Deltový

Deltoid (nebo Steinerova křivka ) je rovinná algebraická křivka popsaná pevným bodem kružnice valící se po vnitřní straně další kružnice, jejíž poloměr je třikrát větší než poloměr první.

Deltoid je speciální případ hypocykloidy v . $k=3$

Historie

Obyčejné cykloidy studovali Galileo Galilei a Marin Mersenne již v roce 1599, ale o speciálních cykloidních křivkách poprvé uvažoval Ole Rømer v roce 1674 při studiu nejlepší formy zubů ozubených kol. Leonhard Euler poprvé zmiňuje skutečný deltoid v roce 1745 v souvislosti s problémem v optice.

Křivka dostala své jméno pro svou podobnost s řeckým písmenem Δ . Jeho vlastnosti poprvé zkoumal L. Euler v 18. století a poté J. Steiner v 19. století .

Rovnice

Deltoid může být reprezentován (až po rotaci a paralelní posun) pomocí následující parametrické rovnice :

x=(ba)\cos(t)+a\cos \left({\frac {ba}{a}}t\right)\,

y=(ba)\sin(t)-a\sin \left({\frac {ba}{a}}t\right)\,,

kde a je poloměr valivého kruhu, b je poloměr větší kružnice, po které se výše zmíněná kružnice odvaluje. (Na obrázku výše b = 3a .)

Ve složitých souřadnicích má tvar

{\displaystyle z=2ae^{it}+ae^{-2it))

Implicitní rovnice v pravoúhlém systému:

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}+18(x^{2}+y^{2})=8x^{3}-24y^{2}x +27

Parametrické:

{\begin{cases}x=2r\cos {t}+r\cos(2t)\\y=2r\sin {t}-r\sin(2t)\end{cases))

kde je jedna třetina polárního úhlu.

t={\frac {\varphi }{3))

V polárních souřadnicích má tvar

r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.

Vlastnosti

Křivka má tři singularity ( cusp ) odpovídající parametrické rovnici výše. $t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3))$
3 vrcholy deltoidu jsou 3 vrcholy rovnostranného trojúhelníku .
Deltoid je racionální křivka rodu nula .
Délka průsečíku oblasti ohraničené deltoidem s některou z jeho tečen je pevná a rovna , kde je poloměr pevné kružnice. ${\tfrac {4}{3}}{\cdot R}$ $R$
Deltoid je algebraická křivka řádu 4.
Délka křivky , kde je poloměr pevné kružnice. $\textstyle L={\frac {16}{3}}R$ $R$
Oblast ohraničená deltovým svalem, . $\textstyle S={\frac {2}{9}}\pi R^{2}$
Deltoidy tečné ke dvěma větvím (na obrázku jsou všechny tři větve černé), nakreslené ve dvou bodech konců úsečky tečny k její třetí větvi (nazývané dva spojené body, na obrázku jsou modré), vždy se protínají v pravém úhlu (neznázorněno na obrázku) . Vrchol tohoto pravého úhlu vždy leží na kružnici malého kruhu (na stejném obrázku je malý kruh červený a je popsán červenou tečkou uprostřed modrého segmentu), dotýkající se tří naznačených větví [1] .

Aplikace

Deltoidy vznikají v několika oblastech matematiky. Například:

Sada komplexních vlastních hodnot unistochastických matic třetího řádu tvoří deltoid .
Průřez množinou unistochastických (unistochastických) matic třetího řádu tvoří deltoid.
Množina možných stop unitárních matic patřících do skupiny SU(3) tvoří deltoid.
Průnik dvou deltoidů parametrizuje rodinu komplexních Hadamardových matic (Complex Hadamard matrix) šestého řádu.
Všechny Simsonovy čáry daného trojúhelníku tvoří obálky ve tvaru deltoidu. Je známá jako Steinerův deltoid nebo Steinerova hypocykloida podle Jakoba Steinera , který v roce 1856 popsal tvar a symetrii křivky [2] .
Obálka pro rodinu čar, které půlí plochu trojúhelníku , je deltoidní křivka s vrcholy ve středních bodech tří mediánů . Oblouky tohoto „deltoidu“ jsou oblouky hyperboly , které mají asymptoty procházející stranami trojúhelníku [3] [4] .
Jako řešení problému s jehlou byl navržen deltový sval .

Viz také

Poznámky

↑ Savelov, 1960 , s. 127.
↑ Lockwood, 1961 .
↑ Dunn, JA, and Pretty, JA, "Halving a trojúhelník", Mathematical Gazette 56, květen 1972, 105-108.
↑ Osy plochy trojúhelníku . Získáno 29. října 2019. Archivováno z originálu dne 21. listopadu 2017. (neurčitý)

Literatura

Savelov A.A. _ Ploché křivky: Systematika, vlastnosti, aplikace. Referenční příručka / Ed. A.P. Norden . - M .: Fizmatlit , 1960. - S. 124-129.
V. Berezin. Deltoid // Kvant . - 1977. - č. 3 . - S. 19 . (Ruština)
EH Lockwood. Chapter 8: The Deltoid // A Book of Curves (anglicky) . — Cambridge University Press , 1961.

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius