Interiér
Vnitřek množiny je pojem v obecné topologii , který označuje spojení všech otevřených podmnožin dané množiny. Vnitřní body se nazývají vnitřní body .
Definice
Nechť je dán topologický prostor , kde je libovolná množina a je na něm definována topologie . Nechť také dostane podmnožinu .
Níže je zvažována otevřenost podmnožin jako podmnožin všeho (například nezbytně otevřená jako podmnožina sebe sama, ale ne nutně otevřená v celém topologickém prostoru), přičemž není výslovně označena a otevřenost je označována jako členství v ní. .
Potom lze vnitřek množiny definovat několika ekvivalentními způsoby:
- Interiér je spojením všech otevřených podmnožin :
.
- Interiér je největší otevřená podmnožina zahrnutím :
.
- Vnitřní je množina všech vnitřních bodů , kde se bod nazývá vnitřkem právě tehdy, když existuje otevřená množina taková, že :
.
Ekvivalence definic vyplývá ze skutečnosti, že spojení jakékoli rodiny otevřených množin je otevřené.
Vlastnosti
- Vnitřní operace je unární operace na rodině všech podmnožin .
- Interiér je otevřená sestava .
- Sada je otevřená tehdy a pouze tehdy, pokud se shoduje se svým vnitřkem:
.
- Jinými slovy, v otevřené množině jsou všechny body vnitřní a každá množina, jejíž všechny body jsou vnitřní, je otevřená.
- Vnitřní provoz je idempotentní :
.
- Vnitřní operace zachovává částečné pořadí podmnožin zahrnutím:
.
- V metrickém prostoru má definice vnitřního bodu následující podobu. Dovolit být metrický prostor s metric , a být jeho podmnožinou. Bod je vnitřní právě tehdy, když existuje takové, že . Jinými slovy, vstupuje do spolu s koulí o poloměru se středem v .
Příklady
Variace
Relativní interiér
Relativní vnitřek množiny je spojením všech jejích otevřených podmnožin
v její afinní slupce .
Kvazorelativní interiér
Algebraický interiér
Literatura
- Kudryavtsev L. D. — Matematická analýza. Hlasitost 1
Viz také