Budova s kompasem a pravítko

Budova s kompasem a pravítko

Mediální soubory na Wikimedia Commons

Konstrukce pomocí kružítka a pravítka je úsek euklidovské geometrie , známý již od starověku .

V konstrukčních problémech se předpokládá, že kompasy a pravítko jsou ideálními nástroji, zejména:

Pravítko nemá žádné dělení a má stranu nekonečně dlouhé, ale pouze jednu.
Kružítko může mít jakýkoli (velký nebo malý) otvor (může kreslit kružnici o libovolném poloměru) a zachovává si poslední otvor, to znamená, že může kreslit identické kružnice kdekoli.

Příklady

Problém s půlením . Pomocí kružítka a pravítka rozdělte daný segment AB na dvě stejné části. Jedno z řešení je znázorněno na obrázku:

Pomocí kružítka kreslíme kružnice se středem v bodech A a B o poloměru AB .
Najdeme průsečíky P a Q dvou sestrojených kružnic (oblouků).
Nakreslete úsečku nebo čáru podél pravítka procházející body P a Q.
Najdeme požadovaný střed segmentu AB - průsečík AB a PQ .

Formální definice

V konstrukčních úlohách se uvažuje množina následujících objektů: všechny body roviny, všechny přímky roviny a všechny kružnice roviny. V podmínkách problému je zpočátku specifikována (považována za zkonstruovaná) určitá množina objektů. Je povoleno přidat (sestavit) do sady postavených objektů:

libovolný bod;
libovolný bod na dané přímce;
libovolný bod na dané kružnici;
průsečík dvou daných čar;
průsečíky/tečny dané přímky a dané kružnice;
průsečíky/tečny dvou daných kružnic;
libovolná přímka procházející daným bodem;
přímka procházející dvěma danými body;
libovolný kruh se středem v daném bodě;
libovolná kružnice s poloměrem rovným vzdálenosti mezi dvěma danými body;
kružnice se středem v daném bodě a s poloměrem rovným vzdálenosti mezi dvěma danými body.

Je potřeba za pomoci konečného počtu těchto operací sestrojit další množinu objektů, která je v daném vztahu s původní množinou.

Řešení konstrukčního problému obsahuje tři podstatné části:

Popis metody pro konstrukci dané množiny.
Důkaz, že popsaným způsobem konstruovaná množina je skutečně v daném vztahu s původní množinou. Obvykle se důkaz konstrukce provádí jako běžný důkaz věty, opírající se o axiomy a další dokázané věty.
Analýza popsané konstrukční metody z hlediska její použitelnosti na různé varianty výchozích podmínek a také z hlediska jednoznačnosti či nejedinečnosti řešení získaného popsanou metodou.

Známé výzvy

Apolloniův problém sestrojit kružnici tečnou ke třem daným kružnicím. Pokud žádný z daných kruhů neleží uvnitř druhého, pak má tento problém 8 v podstatě odlišných řešení.
Brahmaguptův problém sestrojit vepsaný čtyřúhelník na jeho čtyřech stranách.

Konstrukce pravidelných mnohoúhelníků

Starověcí geometrové věděli, jak sestrojit pravidelné n - úhelníky pro , , a . $n=2^k$ $n=3\cdot 2^{k}$ $n=5\cdot 2^{k}$ $n=3\cdot 5\cdot 2^{k}$

V roce 1796 Gauss ukázal možnost konstrukce pravidelných n - úhelníků pro , kde jsou různá Fermatova prvočísla . V roce 1836 Wanzel dokázal, že neexistují žádné jiné pravidelné polygony , které by bylo možné sestrojit pomocí kružítka a pravítka. $n=2^{k}\cdot p_{1}\cdots p_{m}$ $p_{i}$

Neřešitelné problémy

Staří Řekové stanovili tyto tři konstrukční úkoly:

trisekce úhlu - rozdělit libovolný úhel na tři stejné části;
zdvojení krychle - sestrojte hranu krychle dvojnásobně většího objemu než daná krychle;
kvadratura kruhu znamená sestrojit čtverec, který má stejnou plochu jako daná kružnice.

Až v 19. století bylo důsledně prokázáno, že všechny tři tyto problémy nelze vyřešit pouze pomocí kružítka a pravítka. Důkaz neřešitelnosti těchto konstrukčních úloh byl dosažen pomocí algebraických metod založených na Galoisově teorii [1] . Zejména nemožnost sestrojit kvadraturu kružnice vyplývá z transcendence čísla π .

Dalším známým a neřešitelným problémem pomocí kružítka a pravítka je konstrukce trojúhelníku podle tří daných délek os [2] . Tento problém zůstává neřešitelný i v přítomnosti nástroje, který provádí třísekci úhlu , jako je tomahawk . [3]

Přípustné segmenty pro stavbu pomocí kružítka a pravítka

Pomocí těchto nástrojů je možné sestrojit segment, který má délku:

rovná se součtu délek několika segmentů;
rovná se rozdílu délek dvou segmentů;
číselně se rovná součinu délek dvou segmentů;
číselně se rovná podílu dělení délek dvou segmentů;
číselně se rovná druhé odmocnině délky daného segmentu (vyplývá z možnosti sestrojit geometrický průměr dvou segmentů, viz obrázek). [čtyři]

Pro sestrojení segmentu s délkou číselně rovnou součinu, privátní a druhé odmocnině z délek daných segmentů je nutné na konstrukční rovině nastavit jednotkový segment (tj. segment délky 1), jinak problém je neřešitelný kvůli nedostatku měřítka. Extrahování kořenů ze segmentů s jinými přírodními mocnostmi, které nejsou mocninou 2, není možné pomocí kružítka a pravítka. Je tedy například nemožné sestrojit segment délky z jednoho segmentu pomocí kružítka a pravítka . Tato skutečnost zejména implikuje neřešitelnost problému zdvojení kostky. [5] ${\sqrt[ {3}]{2}}$

Možné a nemožné konstrukce

Z formálního hlediska je řešení libovolné konstrukční úlohy redukováno na grafické řešení nějaké algebraické rovnice a koeficienty této rovnice jsou vztaženy k délkám daných úseků. Proto můžeme říci, že problém konstrukce je redukován na nalezení skutečných kořenů nějaké algebraické rovnice.

Proto je vhodné mluvit o konstrukci čísla – grafického řešení rovnice určitého typu.

Na základě možných konstrukcí segmentů jsou možné následující konstrukce:

Konstrukce řešení lineárních rovnic .
Konstrukce řešení rovnic Redukce na řešení kvadratických rovnic .

Jinými slovy, je možné sestavit pouze segmenty rovné aritmetickým výrazům pomocí druhé odmocniny původních čísel (daných délkou segmentů).

Řešení musí být vyjádřeno pomocí odmocnin , nikoli libovolných radikálů stupňů. I když má algebraická rovnice řešení v radikálech , pak to neznamená možnost sestrojit pomocí kružítka a pravítka úsečku rovnající se jejímu řešení. Nejjednodušší taková rovnice: souvisí se slavným problémem zdvojení krychle, redukována na tuto kubickou rovnici . Jak již bylo zmíněno výše, řešení této rovnice ( ) nelze sestrojit pomocí kružítka a pravítka. $x^{3}-2=0,$ ${\sqrt[ {3}]{2}}$

Schopnost sestrojit pravidelný 17úhelník vyplývá z výrazu pro kosinus středového úhlu jeho strany:

\cos {\left({\frac {2\pi }{17}}\right)}=-{\frac {1}{16}}\;+\;{\frac {1}{16 }}{\sqrt {17}}\;+\;{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\;+\;

+{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}},

což zase vyplývá z možnosti redukovat rovnici ve tvaru kde je libovolné prvočíslo Fermatovo číslo pomocí změny proměnné na kvadratickou rovnici.

x^{F_{n}}-1=0,

F_{n}

Variace a zobecnění

Konstrukce s jediným kompasem. Podle Mohr-Mascheroniho věty můžete s pomocí jednoho kružítka postavit jakoukoli figurku, kterou lze postavit kružítkem a pravítkem. V tomto případě se čára považuje za sestrojenou, pokud jsou na ní uvedeny dva body.
Konstrukce s jedním pravítkem. Je zřejmé, že pomocí jednoho pravítka lze provádět pouze projektivně invariantní konstrukce. Zejména,
- není možné ani rozdělit segment na dvě stejné části,
- je také nemožné najít střed daného kruhu.

Nicméně,

v přítomnosti dříve nakreslené kružnice v rovině s vyznačeným středem a jedním pravítkem lze provádět stejné konstrukce jako s kružítkem a pravítkem ( Steiner-Ponceletův teorém ).
Jsou-li na pravítku dvě patky, pak konstrukce s její pomocí jsou ekvivalentní konstrukcím s pomocí kružítka a pravítka ( Napoleon učinil důležitý krok, aby to dokázal ).

Konstrukce s omezenými nástroji. V problémech tohoto druhu jsou nástroje (na rozdíl od klasické formulace problému) považovány za ne ideální, ale omezené: přímku přes dva body lze nakreslit pomocí pravítka pouze tehdy, pokud vzdálenost mezi těmito body nepřesáhne určitou hodnota; poloměr kružnic nakreslených kružítkem lze omezit shora, zdola nebo shora i zdola.
Konstrukce pomocí plochého origami , viz pravidla Fujita
Konstrukce pomocí kloubových mechanismů jsou konstrukce na rovině a v prostoru pomocí jednoduchých tyčí spojených na koncích závěsy. Tímto způsobem můžete sestavit libovolné algebraické číslo [6] .

Zajímavosti

Centrální vzor na státní vlajce Íránu je právně popsán jako konstrukce využívající kompas a pravítko [7] .

Viz také

Softwarové balíčky pro dynamickou geometrii umožňují provádět virtuální konstrukce pomocí kružítka a pravítka na monitoru počítače.

Poznámky

↑ Kirichenko, 2005 , s. jeden.
↑ Kdo a kdy dokázal nemožnost sestrojit trojúhelník ze tří os? Archivováno 18. října 2009 na Wayback Machine . Vzdálené konzultační místo pro matematiku MCNMO .
↑ Je možné sestavit trojúhelník o třech osách, pokud je kromě kružítka a pravítka povoleno použít i trisektor Archival copy of August 26, 2015 at Wayback Machine . Vzdálené konzultační místo pro matematiku MCNMO .
↑ Kirichenko, 2005 , s. čtyři.
↑ Kirichenko, 2005 , s. 9.
↑ Maehara, Hiroshi (1991), Vzdálenosti v rigidním grafu jednotkových vzdáleností v rovině , Discrete Applied Mathematics vol. 31 (2): 193–200 , DOI 10.1016/0166-218X(91)90070-D .
↑ Iranian Flag Standard Archived 21. června 2012 na Wayback Machine (os.)

Literatura

Adler A. Teorie geometrických konstrukcí / Z němčiny přeložil G. M. Fikhtengolts. - Třetí edice. - L .: Uchpedgiz, 1940. - 232 s.
Alexandrov I. I. Sbírka geometrických úloh pro konstrukci . — Osmnácté vydání. - M .: Uchpedgiz, 1950. - 176 s.
Argunov B. I., Balk M. B. Geometrické konstrukce na rovině. Manuál pro studenty pedagogických ústavů . - Druhé vydání. - M .: Uchpedgiz, 1957. - 268 s.
Voronets A. M. Geometrie kompasu . - M. - L. : ONTI, 1934. - 40 s. — (Populární knihovna v matematice, editoval L. A. Lyusternik).
Geiler V. A. Neřešitelné konstrukční problémy // SOZH . - 1999. - č. 12 . - S. 115-118 .
Kirichenko V. A. Konstrukce s kompasem a pravítkem a Galoisova teorie // Letní škola "Moderní matematika". - Dubna, 2005.
Manin Yu. I. Kniha IV. Geometrie // Encyklopedie elementární matematiky . - M. : Fizmatgiz, 1963. - 568 s.
Petersen Yu.Metody a teorie pro řešení geometrických konstrukčních problémů . - M . : Tiskárna E. Lissnera a Yu. Romana, 1892. - 114 s.
Prasolov VV Tři klasické konstrukční problémy. Zdvojení krychle, trisekce úhlu, kvadratura kruhu . — M .: Nauka, 1992. — 80 s. - ( Populární přednášky o matematice ).
Geometrické konstrukce // Příručka matematiky (pro střední školy) / Tsypkin A. G., ed. Štěpánová S. A. - 3. vyd. — M.: Nauka, Ch. vydání Phys.-Math. Literatura, 1983. - S. 200-213. — 480 s.
Steiner J. Geometrické konstrukce prováděné pomocí přímky a pevné kružnice . - M .: Uchpedgiz, 1939. - 80 s.
Volitelný kurz matematiky. 7-9 / Komp. I. L. Nikolskaja. - M . : Vzdělávání , 1991. - S. 80. - 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 .

Odkazy

Pravidelné polygonové konstrukce Dr. Matematika na The Math Forum
Konstrukce s kompasem Pouze při rozříznutí uzlu
Úhlová trisekce od Hippokrata při rozříznutí uzlu
Weisstein, Eric W. Angle Trisection (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4792645-4

Budova s ​​kompasem a pravítko