Zdvojnásobení kostky

Zdvojení krychle je klasický starověký problém sestrojení hrany krychle pomocí kružítka a pravítka , jehož objem je dvojnásobkem objemu dané krychle [1] .

Spolu s trisekcí úhlu a kvadraturou kružnice je to jeden z nejznámějších neřešitelných konstrukčních problémů kružítka a pravítka. Tyto problémy hrály důležitou roli v historii matematiky.

Historie

Podle prastaré legendy jednoho dne vypukl na ostrově Delos mor. Obyvatelé ostrova se obrátili k delfskému orákulu a ten řekl, že je nutné zdvojnásobit oltář svatyně, který měl tvar krychle. Obyvatelé Delosu postavili druhou kostku a umístili ji na první, ale epidemie se nezastavila. Po druhém odvolání orákulum objasnilo, že zdvojený oltář musí být jedna krychle.

Od té doby se problémem Dillí zabývali nejlepší matematici starověkého světa, bylo navrženo několik řešení, ale nikdo nebyl schopen dokončit takovou konstrukci pouze pomocí kružítka a pravítka, takže se postupně vyvinul všeobecný názor že takový problém je neřešitelný. Dokonce i Aristoteles ve IV století před naším letopočtem. E. napsal: "Prostřednictvím geometrie je nemožné dokázat, že ... dvě krychle tvoří jednu krychli" [2] .

Pokusy o řešení

• Hippokrates z Chiosu (konec 5. století př. n. l.) ukázal, že problém se scvrkává na nalezení dvou průměrných proporcí mezi jedním segmentem a druhým, dvakrát tak velkým, než je tento. V moderní notaci - k nalezení takového , že . Odtud .

• Archytas z Tarentu (začátek 4. století př. n. l.) navrhl řešení založené na průniku torusu , kužele a kruhového válce .

• Platón (první polovina 4. století př. n. l.) navrhl mechanické řešení založené na konstrukci tří pravoúhlých trojúhelníků s požadovaným poměrem stran.

• Menechmus (polovina 4. století př. n. l.) našel dvě řešení tohoto problému založená na použití kuželoseček. V prvním řešení je nalezen průsečík dvou parabol a ve druhém jsou nalezeny paraboly a hyperboly.

• Eratosthenes (III. století př. nl) navrhl další řešení, které využívá speciální mechanický nástroj - mesolabium , a také popsal řešení svých předchůdců.

• Nicomedes (II. století př. n. l.) k vyřešení tohoto problému použil metodu vkládání, prováděnou pomocí speciální křivky - konchoidů .

• Skupina podobných řešení Apollonia , Philo Byzantium a Heron také používají metodu vkládání.

• V další skupině vzájemně podobných řešení, patřících k Dioclesovi , Pappusovi a Sporesovi , je použita stejná myšlenka jako v Platónově řešení , zatímco Dioklés používá ke stavbě speciální křivku - cissoid .

Svá řešení nabídli i Viète , Descartes , Grégoire de Saint-Vincent , Huygens , Newton .

Nerozhodnutelnost

V moderní notaci je problém redukován na řešení rovnice . Řešení vypadá jako . Všechno se to týká problému konstrukce segmentu délky . V roce 1837 Pierre Wantzel dokázal, že tento problém nelze vyřešit pomocí kompasu a pravítka .

Řešení s dalšími nástroji

Zdvojení kostky je neřešitelné pomocí kružítka a pravítka, ale lze to provést pomocí některých doplňkových nástrojů.

• Zdvojení kostky lze provést stavbou pomocí plochého origami [3] .

• Zdvojení kostky lze provést pomocí nevsis . Vezměme rovnostranný trojúhelník MPN se stranou a , prodlužme stranu PN a sestrojíme bod R ve vzdálenosti a od bodu N (obr. 1). Prodlužme segmenty NM a RM doleva . Vezměme nevsis pravítko s diastemou a a pomocí přímky NM jako vodítka, bodu P jako pólu a přímky RM jako cílové přímky sestrojíme úsečku AB . Délka segmentu BP odpovídá straně krychle s dvojnásobným objemem ve srovnání s krychlí se stranou a .

Literatura

• Belozerov S.E. Pět slavných problémů starověku. Historie a moderní teorie. - Rostov: nakladatelství Rostovské univerzity, 1975. - 320 s.
• Glazer G.I. Historie matematiky ve škole . - M. : Vzdělávání, 1964. - S. 324-325.
• Prasolov VV Tři klasické konstrukční problémy. Zdvojení krychle, trisekce úhlu, kvadratura kruhu . — M .: Nauka, 1992. — 80 s. - ( Populární přednášky o matematice , číslo 62).
• Chistyakov V.D. Tři slavné problémy starověku. - M .: Stát. uch.-ped. nakladatelství Ministerstva školství RSFSR, 1963. - S. 8-28. — 96 str. .
• Shchetnikov A. I. Jak byla nalezena některá řešení tří klasických problémů starověku? // Matematické vzdělání. - 2008. - č. 4 (48) . - str. 3-15 .
• Shchetnikov A. I. Jak byla nalezena některá řešení problému zdvojení kostky? Historický a matematický výzkum , č. 15 (50), 2014, s. 65-78.

Poznámky

1. ↑ Zdvojnásobení kostky // Velká sovětská encyklopedie / V. A. Vvedenskij. — 2. vydání. - Velká sovětská encyklopedie, 1956. - T. 43. - S. 648. - 300 000 výtisků.
2. ↑ Aristoteles . Druhá analýza, část I, kap. 7. M.: Gospolitizdat, 1952.
3. ↑ Petrunin A. Ploché origami a konstrukce  // Kvant . - 2008. - č. 1 . - S. 38-40 . (Ruština)