Steiner-Ponceletova věta

Steinerova - Ponceletova věta je věta  z  oblasti geometrických konstrukcí , která říká , že jakákoliv konstrukce , kterou lze provést na rovině pomocí kružítka a pravítka , může být provedena jedním pravítkem , pokud je nakreslena alespoň jedna kružnice a je vyznačen její střed .

Přesná formulace

Klasická formulace podmínky věty vyžaduje dvě vysvětlení:

1. V některých konstrukčních úlohách je nutné sestrojit kružnici s nějakou vlastností. V jakém smyslu může být postavena s jediným pravítkem? V teorii konstrukcí s jedním pravítkem je zvykem předpokládat, že kruh je postaven, pokud je postaven jeho střed a na něm libovolný bod.

2. Podmínka Steiner-Ponceletovy věty předpokládá, že na rovině nejsou žádné další křivky, jinak se sady nástrojů "kompas + pravítko" a "pravítko + kruh + její střed" nemusí stát ekvivalentními. Například, jestliže parabola je nakreslena na rovině , pak libovolný úhel může být rozdělen na tři stejné části pomocí kružítka a pravítka; přitom je-li na rovině nakreslena parabola, kružnice a její střed, pak lze jedním pravítkem rozdělit pouze některé (ne všechny) úhly na tři stejné části.

Závažnost podmínek

Pokud je na rovině nakreslena kružnice, ale její střed není označen, lze s jedním pravítkem provádět mnoho, ale ne všechny, konstrukcí. Například je možné sestrojit tečnu k této kružnici, ale není možné sestrojit její střed.

Otevřený problém: popište, které konstrukce jsou možné a které nejsou možné pomocí jednoho pravítka, pokud je v rovině dán kružnice a není dán její střed

Otevřený problém: V rovině jsou dány dvě neprotínající se kružnice. Je možné nakreslit přímku spojující jejich středy jedním pravítkem?

Pokud není na rovině nakreslena kružnice, pak se rozsah konstrukcí, které lze provádět jedním pravítkem, ještě více zužuje - konkrétně nelze jedním pravítkem sestrojit 4 body ležící na stejné kružnici. Některé netriviální konstrukce však lze provádět s jedním pravítkem, například:

Otevřený problém: popište, jaké konstrukce s jedním pravítkem jsou možné.

Buffové

Steiner-Ponceletův teorém zůstává pravdivý, i když není dán celý kruh, ale pouze jeho libovolně malý oblouk (a střed).

Pokud jsou v rovině uvedeny dvě protínající se nebo tečné kružnice, pak s jedním pravítkem můžete provádět jakoukoli konstrukci, kterou lze provést pomocí kružítka a pravítka.

Jsou-li v rovině uvedeny 3 neprotínající se kružnice, které nepatří stejné tužce, lze s jedním pravítkem provádět jakoukoli konstrukci, kterou lze provést pomocí kružítka a pravítka.

Odkazy

Viz také