnoty proměnné nespočívá v povaze čísel z rovnice, ale v operacích mezi nimi.) $3x+1=10$ $ax+b=c$
Umožňuje nám formulovat pojem funkce . (Například „Pokud jste prodali vstupenky , váš zisk bude rublů nebo , kde je funkce a je číslo, na kterém funkce závisí.) $X$ $3x-10$ $f(x)=3x-10$ $F$ $X$

Lineární algebra

Lineární algebra je část algebry, která studuje vektory, vektorové nebo lineární prostory, lineární zobrazení a systémy lineárních rovnic . Lineární algebra dále zahrnuje teorii determinantů , teorii matic , teorii forem (například kvadratická ), teorii invariantů (částečně), tenzorový počet (částečně) [4] . Moderní lineární algebra se zaměřuje na studium vektorových prostorů [5] .

Lineární neboli vektorový prostor nad polem je uspořádaný čtyřnásobek , kde $V\left(F\right)$ $F$ $(V,F,+,\cdot )$

PROTI

- neprázdná množina prvků libovolné povahy, které se nazývají vektory ;

F

- (algebraické) pole, jehož prvky se nazývají skaláry ;

+\colon V\times V\to V

je operace sčítání vektorů, která mapuje na každou dvojici prvků množiny jediný prvek množiny , označený ;

\mathbf {x} ,\mathbf {y}

PROTI

PROTI

\mathbf {x} +\mathbf {y}

\cdot \colon F\times V\to V

je operace násobení vektorů skaláry, která spojuje každý prvek pole a každý prvek množiny s jediným prvkem množiny , označeným ;

\lambda

\in F

\mathbf {x}

PROTI

PROTI

\lambda \mathbf {x}

navíc dané operace splňují následující axiomy — axiomy lineárního (vektorového) prostoru:

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$ , pro libovolné ( komutativnost sčítání ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$
$\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z}$ , pro libovolné ( asociativita sčítání ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V$
existuje prvek , který zejména pro jakýkoli ( existence neutrálního prvku s ohledem na sčítání ) není prázdný; $\theta \in V$ $\mathbf {x} +\theta =\mathbf {x}$ $\mathbf {x} \in V$ $PROTI$
pro any existuje prvek takový, že ( existence opačného prvku vzhledem ke sčítání ). $\mathbf {x} \in V$ $-\mathbf {x} \in V$ $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\theta$
$\alpha (\beta \mathbf {x} )=(\alpha \beta )\mathbf {x}$ ( asociativita násobení skalárem );
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ( unitarita: násobení neutrálním (násobením) prvkem pole F zachovává vektor ).
$(\alpha +\beta )\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x}$ ( distributivita násobení vektorem s ohledem na sčítání skalárů );
$\alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y}$ ( distributivita násobení skalárem s ohledem na sčítání vektorů ).

Euklidovské prostory , afinní prostory , stejně jako mnoho dalších prostorů studovaných v geometrii , jsou definovány na základě vektorového prostoru. Automorfismy vektorového prostoru nad polem tvoří grupu pod násobením izomorfní ke skupině nedegenerovaných čtvercových matic , která spojuje lineární algebru s teorií grup , konkrétně s teorií lineárních reprezentací grup [5] .

Přechod od n-rozměrných vektorových prostorů používaných v lineární algebře k nekonečně-rozměrným lineárním prostorům se projevil v některých částech funkcionální analýzy [4] . Dalším přirozeným zobecněním je použití nikoli pole, ale libovolného kruhu . Pro modul nad libovolným prstencem základní věty lineární algebry neplatí. Obecné vlastnosti vektorových prostorů nad polem a modulů nad kruhem jsou studovány v algebraické K-teorii [5] .

Obecná algebra

Obecná algebra se zabývá studiem různých algebraických systémů. Zabývá se vlastnostmi operací s objekty bez ohledu na skutečnou povahu objektů [2] . Zahrnuje především teorii grup a kruhů. Obecné vlastnosti charakteristické pro oba typy algebraických systémů vedly k úvahám o nových algebraických systémech: svazy, kategorie, univerzální algebry, modely, pologrupy a kvazigrupy. Do obecné algebry patří také uspořádané a topologické algebry, částečně uspořádané a topologické grupy a okruhy [6] .

Přesná hranice obecné algebry není definována. Může také zahrnovat teorii polí, konečných grup, konečnorozměrné Lieovy algebry [6] .

Teorie grup

Neprázdná množina s definovanou binární operací se nazývá skupina , pokud platí následující axiomy: $G$ $*\,\dvojtečka G\times G\to G$ $(G*)$

asociativita :; $\forall (a,b,c\v G):(a*b)*c=a*(b*c)$
přítomnost neutrálního prvku : ; $\existuje e\v G\quad \forall a\in G:(e*a=a*e=a)$
přítomnost inverzního prvku : $\forall a\in G\quad \existuje a^{-1}\in G:(a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)$

Pojem grupy vznikl jako výsledek formálního popisu symetrie a ekvivalence geometrických objektů. V Galoisově teorii , která dala vzniknout konceptu grupy, se skupiny používají k popisu symetrie rovnic, jejichž kořeny jsou kořeny nějaké polynomiální rovnice . Skupiny se používají všudypřítomně v matematice a přírodních vědách, často k objevování vnitřní symetrie objektů ( skupiny automorfismu ). Téměř všechny struktury obecné algebry jsou speciálními případy grup.

Teorie prstenů

Kruh je množina R , na které jsou dány dvě binární operace : + a × (nazývané sčítání a násobení ) s následujícími vlastnostmi:

$\forall a,b\v R\left(a+b=b+a\vpravo)$ — komutativnost sčítání;
$\forall a,b,c\v R\left(a+(b+c))=((a+b)+c\right)$ - asociativita sčítání;
$\existuje 0\v R\;\pro všechny a\v R\vlevo (a+0=0+a=a\vpravo)$ - existence neutrálního prvku s ohledem na sčítání;
$\forall a\v R\;\existuje b\v R\left(a+b=b+a=0\vpravo)$ - existence opačného prvku s ohledem na sčítání;
$\forall a,b,c\in R\;(a\krát b)\krát c=a\krát (b\krát c)$ - asociativita násobení (někteří autoři nepožadují splnění tohoto axiomu [7] )
$\forall a,b,c\v R\left\{{\begin{matice}a\krát (b+c)=a\krát b+a\krát c\\(b+c)\krát a=b \times a+c\times a\end{matrix}}\vpravo.$ - distributivita .

Univerzální algebra

Univerzální algebra je speciální odvětví obecné algebry, které se zabývá studiem vlastností charakteristických pro všechny algebraické systémy. Algebraický systém je libovolná neprázdná množina s danou (možná nekonečnou) množinou operací konečného pole a relacemi konečného pole: , , . Množina se v tomto případě nazývá nosná (neboli hlavní množina) systému, množina funkčních a predikátových symbolů s jejich aritami je její signaturou . Systém s prázdnou množinou relací se nazývá univerzální algebra (v kontextu předmětu - častěji jen algebra) a s prázdnou množinou operací - model nebo systém relací, relační systém. ${\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle$ $F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\do A,\tečky f_{i}:A^{n_{i}}\do A,\tečky \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\tečky r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\tečky \rangle$ $A$ $\langle F,R,\langle n_{1},\tečky n_{i},\tečky \rangle ,\langle m_{1}\tečky m_{i},\tečky \rangle \rangle$

V pojmech univerzální algebry je například kruh univerzální algebra taková, že algebra je Abelovská skupina a operace je levá a pravá distributivní s ohledem na . O prstenci se říká , že je asociativní , pokud je multiplikativní grupoid pologrupa . $\left(R,+,\times\right)$ $\left(R,+\right)$ $+$ $\krát$

Sekce se zabývá jak vlastními univerzálními algebrami, tak doprovodnými strukturami: monoid všech endomorfismů , grupa všech automorfismů , svazy všech subalgeber a všechny kongruence [8] . $\mathbf {Konec} {\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Aut} {\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Sub} {\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Con} {\mathfrak {A}}$

Univerzální algebra je na průsečíku logiky a algebry [6] .

Historický nástin

Počátky algebry sahají do starověku. Aritmetické operace na přirozených číslech a zlomcích – nejjednodušší algebraické operace – se nacházejí v raných matematických textech [3] . V roce 1650 před naším letopočtem E. Egyptští písaři uměli řešit abstraktní rovnice prvního stupně a nejjednodušší rovnice druhého stupně, mezi ně patří úlohy 26 a 33 z Rindova papyru a úloha 6 z moskevského papyru (tzv. „aha“ úlohy). Předpokládá se, že řešení problémů bylo založeno na pravidle falešné pozice [9] . Stejné pravidlo, ale extrémně zřídka, používali Babyloňané [10] .

Babylonští matematici věděli, jak řešit kvadratické rovnice. Zabývali se pouze kladnými koeficienty a kořeny rovnice, protože neznali záporná čísla. Podle různých rekonstrukcí v Babylonu znali buď pravidlo pro druhou mocninu součtu, nebo pravidlo pro součin součtu a rozdílu, nicméně způsob výpočtu odmocniny je plně v souladu s moderním vzorcem. Existují také rovnice třetího stupně [11] . Kromě toho byla v Babylonu zavedena speciální terminologie, k označení první neznámé („délka“), druhé neznámé („šířka“), třetí neznámé („hloubka“), jakož i různých odvozených veličin se používalo sumerské klínové písmo . („pole“ jako součin „délky“ a „šířky“, „objem“ jako součin „délky“, „šířky“ a „hloubky“), které lze považovat za matematické symboly, neboť akkadština byla používána již v r. běžná řeč . Přes zřejmý geometrický původ úloh a termínů byly používány abstraktně, zejména „plocha“ a „délka“ byly považovány za homogenní [10] . K řešení kvadratických rovnic bylo nutné umět provádět různé shodné algebraické transformace, pracovat s neznámými veličinami. Byla tak identifikována celá třída problémů, pro jejichž řešení je nutné použít algebraické techniky [11] .

Po objevení nesouměřitelnosti strany a úhlopříčky čtverce prošla řecká matematika krizí, k jejímuž řešení přispěla volba geometrie jako základu matematiky a definice algebraických operací pro geometrické veličiny. Geometrická algebra je předmětem druhé knihy Euklidových prvků , prací Archiméda a Apollonia . Pomocí segmentů , obdélníků a rovnoběžnostěnů , sčítání a odčítání byl definován součin (obdélník postavený na dvou segmentech). Taková reprezentace umožnila dokázat distributivní zákon násobení s ohledem na sčítání, identitu pro druhou mocninu součtu. Algebra byla původně založena na planimetrii a přizpůsobena především k řešení kvadratických rovnic [12] . Současně jsou problémy formulované Pythagorejci o zdvojnásobení krychle a třísekání úhlu a sestavení pravidelných mnohoúhelníků [13] redukovány na algebraické rovnice . Řešení kubických rovnic bylo vyvinuto v dílech Archiméda (práce „O sféře a válci“ a „O konoidech a sféroidech“), který studoval rovnici v obecné formě . Jednotlivé úlohy byly řešeny pomocí kuželoseček [14] . $x^{3}+ax+b=0$

K neočekávanému přechodu k algebře založené na aritmetice došlo v dílech Diophanta , který zavedl označení písmen: neznámé číslo nazval "číslo", druhou mocninu neznáma - "čtverec", třetí - "krychle", čtvrtý - "čtverec-čtverec", pátý - "čtverec-krychle", šestý - "krychle-krychle". Zavedl také zápis záporných mocnin, volný termín, záporné číslo (nebo odčítání) a rovnítko. Diophantus znal a používal pravidlo pro převod toho, co se odečítá z jedné části rovnice do druhé, a pravidlo pro redukci stejných členů [15] . Při zkoumání rovnic třetího a čtvrtého stupně používá Diophantus metody geometrické algebry k nalezení racionálního bodu na křivce, jako je kreslení tečny v racionálním bodě křivky nebo kreslení přímky přes dva racionální body. V 10. století byla Diofantova aritmetika, ve které nastínil své metody, přeložena do arabštiny a v 16. století se dostala do západní Evropy a ovlivnila díla Fermata a Viety . Myšlenky Diophantus mohou být také viděny v dílech Eulera , Jacobi , Poincare a jiných matematiků až do začátku 20. století. V současnosti jsou problémy Diofanta obvykle připisovány algebraické geometrii [16] .

2000 let před naším časem řešili čínští vědci rovnice prvního stupně a jejich soustavy a také kvadratické rovnice (viz Matematika v devíti knihách ). Už znali záporná a iracionální čísla. Protože v čínštině každý znak znamená pojem, neexistovaly žádné zkratky. Ve 13. století Číňané objevili zákon tvorby binomických koeficientů, nyní známý jako „ Pascalův trojúhelník “. V Evropě byl objeven až o 250 let později [17] .

Termín "algebra" je převzat z práce středoasijského vědce Al-Khwarizmiho " Krátká kniha o výpočtu al-jabr a al-muqabala " ( 825 ). Slovo „al-jabr“ v tomto případě znamenalo operaci převodu odečteného z jedné části rovnice do druhé a jeho doslovný význam je „doplnění“ [1] .

Ve 12. století se do Evropy dostala algebra. Od té doby začíná jeho rychlý rozvoj. Byly objeveny metody řešení rovnic 3 a 4 stupňů. Záporná a komplexní čísla se rozšířila. Je dokázáno, že žádnou rovnici nad 4. stupněm nelze řešit algebraickým způsobem.

Až do druhé poloviny 20. století byla praktická aplikace algebry omezena především na řešení algebraických rovnic a soustav rovnic s více proměnnými. Ve druhé polovině 20. století začal prudký rozvoj řady nových odvětví techniky. Objevily se elektronické počítače , zařízení pro ukládání, zpracování a přenos informací a sledovací systémy radarového typu . Návrh nových typů technologií a jejich využití je nemyslitelné bez použití moderní algebry. Elektronické počítače jsou tedy uspořádány podle principu konečných automatů . Metody booleovské algebry se používají k návrhu elektronických počítačů a elektronických obvodů . Moderní počítačové programovací jazyky jsou založeny na principech teorie algoritmů . Teorie množin se používá v počítačových systémech vyhledávání a ukládání informací . Teorie kategorií se používá v problémech rozpoznávání vzorů , definování sémantiky programovacích jazyků a dalších praktických problémů. Kódování a dekódování informací se provádí metodami teorie grup . Teorie rekurentních sekvencí se využívá při provozu radarů . Ekonomické výpočty jsou nemožné bez použití teorie grafů . Matematické modelování široce využívá všechny větve algebry.

Poznámky

↑ 1 2 Alexandrova N. V. Matematické pojmy.(Příručka). Moskva: Vyšší škola, 1978, s. 6.
↑ 1 2 Algebra // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ 1 2 Vinogradov I. M. Algebra // Matematická encyklopedie. - M .: Sovětská encyklopedie, 1977.
↑ 1 2 Lineární algebra // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ 1 2 3 Vinogradov I. M. Lineární algebra // Mathematical Encyclopedia. - M .: Sovětská encyklopedie, 1977.
↑ 1 2 3 Vinogradov I. M. Obecná algebra // Matematická encyklopedie. - M .: Sovětská encyklopedie, 1977.
↑ Algebra - článek z matematické encyklopedie
↑ Vinogradov I. M. Univerzální algebra // Matematická encyklopedie. - M .: Sovětská encyklopedie, 1977.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 29-30.
↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 42.
↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 42-46.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 78-80.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 82-86.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 86-87.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 144-146.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 146-150.
↑ M. Ya. Vygodsky "Příručka elementární matematiky"

Literatura

Historie matematiky: ve 3 svazcích / editoval A.P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970. - T. I: Od starověku do počátku Nového věku.
Nikiforovsky V. A. Z historie algebry XVI-XVII století. - M .: Nauka, 1979. - S. 174-204. — 208 s. — (Dějiny vědy a techniky).

Odkazy

Algebra v adresáři Curlie Links Directory (dmoz)
Informace na počátku 20. století : Algebra // Encyklopedický slovník Brockhaus a Efron : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 doplňkové). - Petrohrad. , 1890-1907.

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX527665 BNF : 119308580 GND : 4001156-2 J9U : 987007293933405171 LCCN : sh85003425 NDL : 00561221 NKC : ph114025

Odvětví matematiky

Portál "Věda"

Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky

Teorie čísel ( aritmetika )

Algebra
Elementární algebra	Řešení rovnice
Lineární algebra	Vektorový počet matrice Tenzorový počet Multilineární algebra
Obecná algebra	Komutativní algebra Teorie reprezentace Diferenciální algebra Homologická algebra Univerzální algebra Teorie kategorií

Analýza
Klasická analýza	Diferenciální počet Integrální počet
Teorie funkcí	Harmonická analýza Kvaternionová analýza Komplexní analýza teorie míry Teorie funkcí reálné proměnné funkční analýza Variační počet
Diferenciální a integrální rovnice	Dynamické systémy a ergodická teorie Diferenciální rovnice obyčejný v parciálních derivacích Integrální rovnice
Vektorová analýza Globální analýza Teorie katastrofy Vlastní analýza Hladká infinitezimální analýza

Geometrie a topologie
Geometrie	Algebraická geometrie Analytická geometrie Euklidovská geometrie Neeuklidovská geometrie Planimetrie Stereometrie
Topologie	Obecná topologie Algebraická topologie Diferenciální geometrie a topologie

Diskrétní matematika
Kombinatorika teorie grafů

Aplikovaná matematika
Matematická fyzika Matematická chemie matematická biologie Matematické statistiky Matematické modelování Teorie algoritmů Numerické metody matematická ekonomie finanční matematika Teorie pravděpodobnosti Operační výzkum Herní teorie

Portál "Matematika"
Kategorie "Matematika"