Problém s jehlou

Problém jehly je určit minimální plochu obrázku v rovině, ve které lze jeden segment, „jehlu“, otočit o 180 stupňů a vrátit ji do původní polohy s obrácenou orientací. To lze provést v kruhu o poloměru 1/2. Další příklad - postava ohraničená deltovým svalem - je na obrázku, má menší plochu.

Ukazuje se, že je možné sestrojit postavu s libovolně malou plochou.

Historie

Touto otázkou se zabýval Kakeya . Dokázal, že pro konvexní oblasti dosahuje minimálního obsahu rovnostranný trojúhelník s výškou 1. Jeho obsah je [1] .

Možná Kakeya také předpokládal, že postava ohraničená deltovým svalem , jako na obrázku, má nejmenší plochu. Toto tvrzení bylo vyvráceno Besikovičem .

The Besicovitch set

Besikovich zkonstruoval kompaktní soubor nulové míry obsahující jednotkový segment v libovolném směru.

Z toho snadno vyplývá, že jehlu lze rozložit do tvaru libovolně malé plochy. Ve skutečnosti je snadné vidět, že jednotkový kruh lze rozdělit na sektory a umístit do libovolně malého okolí množiny jedním paralelním posunem .

Všimněte si, že jednotkový segment lze posunout na rovnoběžnou čáru v obrazci o libovolně malé ploše. Otočením segmentu v jednom sektoru jej lze přetáhnout do dalšího a procházet množinou libovolně malé oblasti; opakováním této operace několikrát získáme požadovaný obrat.

Variace a zobecnění

• V Besikovichově konstrukci, protože plocha obrázku má tendenci k nule, jeho průměr má tendenci k nekonečnu. V roce 1941 H. J. Van Alphen ukázal [2] , že jehlu lze rozmístit v obrazci o libovolně malé ploše, který je uvnitř kruhu o poloměru 2 + ε (pro libovolné ε > 0).

• Jednoduše se spojí vhodné (ve kterých lze jehlou otáčet) sestavy o ploše menší, než má postava ohraničená deltovým svalem.
  • Takové příklady byly nalezeny v roce 1965. Melvin Bloom a I. Yu Schoenberg ukázali, že jejich oblast může být libovolně blízko .
  • V roce 1971 Cunningham ukázal [3] , že pro jakékoli ε > 0 existuje vhodný jednoduše spojený obrazec s plochou menší než , obsažený v kružnici o poloměru 1.

• Besicovitchovu množinu v Rn definujeme jako množinu nulové míry obsahující jednotkový segment v libovolném směru (takové množině se také říká množina Kakeya nebo množina Kakeya). Takzvaná Kakeyova domněnka uvádí, že Besicovitchovy množiny mají rozměr n (podle Hausdorffa a podle Minkowského ), tedy rovný rozměru okolního prostoru.
  • Kakeiova domněnka platí v dimenzích 1 a 2 [4] .
  • Wolff ukázal [5] , že v n - rozměrném prostoru musí být rozměr Besicovitchovy množiny alespoň ( n + 2)/2.
  • V roce 2002 Katz a Tao zlepšili Wolffův odhad [6] tím, že ukázali, že rozměr nemůže být menší než . Tato vazba je lepší pro
  n > 4.

• Definujeme ( n , k )-Besicovitchovu množinu jako kompaktní množinu v R n nulové míry obsahující v každém k -rozměrném směru k -rozměrný jednotkový disk. Dohad o ( n , k )-Besicovitchových množinách: ( n , k )-Besicovitchovy množiny pro k > 1 neexistují .
  • V roce 1979 Marstrand dokázal [7] , že neexistuje žádná (3, 2)-Besicovitchova množina.
  • Přibližně ve stejné době Faulkner dokázal [8] , že pro 2 k > n neexistují žádné ( n , k ) množiny .
  • Zatím nejlepší odhad patří Bourgainovi, který dokázal [9] , že množiny s 2 k -1 + k > n neexistují.

• Wolff v letech 1997 [10] a 1999 [11] dokázal, že množiny obsahující kouli o libovolném poloměru musí mít plný rozměr, tedy rozměr okolního prostoru.

• Elias Stein dokázal [12] , že každá množina obsahující kouli kolem každého bodu musí mít kladnou míru pro n ≥ 3, a Marstrand dokázal totéž [13] pro případ n = 2.

• V roce 1999 Wolff formuloval analogii problému jehly pro konečná pole . Nechť F  je konečné těleso. Množina K ⊆ F n se nazývá Besicovitchova množina, jestliže pro každý vektor y ∈ F n existuje x ∈ F n takové, že K obsahuje všechny vektory ve tvaru { x + ty  : t ∈ F }.

• Problém jehly v prostoru nad konečným polem : Počet prvků v K je alespoň c n | F | n , kde c n >0 je konstanta, která závisí pouze na n .
• Dvir [14] [15] dokázal tuto domněnku pro c n = 1/ n ! pomocí následujícího argumentu. Dvir poznamenal, že jakýkoli polynom s n proměnnými stupně menšími než | F |, které se na Besicovitchově množině rovná nule, se musí shodně rovnat nule. Na druhou stranu polynomy s n proměnnými stupně menšími než | F | tvoří vektorový prostor dimenze

Existuje tedy alespoň jeden netriviální polynom stupně menšího než | F |, která se rovná nule na libovolné množině s menším počtem bodů. Besikovičova sada tedy musí mít alespoň | F | n / n ! body. Dvir o tomto problému napsal recenzi. [čtrnáct]

Aplikace

• V roce 1971 Fefferman použil [16] konstrukci Besicovitchovy množiny, aby ukázal, že v rozměrech větších než 1 nemusí zkrácené Fourierovy integrály převzaté z koulí se středem v počátku s poloměry tíhnoucími k nekonečnu konvergovat v normě L p při p ≠ 2 (na rozdíl od jednorozměrného případu, kde takovéto zkrácené integrály konvergují).

Viz také

• Deltoidní
• Lebesgueův problém
• Spousta Nikodéma

Poznámky

1. ↑ Pal, Julius. Ueber ein elementares variaceproblém // Kongelige Danske Videnskabernes Selskab Math.-Fys. Medd.. - 1920. - T. 2. - S. 1–35.
2. ↑ Alphen, HJ Uitbreiding van een stelling von Besicovitch // Mathematica Zutphen B. - 1942. - V. 10. - S. 144–157.
3. ↑ Cunningham, F. The Kakeya problem pro jednoduše spojené a pro hvězdicové množiny // American Mathematical Monthly. - 1971. - T. 78, čís. 2. - S. 114-129. - doi : 10.2307/2317619 .
4. ↑ Davies, Roy. Některé poznámky k problému Kakeya // Proc. Cambridge Philos. Soc .. - 1971. - T. 69, čís. 3. - S. 417-421. - doi : 10.1017/S0305004100046867 .
5. ↑ Wolff, Thomas. Vylepšená hranice pro maximální funkce typu Kakeya // Rev. Rohož. Iberoamericana. - 1995. - T. 11. - S. 651-674. - doi : 10.4171/rmi/188 .
6. ↑ Katz, Nets Hawk; Tao, Terence. Nové hranice pro problémy Kakeya // J. Anal. Matematika.. - 2002. - T. 87. - S. 231-263. - doi : 10.1007/BF02868476 .
7. ↑ Marstrand, JM Packing Planes in R 3 // Matematika. - 1979. - T. 26, vydání. 2. - S. 180-183. - doi : 10.1112/S0025579300009748 .
8. ↑ Falconer, KJ Vlastnosti spojitosti k-rovinných integrálů a Besicovitchových množin // Math. Proč. Cambridge Philos. Soc .. - 1980. - T. 87, čís. 2. - S. 221-226. - doi : 10.1017/S0305004100056681 .
9. ↑ Bourgain, Jean . Maximální operátory Besicovitchova typu a aplikace pro Fourierovu analýzu // Geom. Funct. Anal.. - 1997. - Vol. 1, vydání. 2. - S. 147-187. - doi : 10.1007/BF01896376 .
10. ↑ Wolff, Thomas. Problém Kakeya pro kruhy // American Journal of Mathematics. - 1997. - T. 119, vydání. 5. - S. 985-1026. - doi : 10.1353/ajm.1997.0034 .
11. ↑ Wolff, Thomas (1999).
12. ↑ Stein, Eliáš. Maximální funkce: Sférický průměr // PNAS. - 1976. - T. 73, vydání. 7. - S. 2174-2175. - doi : 10.1073/pnas.73.7.2174 . PMC 430482
13. ↑ Marstrand, JM Packing circles in the plane // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1987. - T. 55. - S. 37–58. - doi : 10.1112/plms/s3-55.1.37 .
14. ↑ 1 2 Dvir, Zeev (2009).
15. ↑ Dvirův důkaz o konečném poli Kakeya domněnka Archivováno 3. května 2016 na Wayback Machine // Terence Tao (2008-03-24).
16. ↑ Fefferman, Charles. Multiplikační problém pro míč // Annals of Mathematics. - 1971. - T. 94, čís. 2. - S. 330-336. - doi : 10.2307/1970864 .

Literatura

• Yaglom IM , Boltyansky VG Konvexní postavy . - M. - L. : GTTI, 1951. - 343 s. - (Knihovna matematického kroužku, číslo 4).

• Besicovitch, Abram (1963). „Problém Kakeya“. American Mathematical Monthly 70 (7): 697-706. doi : 10.2307/2312249 . JSTOR 2312249 . MR 0157266 .

• Dvir, Zeev (2009). „O velikosti Kakeya sad v konečných polích“. Journal of the American Mathematical Society 22 (4): 1093-1097. arXiv : 0803.2336 . doi : 10.1090/S0894-0347-08-00607-3 . MR 2525780 .
• Falconer, Kenneth J. (1985). Geometrie fraktálových množin . Cambridge Tracts in Mathematics 85 . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1. MR 0867284 .
• Kakeya, Soichi (1917). „Některé problémy na maximu a minimu ohledně oválů“. Tohoku science reports 6 : 71-88.
• Katz, Nets Hawk; Łaba, Isabella; Tao, Terence (2000). "Vylepšená vazba na Minkowského dimenzi Besicovitche se odehrává v " (PDF). Annals of Mathematics 152 (2): 383-446. doi : 10.2307/2661389 . JSTOR 2661389 . MR 1804528 .
• Wolff, Thomas (1999). „Nedávná práce spojená s problémem Kakeya“ . V Rossi, Hugo. Vyhlídky v matematice: Vyzvané přednášky u příležitosti 250. výročí Princetonské univerzity . Providence, RI: Americká matematická společnost. str. 129-162. ISBN 978-0-8218-0975-4. MR 1660476 .
• Wolff, Thomas (2003). Łaba, Isabella; Shubin, Carol, ed. Přednášky o harmonické analýze . Cyklus univerzitních přednášek 29 . S předmluvou Charlese Feffermana a předmluvou Izabelly Łaba. Providence, RI: Americká matematická společnost. doi : 10.1090/ulect/029 . ISBN 0-8218-3449-5. MR 2003254 .
• Problém Kakeya a spojení s harmonickou analýzou na University of British Columbia.
• Besicovitch na UCLA
• Problém s jehlou Kakeya v mathworld
• Úvod do sad Besicovitch-Kakeya