Sousedství

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. února 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Okolí bodu je množina obsahující daný bod a blízko (v jistém smyslu) k němu. V různých odvětvích matematiky je tento pojem definován různými způsoby.

Definice

Matematická analýza

Nechť libovolné pevné číslo. $\varepsilon >0$

Okolí bodu na reálné čáře (někdy nazývané okolí) je množina bodů, které jsou menší než , tj . . $x_{0}$ $\varepsilon$ $x_{0}$ $\varepsilon$ $O_\varepsilon(x_0) =\{x: |x-x_0|< \varepsilon\}$

Ve vícerozměrném případě je funkce sousedství vykonávána otevřenou koulí se středem v bodě . $\varepsilon$ $x_{0}$

V Banachově prostoru se okolí se středem v bodě nazývá množina . $(B,\|\cdot\|)$ $x_{0}$ $A=\{x\in B:\|x-x_0\|<\varepsilon\}$

V metrickém prostoru se okolí se středem v bodě nazývá množina . $(M,\rho)$ $y$ $A=\{x\in M:\rho(x,y)<\varepsilon\}$

Obecná topologie

Nechť je dán topologický prostor , kde je libovolná množina a je topologie definovaná na . $(X, {\mathcal {T}})$ $X$ $\mathcal{T}$ $X$

Množina se nazývá okolí bodu , pokud existuje otevřená množina taková, že . $V\podmnožina X$ $x\in X$ $U\in \mathcal{T}$ $x \in U \podmnožina V$
Podobně okolí množiny je množina taková, že existuje otevřená množina, pro kterou . $M\podmnožina X$ $V\podmnožina X$ $U\in \mathcal{T}$ $M \subset U \subset V$

Poznámky

Výše uvedené definice nevyžadují, aby okolí bylo otevřenou množinou, ale pouze to, že obsahuje otevřenou množinu . Někteří autoři trvají na tom, že každá čtvrť je otevřená. [1] Pak okolí množiny je jakákoli otevřená množina, která ji obsahuje. Pro vývoj další topologické teorie to není zásadní rozdíl. V každém případě je však důležité opravit terminologii. $PROTI$ $U$
Okolí množiny bodů je množina taková, že existuje okolí libovolného bodu . $M$ $PROTI$ $PROTI$ $x\v M$

Příklad

Nechť je dána skutečná čára se standardní topologií . Potom je to otevřené sousedství a je to uzavřené sousedství bodu . $(-1,2)$ $[-1,2]$ $0$

Variace a zobecnění

Pierced Neighborhood

Proražené okolí bodu je okolí bodu, ze kterého je tento bod vyloučen.

Přísně vzato, proražené okolí není sousedstvím bodu, protože podle definice sousedství musí sousedství obsahovat samotný bod.

Formální definice: Množina se nazývá proražené okolí (proražené okolí) bodu if $\dot{V}$ $x\in X$

\dot{V} = V \setminus \{x\},

kde je sousedství . $PROTI$ $X$

Viz také

Glosář obecné topologie

Poznámky

↑ Rudin, 1975 , str. 13.

Literatura

Matematická encyklopedie. — M .: Sovětská encyklopedie , 1984 . - T. 4.
W. Rudin. Funkční analýza. — M .: Mir , 1975 .