Kartézský list

Kartézský list je rovinná algebraická křivka třetího řádu , která splňuje rovnici v pravoúhlém systému . Parametr je definován jako úhlopříčka čtverce, jehož strana je rovna největší tětivě smyčky. $x^{3}+y^{3}=3axy$ $3a$

Historie

Poprvé rovnici křivky studoval R. Descartes v roce 1638 , ale postavil pouze smyčku v prvním souřadnicovém úhlu, kde a nabývají kladné hodnoty. Descartes věřil, že smyčka se symetricky opakuje ve všech čtyřech souřadnicových čtvrtích ve formě čtyř okvětních plátků. V té době se této křivce říkalo jasmínový květ ( anglicky jasmine flower , francouzsky fleur de jasmin ). $X$ $y$

Ve své moderní podobě tuto křivku poprvé představil H. Huygens v roce 1692 .

Rovnice

V pravoúhlém systému podle definice:

\textstyle x^{3}+y^{3}=3axy.

V polárním systému :

\rho ={\frac {3a\cos \varphi \sin \varphi }{\cos ^{3}\varphi +\sin ^{3}\varphi )).

Parametrická rovnice v pravoúhlém systému:

{\begin{cases}x={\dfrac {3at}{1+t^{3}}\\y={\dfrac {3at^{2}}{1+t^{3}} }\end{cases}}

, kde .

t=\operatorname {tg} \varphi

Často považován za otočený do křivky. Její rovnice vypadají takto: $135^{\circ }$

V pravoúhlém systému:

{\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x))))

, kde

l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}.

Parametrické:

x=l{\frac {t^{2}-1}{3t^{2}+1)),\ y=l{\frac {t(t^{2}-1)}{3t ^{2}+1}}.

V polárních souřadnicích:

\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\ varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}.

Odvození rovnic pootočené křivky
Souřadnicový systém XOY se převede na souřadnicový systém UOV, který se získá otočením os OX a OY ve směru hodinových ručiček o úhel a přeorientováním osy OX v opačném směru: $\alpha ={\frac {\pi }{4))$ ${\begin{vmatrix}x\\y\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-u\\v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\cos \alpha &-\ sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{vmatrix}}$ Vyjádření starých souřadnic XY pomocí nových UV vypadá takto: $\textstyle x=-u\cos \alpha -v\sin \alpha$ $\textstyle y=-u\sin \alpha +v\cos \alpha$ nebo $\textstyle x=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}-{\frac {v}{\sqrt {2}}}$ $\textstyle y=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}+{\frac {v}{\sqrt {2}}}$ , Po nahrazení výrazů starých souřadnic novou rovnicí se kartézský list převede do následující podoby: $v^{2}={\frac {u^{2}}{3}}{\frac {3a+u{\sqrt {2}}}{au{\sqrt {2}}}}$ . Zadáme parametr , poslední rovnice se přepíše takto: ${\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2))))$ $v^{2}=u^{2}{\frac {l+u}{l-3u))$ nebo ${\displaystyle v=\pm u{\sqrt {\frac {l+u}{l-3u))))$ . Nahradíme proměnné u a v obvyklými x a y a získáme kartézskou listovou rovnici v novém souřadnicovém systému: ${\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x))))$ Dosazením předchozí rovnice do rovnice získáme kartézskou listovou rovnici v polárním souřadnicovém systému: $x=\rho \cos \varphi ,\ y=\rho \sin \varphi$ ${\displaystyle \rho \sin \varphi =\rho \cos \varphi {\sqrt {\frac {t+\rho \cos \varphi }{t-3\rho \cos \varphi ))))$ . Řešením tohoto výrazu s ohledem na , dostaneme: $\rho$ $\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\ varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}$ .

Odvození rovnic pootočené křivky

Souřadnicový systém XOY se převede na souřadnicový systém UOV, který se získá otočením os OX a OY ve směru hodinových ručiček o úhel a přeorientováním osy OX v opačném směru:

\alpha ={\frac {\pi }{4))

{\begin{vmatrix}x\\y\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-u\\v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\cos \alpha &-\ sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{vmatrix}}

Vyjádření starých souřadnic XY pomocí nových UV vypadá takto:

\textstyle x=-u\cos \alpha -v\sin \alpha

\textstyle y=-u\sin \alpha +v\cos \alpha

nebo

\textstyle x=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}-{\frac {v}{\sqrt {2}}}

\textstyle y=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}+{\frac {v}{\sqrt {2}}}

Po nahrazení výrazů starých souřadnic novou rovnicí se kartézský list převede do následující podoby:

v^{2}={\frac {u^{2}}{3}}{\frac {3a+u{\sqrt {2}}}{au{\sqrt {2}}}}

Zadáme parametr , poslední rovnice se přepíše takto: ${\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2))))$

v^{2}=u^{2}{\frac {l+u}{l-3u))

nebo

{\displaystyle v=\pm u{\sqrt {\frac {l+u}{l-3u))))

Nahradíme proměnné u a v obvyklými x a y a získáme kartézskou listovou rovnici v novém souřadnicovém systému:

{\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x))))

Dosazením předchozí rovnice do rovnice získáme kartézskou listovou rovnici v polárním souřadnicovém systému: $x=\rho \cos \varphi ,\ y=\rho \sin \varphi$

{\displaystyle \rho \sin \varphi =\rho \cos \varphi {\sqrt {\frac {t+\rho \cos \varphi }{t-3\rho \cos \varphi ))))

Řešením tohoto výrazu s ohledem na , dostaneme: $\rho$

\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\ varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}

Vlastnosti

Přímka je osa symetrie , její rovnice je: . $OA$ $y=x$
Bod A se nazývá vrchol , jeho souřadnice jsou . $\left({\frac {3a}{2)),{\frac {3a}{2}}\right)$

Pro obě větve existuje asymptota , její rovnice je: . $UV$ $x+y+a=0$

Odvození asymptotní rovnice
Pro otočený kartézský list: Když máme $y=0$ $x=0$ nebo , $\textstyle {\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}=0$ Zvažte druhý případ: , to je, , to je , znamená . $l+x=0$ $x=-l$ ${\displaystyle \textstyle x=-{\frac {3a}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle \textstyle OA={\frac {3a}{\sqrt {2))))$ UV asymptotová rovnice je určena z výrazu: $l-3x=0$ , tedy . $\textstyle x={\frac {l}{3}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}$ Po zapnutí os dostaneme konečnou rovnici ${\displaystyle -135^{\circ ))$ $x+y+a=0$

Odvození asymptotní rovnice

Pro otočený kartézský list:

Když máme $y=0$

x=0

nebo ,

\textstyle {\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}=0

Zvažte druhý případ: , to je, , to je , znamená . $l+x=0$ $x=-l$ ${\displaystyle \textstyle x=-{\frac {3a}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle \textstyle OA={\frac {3a}{\sqrt {2))))$

UV asymptotová rovnice je určena z výrazu:

l-3x=0

, tedy .

\textstyle x={\frac {l}{3}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}

Po zapnutí os dostaneme konečnou rovnici ${\displaystyle -135^{\circ ))$

x+y+a=0

Oblast oblasti mezi oblouky a $ACO$ $ABO$ $\textstyle S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}$

Hledání oblasti $S_{1}$
Plocha uzavřená mezi oblouky ACO a ABO se vypočítá takto: ${\displaystyle S_{1))$ ${\frac {1}{2}}S_{1}=-\int \limits _{-l}^{0}x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}} }\,dx$ , kde . ${\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2))))$ Tento integrál se vypočítá pomocí substituce: $u=l-3x,\ l+x={\frac {4}{3}}l-{\frac {1}{3}}u,\ dx=-{\frac {1}{3 }}du$ . Integrační limity: $x=-l\Rightarrow \;u=4l,\qquad x=0\Rightarrow \;u=l$ Integrál se převede do tvaru: ${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}\left( lu\right){\sqrt {\frac {4l-u}{u))}\,du$ nebo ${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}l{\ sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du-{\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}u{\ sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du$ První integrál z této rovnice je: ${\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{4l}^{l}l{\sqrt {\frac {4l-u}{u))}\ ,du$ . Náhrada: $u=v^{2},\qquad du=2vdv$ . Integrační limity: $u=4l\Rightarrow \;v=2{\sqrt {l)),\qquad u=l\Rightarrow \;v={\sqrt {l))$ . Integrál se převede do tvaru: ${\frac {2l}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{2{\sqrt {l))}^{\sqrt {l)){\sqrt {\left( 2{\sqrt {l}}\right)^{2}-v^{2}}}\,dv=$ $={\frac {2l}{\sqrt {3}}}\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2{\sqrt {t}}\right)^ {2}-v^{2}}}+{\frac {\left(2{\sqrt {l}}\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v} {2{\sqrt {l}}}}\right)\right]{\Bigg \|}_{2{\sqrt {l}}}^{\sqrt {l}}={\frac {l^{2 }}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\sqrt {3}}-{\frac {4}{3}}\pi \right]$ . Druhý integrál: $-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{4l}^{l}{\sqrt {4tu^{2}-u^{2))} \,du$ Náhrada: $u=v+2l,\qquad du=dv$ . Integrační limity: $u=4l\Rightarrow \;v=2t,\qquad u=l\Rightarrow \;v=-l$ . Integrál se převede do tvaru: $-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{2l}^{-l}{\sqrt {\left(2l\right)^{2}- v^{2}}}\,dv=$ $=-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2l\right)^{2} -v^{2}}}+{\frac {\left(2l\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v}{2l}}\right)\right] {\Bigg \|}_{2l}^{-l}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {\sqrt {3}}{ 2))+{\frac {4}{3}}\pi \right]$ . Tak: ${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\sqrt {3}}- {\frac {4}{3}}\pi \right]+{\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {\sqrt {3}} {2}}+{\frac {4}{3}}\pi \right]$ . Oblast je $S_{1}$ $S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}$ .

Hledání oblasti

S_{1}

Plocha uzavřená mezi oblouky ACO a ABO se vypočítá takto:

{\displaystyle S_{1))

{\frac {1}{2}}S_{1}=-\int \limits _{-l}^{0}x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}} }\,dx

, kde .

{\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2))))

Tento integrál se vypočítá pomocí substituce:

u=l-3x,\ l+x={\frac {4}{3}}l-{\frac {1}{3}}u,\ dx=-{\frac {1}{3 }}du

Integrační limity:

x=-l\Rightarrow \;u=4l,\qquad x=0\Rightarrow \;u=l

Integrál se převede do tvaru:

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}\left( lu\right){\sqrt {\frac {4l-u}{u))}\,du

nebo

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}l{\ sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du-{\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}u{\ sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du

První integrál z této rovnice je:

{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{4l}^{l}l{\sqrt {\frac {4l-u}{u))}\ ,du

Náhrada:

u=v^{2},\qquad du=2vdv

Integrační limity:

u=4l\Rightarrow \;v=2{\sqrt {l)),\qquad u=l\Rightarrow \;v={\sqrt {l))

Integrál se převede do tvaru:

{\frac {2l}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{2{\sqrt {l))}^{\sqrt {l)){\sqrt {\left( 2{\sqrt {l}}\right)^{2}-v^{2}}}\,dv=

={\frac {2l}{\sqrt {3}}}\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2{\sqrt {t}}\right)^ {2}-v^{2}}}+{\frac {\left(2{\sqrt {l}}\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v} {2{\sqrt {l}}}}\right)\right]{\Bigg |}_{2{\sqrt {l}}}^{\sqrt {l}}={\frac {l^{2 }}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\sqrt {3}}-{\frac {4}{3}}\pi \right]

Druhý integrál:

-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{4l}^{l}{\sqrt {4tu^{2}-u^{2))} \,du

Náhrada:

u=v+2l,\qquad du=dv

Integrační limity:

u=4l\Rightarrow \;v=2t,\qquad u=l\Rightarrow \;v=-l

Integrál se převede do tvaru:

-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{2l}^{-l}{\sqrt {\left(2l\right)^{2}- v^{2}}}\,dv=

=-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2l\right)^{2} -v^{2}}}+{\frac {\left(2l\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v}{2l}}\right)\right] {\Bigg |}_{2l}^{-l}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {\sqrt {3}}{ 2))+{\frac {4}{3}}\pi \right]

Tak:

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\sqrt {3}}- {\frac {4}{3}}\pi \right]+{\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {\sqrt {3}} {2}}+{\frac {4}{3}}\pi \right]

Oblast je $S_{1}$

S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}

Plocha oblasti mezi asymptotou a křivkou se rovná ploše smyčky . $\textstyle S_{2}=S_{1}={\frac {3}{2}}a^{2}$

Hledání oblasti $S_{2}$
Plocha mezi větvemi křivky a UV asymptotou se vypočítá přesně stejným způsobem jako plocha ; integrál se bere v rozsahu od 0 do . ${\displaystyle S_{2))$ ${\displaystyle S_{1))$ $\textstyle {\frac {l}{3))$ ${\frac {1}{2}}S_{2}=\int \limits _{0}^{\frac {l}{3}}x{\sqrt {\frac {l+x}{ l-3x}}}\,dx$ Tento integrál se vypočítá stejným způsobem jako v předchozím případě. $S_{2}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}$ , tedy plochy a jsou si navzájem rovny. ${\displaystyle S_{1))$ ${\displaystyle S_{2))$

Hledání oblasti

S_{2}

Plocha mezi větvemi křivky a UV asymptotou se vypočítá přesně stejným způsobem jako plocha ; integrál se bere v rozsahu od 0 do .

{\displaystyle S_{2))

{\displaystyle S_{1))

\textstyle {\frac {l}{3))

{\frac {1}{2}}S_{2}=\int \limits _{0}^{\frac {l}{3}}x{\sqrt {\frac {l+x}{ l-3x}}}\,dx

Tento integrál se vypočítá stejným způsobem jako v předchozím případě.

S_{2}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}

, tedy plochy a jsou si navzájem rovny.

{\displaystyle S_{1))

{\displaystyle S_{2))

Objem tělesa vzniklého rotací oblouku kolem osy x $ACO$ $\textstyle V_{1}={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)$

Zjištění objemu rotace
Objem ( ) tělesa vytvořeného rotací oblouku kolem osy úsečky se vypočítá takto: $V_{1}$ $ACO$ $V_{1}=\pi \int \limits _{-l}^{0}x^{2}{\frac {l+x}{l-3x}}\,dx=$ $=-{\frac {\pi }{3}}\int \limits _{-l}^{0}x^{2}\,dx-{\frac {4\pi l}{9} }\int \limits _{-l}^{0}x\,dx-{\frac {4\pi l^{2}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}\ ,dx+{\frac {4\pi l^{3}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}{\frac {dx}{l-3x}}\,=$ $={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)$ . Tak: $V_{1}={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)$ . Objem ( ) tělesa vzniklého rotací jedné větve kolem osy x spěje k nekonečnu. Tento objem se vypočítá z předchozího integrálu v rozsahu od do . Tento integrál se rovná nekonečnu, tzn $V_{2}$ $0$ ${\frac {t}{3))$ $V_{2}=\infty$ .

Zjištění objemu rotace

Objem ( ) tělesa vytvořeného rotací oblouku kolem osy úsečky se vypočítá takto:

V_{1}

ACO

V_{1}=\pi \int \limits _{-l}^{0}x^{2}{\frac {l+x}{l-3x}}\,dx=

=-{\frac {\pi }{3}}\int \limits _{-l}^{0}x^{2}\,dx-{\frac {4\pi l}{9} }\int \limits _{-l}^{0}x\,dx-{\frac {4\pi l^{2}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}\ ,dx+{\frac {4\pi l^{3}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}{\frac {dx}{l-3x}}\,=

={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)

Tak:

V_{1}={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)

Objem ( ) tělesa vzniklého rotací jedné větve kolem osy x spěje k nekonečnu. Tento objem se vypočítá z předchozího integrálu v rozsahu od do . Tento integrál se rovná nekonečnu, tzn $V_{2}$ $0$ ${\frac {t}{3))$

V_{2}=\infty

Studie křivek

Když máme nebo , nebo , to je . $y=0$ $x=0$ ${\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}=0$ ${\displaystyle l+x=0\Šipka doprava x=-l\Šipka doprava x=-{\frac {3a}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle OA={\frac {3a}{\sqrt {2))))$

UV asymptotová rovnice je určena z výrazu:

l-3x=0\Rightarrow x={\frac {l}{3}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}

Derivát

Abychom našli maximální hodnotu funkce a rovnice tečny, vypočítáme derivaci funkce:

y'=\left(x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x))}\right)'

{\displaystyle y'={\frac {2lx}{\left(l-3x\right)\left({\sqrt {l-3x}}{\sqrt {l+x}}\right)))+{ \sqrt {\frac {l+x}{l-3x))))

Srovnejte derivaci y' s nulou a vyřešte výslednou rovnici pro x. Dostáváme: . Pro tuto hodnotu x má funkce (2) maximum na horním obloukovém bodu a minimum na spodním obloukovém bodu . Hodnota funkce v těchto bodech je: ${\displaystyle x=-{\frac {l}{\sqrt {3))))$ $ACO$ $C$ $ABO$ $B$

y\left(-{\frac {l}{\sqrt {3}}}\right)=\pm {\frac {l}{\sqrt {3}}}{\sqrt {\frac {3 } -{\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}+1}}}

Hodnota derivace y' v bodě je , to znamená, že tečny v bodě jsou vzájemně kolmé a skloněné k ose x pod úhlem . $Ó$ $\pm 1$ $Ó$ $\pm {\frac {\pi }{4))$

Viz také

Oválný Descartes

Odkazy

D. K. Bobylev . Kartézský list // Encyklopedický slovník Brockhausův a Efronův : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius