Kardioidní

Kardioida ( řecky καρδία - srdce, řecky εἶδος - pohled) je rovná čára, která je popsána pevným bodem kružnice valící se po pevné kružnici o stejném poloměru [1] . Svůj název získal díky podobnosti svých obrysů se stylizovaným obrazem srdce .

Kardioida je zvláštním případem Pascalova hlemýždě , epicykloidy a sinusové spirály .

Rovnice

Nechť jsou poloměry kružnic, počátek souřadnic je v krajním pravém bodě vodorovného průměru pevné kružnice (viz obrázek). Potom lze kardioidní rovnice zapsat v následujících tvarech [2] : $A$

V pravoúhlých souřadnicích [1] : $(x^{2}+y^{2}+2ax)^{2}-4a^{2}(x^{2}+y^{2})\,=\,0$

V pravoúhlých souřadnicích (parametrická notace): $x=2a\cos ta\cos 2t$ $y=2a\sin ta\sin 2t$

V polárních souřadnicích [2] [1] : $r = 2a (1 – \cos\varphi)$

Vlastnosti

Kardioida je speciální případ Pascalova šneka.
Kardioida je speciální případ sinusové spirály.
Kardioida je algebraická křivka čtvrtého řádu.
Kardioida má jeden hrot .
Délka oblouku jedné otáčky kardioidy daná vzorcem v polárních souřadnicích

r=2a(1-\cos \varphi )

je rovný:

L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {r(\varphi )^{2}+(r'(\varphi ))^{2))}\;d\varphi =\cdots =8a\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\tfrac {1}{2))(1-\cos \varphi )))\;d\varphi =8a\int _ {0}^{\pi }\sin({\tfrac {\varphi }{2)))d\varphi =16a

Plocha obrazce ohraničená kardioidou daná vzorcem v polárních souřadnicích

r=2a(1-\cos \varphi )

je rovný:

S=2\cdot {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{(r(\varphi ))^{2}}\;d\varphi =\int _{0}^{\pi }{4a^{2}(1-\cos \varphi )^{2}}\;d\varphi =\cdots =4a^{2}\cdot {\tfrac {3} {2}}\pi =6\pi a^{2}

Poloměr zakřivení libovolné čáry:

\rho (\varphi )={\frac {\left[r(\varphi )^{2}+{\dot {r))(\varphi )^{2}\right]^{3/2 }}{r(\varphi )^{2}+2{\tečka {r}}(\varphi )^{2}-r(\varphi ){\ddot {r}}(\varphi )))\ .

Co platí pro kardioidu danou rovnicí v polárních souřadnicích:

r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2)),

\rho (\varphi )=\cdots ={\frac {[16a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2))]^{\frac {3}{2 }}}{24a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}}={\frac {8}{3}}a\sin {\frac {\varphi }{ 2}}\ .

Generalizace

Kardioida je sinusová spirála v ; $\textstyle n={\frac {1}{2}}$
Kardioidní je Pascalův šnek na . $a=\ell$

Historie

S kardioidou se poprvé setkáváme ve spisech francouzského vědce Louise Carrèho ( Louis Carrè , 1705). Jméno křivky dal v roce 1741 Giovanni Salvemini di Castillone (je také označován jako Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon ).

„ Rektifikace “, tedy výpočet délky křivky, provedl La Hire ( Philippe de La Hire ), který křivku nezávisle objevil, v roce 1708. Nizozemský matematik J. Koersma (1741) také nezávisle popsal kardioidu . Následně o křivku projevilo zájem mnoho významných matematiků 18.-19. století.

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 Encyklopedický slovník mladého matematika, 1985 .
↑ 1 2 Savelov A. A., 1960 , s. 121-122.

Literatura

Savelov A. A. Plane Curves: Systematika, vlastnosti, aplikace (referenční příručka). - M .: Fizmatlit, 1960. - S. 230-233. — 293 s. . Znovu vydáno v roce 2002, ISBN 5-93972-125-7 .
Kardioidní // Encyklopedický slovník mladého matematika / Komp. A. P. Savin. - M . : Pedagogika , 1985. - S. 130 -131. — 352 s.

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius