Pokřivená farma

Fermatova křivka  je algebraická křivka na komplexní projektivní rovině definovaná v homogenních souřadnicích ( X : Y : Z ) Fermatovou rovnicí

Při aplikaci na euklidovskou rovinu má rovnice tvar

Celočíselné řešení Fermatovy rovnice odpovídá nenulovému racionálnímu řešení euklidovské rovnice a naopak. Podle Fermatovy věty pro n  ≥ 3 neexistují žádná netriviální celočíselná řešení Fermatovy rovnice, takže Fermatova křivka nemá žádné nenulové racionální body.

Fermatova křivka není singulárnía má rod

Fermatova křivka má tedy rod 0 pro n = 2 (a je kuželosečkou ) a rod 1 pro n = 3 (a je eliptickou křivkou ). Jacobian manifoldFermatova křivka je hluboce studována. Je izomorfní k produktu jednoduchých abelských odrůd se složitým množením.

Dochází ke zobecnění Fermatovy křivky na více dimenzí; v tomto případě rovnice analogické rovnici Fermatovy křivky definují projektivní varietu , nazývanou Fermatova manifold .

Odkazy

• Gross, Benedict H. & Rohrlich, David E. (1978), Some Results on the Mordell-Weil Group of the Jacobian of the Fermat Curve , Inventiones Mathematicae vol. 44 (3): 201–224, doi : 10.1007/BF01403161 . < http://www.kryakin.com/files/Invent_mat_%282_8%29/44/44_01.pdf > . Získáno 12. ledna 2012. Archivováno 13. července 2011 na Wayback Machine .