Urysohnova křivka

Urysonova křivka (dále jen křivka) je nejobecnější (nikoli však přehnaně) definicí křivky , kterou představil Pavel Uryson v roce 1921 . Tato definice zobecňuje Cantorovu definici na libovolný rozměr.

Definice

Křivka je spojený kompaktní topologický prostor topologické dimenze 1.

Související definice

Křivka v bodě má index větvení, pokud existuje minimální kardinální číslo takové, že pro jakékoli okolí existuje menší sousedství, jehož hranice je souborem mohutnosti nepřekračující . Bod křivky, jehož index větvení je větší než dva, se nazývá bod větvení ; bod, jehož index větvení je roven jedné, se nazývá koncový bod .

Body křivky s ohledem na jejich index větvení jsou klasifikovány následovně.

1. Body s indexem větve , kde je přirozené číslo .
2. Body neomezeného indexu větvení. ( Bod křivky má neomezený index větvení, pokud pro jakékoli okolí existuje menší okolí, jehož hranice se skládá z konečné množiny bodů, ale index větvení je nekonečný.)
3. Body spočetného indexu větvení.
4. Body indexu větvení kontinua .

Příklady

1. Segment má ve všech svých vnitřních bodech index větvení rovný dvěma; index větvení konců segmentu je roven jedné.
2. Kruh má index větvení dva v každém ze svých bodů.
3. Křivka sestávající z přímých úseček vycházejících z jednoho bodu má v bodě index větvení .
4. Křivka sestávající ze segmentů začínajících od počátku , majících délky a vycházejících z O v úhlech k ose má neomezený index větvení v
   • Pokud jsou zároveň všechny segmenty stejně dlouhé, bude mít spočetný index větvení.
5. Křivka složená ze segmentů spojujících bod se všemi body Cantorovy množiny ležícími na jiném segmentu má ve všech bodech souvislý index větvení c.
6. Koberec Sierpinski má také kontinuální index větvení ve všech svých bodech.
7. Sierpinski's Ubrousek je příkladem křivky skládající se pouze z bodů s indexem větvení 2, 3 a 4.
   • V tomto případě mají pouze vrcholy hlavního trojúhelníku index větvení 2. Zejména pokud přilepíme dva Sierpinského ubrousky podél vrcholů hlavního trojúhelníku, dostaneme křivku s indexy větví 3 a 4.

Vlastnosti

• Definice Urysohnovy křivky je vnitřní: je charakterizována pouze vlastnostmi samotného prostoru a nezávisí na tom, zda je tento prostor uvažován sám o sobě nebo jako podmnožina jiného topologického prostoru.

• Existují křivky, které nejsou homeomorfní pro žádnou podmnožinu roviny.
  • Taková je například křivka ležící v trojrozměrném prostoru sestávající ze šesti hran čtyřstěnu a čtyř segmentů spojujících střed čtyřstěnu s jeho vrcholy.

• Každá křivka je homeomorfní k nějaké podmnožině trojrozměrného euklidovského prostoru ( Mengerův teorém ).
  • Navíc existuje křivka , která má tu vlastnost, že bez ohledu na křivku existuje podmnožina , homeomorfní k .
    • Tato křivka je trojrozměrnou obdobou koberce Sierpinski a nazývá se Mengerova houba .

• Nemá-li křivka vůbec žádné body větvení, to znamená, je-li v každém bodě křivky index větvení roven 1 nebo 2, pak je tato křivka buď jednoduchým obloukem, topologickým obrazem segmentu, nebo jednoduchým uzavřeným čára, topologický obraz kružnice.
  • Navíc, pokud je index větvení křivky ve všech bodech roven 2, pak jde o jednoduchou uzavřenou křivku, ale pokud křivka, která nemá body větvení, má koncové body (ukáže se, že jsou určitě dva) , pak to bude jednoduchý oblouk.
• Pokud má křivka pouze konečný počet bodů větvení a index větvení každého z nich je také konečný, pak lze takovou křivku rozdělit na konečný počet jednoduchých oblouků, které kromě svých konců nemají žádné další společné body ve dvojicích.
• Kruh je jediná křivka, jejíž všechny body mají stejný index koncové větve 2; neexistují žádné další křivky se stejným konečným indexem větvení ve všech bodech. dále
  • Pokud mají všechny body křivky index větvení větší nebo roven , pak existuje bod, jehož index větvení je větší nebo roven , a pro každou přirozenou existuje křivka skládající se pouze z bodů, které mají index větvení a (Urysohnův teorém).

Literatura

• Uryson P. S. Práce o topologii a dalších oblastech matematiky, díl 2, - M. - L. , 1951;