Lebesgueův problém

Lebesgueův problém je najít rovinný obrazec o nejmenší ploše, který může pokrýt jakýkoli rovinný obrazec o průměru 1.

Poznámky

Libovolné číslo o průměru 1 může být pokryto číslem konstantní šířky 1 (každý obrazec průměru 1 má vlastní číslo konstantní šířky, to znamená, že číslo konstantní šířky závisí na čísle průměru 1). U obrazců s konstantní šířkou je průměr stejný jako šířka. Proto se Lebesgueův problém redukuje na nalezení plochého obrazce o nejmenší ploše, který může pokrýt obrazec o konstantní šířce 1.

Je známo, že postava Lebesgue existuje, ale nemusí být jediná. Pokud jeho oblast, pak je to znát $L$

0{,}826\cca {\tfrac {\pi }{8}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{4}}<L<{\tfrac {2}{121}}\ cdot {\sqrt {28634\cdot {\sqrt {3}}-15139}}+\arccos {\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2}}-{\tfrac {\pi }{3 }}-{\tfrac {109}{121}}-{\tfrac {82}{121\cdot {\sqrt {3}}}}\cca 0{,}845.

Dolní mez byla prokázána v [1] .

K nalezení horního odhadu si postačí představit si plochý obrazec schopný pokrýt jakýkoli plochý obrazec o průměru 1. Mezi takové obrazce patří (v sestupném pořadí podle plochy):

Čtverec o straně 1, jeho plocha je 1;
Pravidelný šestiúhelník o šířce 1, jeho obsah je ; ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\cca 0{,}866$
Nejmenší dnes známá postava s touto vlastností je pravidelný šestiúhelník o šířce 1, který má 3 rohy určitým způsobem odříznuté. Ze dvou rohů jsou vyříznuty rovnoramenné trojúhelníky, jejichž základny se dotýkají kruhu vepsaného do šestiúhelníku; třetí roh je vyříznut podél dvou kružnic o poloměru 1 dotýkajících se stran ve vzdálenosti rovné straně takového rovnoramenného trojúhelníku.

Poznámky

↑ Ogilvy, CS Exkurze v geometrii. New York: Dover, str. 142-144, 1990.

Literatura

Yaglom IM , Boltyansky VG Konvexní postavy . - M. - L. : GTTI, 1951. - 343 s. - (Knihovna matematického kroužku, číslo 4).

Odkazy

Lebesgueův minimální problém ve Wolfram Mathworld .