Superelipsa

Superelipsa ( Kulhavá křivka ) je geometrická křivka definovaná v kartézských souřadnicích rovnicí

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1

kde n , a a b jsou kladná čísla.

Vzorec definuje uzavřenou křivku ohraničenou obdélníkem − a ≤ x ≤ + a a − b ≤ y ≤ + b . Parametry a a b se nazývají poloosy nebo poloprůměry křivky.

Když je n mezi 0 a 1, superelipsa vypadá jako čtyřcípá hvězda s konkávními stranami. Zejména pro n = 1/2 jsou strany hvězdy paraboly .

Když n = 1, křivka je kosočtverec s vrcholy (± a , 0) a (0, ± b ). Pro n mezi 1 a 2 vypadá křivka jako kosočtverec s konvexními stranami.

Pro n = 2 se křivka změní na elipsu (zejména pro a = b na kružnici). Pro n > 2 vypadá křivka jako obdélník se zaoblenými rohy. V bodech (± a , 0) a (0, ± b ) je zakřivení křivky nulové.

Pro n < 2 se křivce někdy říká „hypoelipsa“ a pro n > 2 „hyperelipsa“.

Krajní body superelipsy se rovnají (± a , 0) a (0, ± b ) a souřadnice „rohů“ (tj. průsečíků s úhlopříčkami opsaného obdélníku) jsou (± sa, ±sb ), kde [1] ). ${\displaystyle s=2^{-1/n))$

Algebraické vlastnosti

Když n je nenulové racionální číslo p / q , superelipsa je algebraická křivka . Pro kladné n je řád pq , pro záporné n je 2 pq . Konkrétně, když a = b = 1 a n je sudé celé číslo, superelipsa je Fermatova křivka stupně n . V tomto případě není singulární, i když obecně je singulární ..

Pokud například x 4/3 + y 4/3 = 1, pak křivka je algebraická křivka stupně 12 třetího druhu daná implicitní rovnicí

(x^{4}+y^{4})^{3}-3(x^{4}-3x^{2}y^{2}+y^{4})(x^{ 4}+3x^{2}y^{2}+y^{4})+

+3(x^{4}+y^{4})-1=0,

nebo parametrická rovnice

\left.{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \ vpravo)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2} }

nebo

{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{n))\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\jméno operátora {sgn} (\sin \theta ). \end{aligned}}

Plocha superelipsy je vyjádřena vzorcem

S=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n))\right)\right)^{2)){\Gamma \left(1+{ \tfrac {2}{n}}\right)}}.

Zobecnění

Superelipsu lze zobecnit jako:

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m n>0.

nebo

{\begin{aligned}x(\theta )&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{m))\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\ \y(\theta )&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}

(zde je parametr, který by neměl být interpretován jako úhel). $\theta$

Historie

Superelipsu ve formě rovnice v kartézských souřadnicích jako zobecnění obvyklé elipsy poprvé navrhl Gabriel Lame (1795-1870).

"Vynález" superelipsy je někdy mylně připisován dánskému básníkovi a vědci Pietu Heinovi (1905-1996). V roce 1959 vyhlásila stockholmská architektonická kancelář soutěž na návrh kruhového objezdu kolem náměstí Sergelstorg . Piet Hein vyhrál soutěž, když navrhl superelipsový transportní prstenec s n = 2,5 a a / b = 6/5 [2] . Rekonstrukce náměstí byla dokončena v roce 1967. Hein použil superelipsu v dalších provedeních - postele, talíře, stolky [3] . Otáčením superelipsy kolem její dlouhé osy vytvořil „ supervejce “, které se stalo oblíbenou hračkou, protože na rozdíl od běžného vejce mohlo stát na rovném povrchu.

V roce 1968, kdy se delegace na jednání o válce ve Vietnamu v Paříži nemohly shodnout na tvaru tabulky, byla navržena superelipsa [2] . Azteca Stadium v Mexico City , hlavní stadion olympijských her v roce 1968, má supereliptický tvar .

Waldo Tobler v roce 1973 vyvinul mapovou projekci známou jako Toblerova hyperelliptická projekce , ve které jsou meridiány superelipsy [4] .

Písmo Melior , vytvořené Hermannem Zapfem v roce 1952, má supereliptická „o“. Má se za to, že Zapf zvolil formu písmene intuitivně, neměl tušení o matematickém obsahu této formy, a teprve později Piet Hein zaznamenal podobnost prvků některých písmen písma se superelipsami. O 30 let později zabudoval Donald Knuth do své rodiny písem Computer Modern možnost volit mezi skutečnými elipsami a superelipsami (oba tvary aproximované kubickými křivkami ) .

Logo fotbalového týmu Pittsburgh Steelers obsahuje tři čtyřúhelníkové hvězdy, které jsou superelipsami s n = 0,5.

V mobilním operačním systému iOS se od verze 7 používají superelipsy k vytvoření vnějšího obrysu ikon (místo čtverců se zaoblenými rohy) a seskupení ikon (místo obdélníkových obdélníků). [5] iOS používá parametry a = b = 60 an = 5.

Viz také

Astroid je superelipsa s n = 2/3 a a = b , hypocykloida se čtyřmi rohy.
- Deltoid je trojúhelníková hypocykloida .
Veverka je superelipsa n = 4 a a = b , která vypadá jako "čtyřkolo".
- Reuleauxův trojúhelník je trojúhelníkové kolo.
Superformule je zobecnění superelipsy.
Superkvadriky jsou trojrozměrné analogy superelips.

Poznámky

↑ Donald Knuth: Kniha METAFONT , str. 126
↑ 1 2 Gardner, Martin (1977), Superelipsa Pieta Heina, Matematický karneval. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American , New York: Vintage Press, str. 240–254, ISBN 978-0-394-72349-5
↑ The Superellipse Archived 10 March 2005 at Wayback Machine , in The Guide to Life, The Universe and Everything od BBC (27. června 2003)
↑ Tobler, Waldo (1973), The hyperelliptical and other new pseudocylindrical equal area map projections , Journal of Geophysical Research vol . 78 (11): 1753–1759 , DOI 10.1029/JB078i011p01753
↑ Aktualizované ikony aplikací // Kyle Begeman. Vývoj aplikací v iOS 7 . Packt Publishing Ltd, 2014.

Odkazy

Barr, Alan H. (1983), Geometrické modelování a fluidní dynamická analýza plaveckých spermií , Rensselaer Polytechnic Institute (Ph.D. disertační práce s použitím superelipsoidů)
Barr, Alan H. (1992), Rigid Physically Based Superquadrics, v Kirk, David, Graphics Gems III , Academic Press, str. 137–159 ( kód : 472–477), ISBN 978-0-12-409672-1
Gielis, Johan (2003), Inventing the Circle: The Geometry of Nature , Antverpy: Geniaal Press, ISBN 978-90-807756-1-9
Sokolov, D. D. (2001), Lamého křivka , Springer Encyclopaedia of Mathematics , < http://eom.springer.de/L/l057390.htm >
Kalkulačka superelipsy a generátor šablon
Superelipsa (MathWorld)
Johan Gielis a Bert Beirinckx Archivováno 6. prosince 2007 na Wayback Machine " Superformula ".

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius