Interiér

Vnitřek množiny je pojem v obecné topologii , který označuje spojení všech otevřených podmnožin dané množiny. Vnitřní body se nazývají vnitřní body .

Definice

Nechť je dán topologický prostor , kde je libovolná množina a je na něm definována topologie . Nechť také dostane podmnožinu . $(X, {\mathcal {T}}),$ $X$ $\mathcal{T}$ $A\podmnožina X$

Níže je zvažována otevřenost podmnožin jako podmnožin všeho (například nezbytně otevřená jako podmnožina sebe sama, ale ne nutně otevřená v celém topologickém prostoru), přičemž není výslovně označena a otevřenost je označována jako členství v ní. . $B\podmnožina A$ $X$ $A$ $X$ $\mathcal{T}$

Potom lze vnitřek množiny definovat několika ekvivalentními způsoby: $A$

Interiér je spojením všech otevřených podmnožin : $B\podmnožina A$ $\operatorname {int} (A)=\bigcup \limits _{B\in {\mathcal {T)),\;B\subset A}B$ .
Interiér je největší otevřená podmnožina zahrnutím : $A$ $(\operatorname {int} (A)\in {\mathcal {T)))\wedge (\operatorname {int} (A)\subset A)\quad \wedge \quad \forall B\;(( B\in {\mathcal {T)))\wedge (B\subset A)\Rightarrow (B\subset \operatorname {int} (A)))$ .

Vnitřní je množina všech vnitřních bodů , kde se bod nazývá vnitřkem právě tehdy, když existuje otevřená množina taková, že : $x\v A$ $B\podmnožina A$ $x\v B$ ${\displaystyle \operatorname {int} (A)=\left\{x\v A:\existuje B\podmnožina A,x\v B,B\v {\mathcal {T))\vpravo\))$ .

Ekvivalence definic vyplývá ze skutečnosti, že spojení jakékoli rodiny otevřených množin je otevřené.

Vlastnosti

Vnitřní operace je unární operace na rodině všech podmnožin . $X$
Interiér je otevřená sestava . $\operatorname {int} (A)$
Sada je otevřená tehdy a pouze tehdy, pokud se shoduje se svým vnitřkem: $A$ $(A\in {\mathcal {T))\Leftrightarrow \left(A=A^{0}\right)$ .
- Jinými slovy, v otevřené množině jsou všechny body vnitřní a každá množina, jejíž všechny body jsou vnitřní, je otevřená.
Vnitřní provoz je idempotentní : $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)$ .
Vnitřní operace zachovává částečné pořadí podmnožin zahrnutím: $(A\subset B)\Rightarrow \left(\operatorname {int} (A)\subset \operatorname {int} (B)\right)$ .
V metrickém prostoru má definice vnitřního bodu následující podobu. Dovolit být metrický prostor s metric , a být jeho podmnožinou. Bod je vnitřní právě tehdy, když existuje takové, že . Jinými slovy, vstupuje do spolu s koulí o poloměru se středem v . $X$ $d$ $M$ $x\v M$ $M$ $\varepsilon >0$ $\forall y\in X,\,d(x,y)<\varepsilon \Right y\in M$ $X$ $M$ $\varepsilon$ $X$

Příklady

$\operatorname {int} (\emptyset )=\emptyset .$
Jestliže je konečná podmnožina euklidovského prostoru se standardní topologií , pak . $A\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $\operatorname {int} (A)=\emptyset$
If je skutečná čára se standardní topologií a , pak $X={\mathbb {R}}$ $[a,b]\podmnožina {\mathbb {R}}$ $\operatorname {int} ([a,b])=(a,b).$
Jestliže je diskrétní prostor , pak pro jakýkoli máme . $X$ $A\podmnožina X$ $\operatorname {int} (A)=A$