Banachův prostor

Banachův prostor je normovaný vektorový prostor , kompletní s ohledem na metriku vytvořenou normou . Hlavním předmětem studia funkční analýzy .

Je pojmenován po polském matematikovi Stefanu Banachovi (1892–1945), který tyto prostory systematicky studoval od roku 1922.

Příklady

Některé příklady Banachových prostorů (dále jedno z polí nebo je označeno ): $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Euklidovské prostory s euklidovskou normou definovanou jako Banachovy prostory. $K^n$ $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})$ $\|x\|={\sqrt {\sum |x_{i}|^{2))}$
Prostor všech spojitých funkcí definovaných na uzavřeném intervalu bude Banachovým prostorem, pokud jeho normu definujeme jako . Taková funkce by byla normou, protože spojité funkce na uzavřeném intervalu jsou omezené. Prostor s takovou normou je úplný a výsledný Banachův prostor je označen jako . Tento příklad lze zobecnit na prostor všech spojitých funkcí , kde je kompaktní prostor , nebo na prostor všech omezených spojitých funkcí , kde je libovolný topologický prostor , nebo dokonce na prostor všech omezených funkcí , kde je jakákoli množina . Ve všech těchto příkladech můžeme násobit funkce a přitom zůstat ve stejném prostoru: všechny tyto příklady jsou Banachovy algebry . $f\dvojtečka [a,\;b]\to K$ $[a,\;b]$ $\|f\|=\sup\{|f(x)|\dvojtečka x\v [a,\;b]\}$ $Kabina]$ $C(X)$ $X\to K$ $X$ $X\to K$ $X$ $B(X)$ $X\to K$ $X$
Jestliže je reálné číslo, pak prostor všech nekonečných posloupností prvků z takových, že řada konverguje, je Banach s ohledem na normu rovnající se mocninné odmocnině součtu této řady a značí se . $p\geqslant 1$ $(x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;\ldots )$ $K$ $\sum |x_{i}|^{p}$ $p$ $l^{p}$
Banachův prostor se skládá ze všech ohraničených sekvencí prvků z ; norma takové sekvence je definována jako přesná horní hranice absolutních hodnot (modulů) prvků sekvence. $l^{\infty }$ $K$
Opět, pokud je reálné číslo, můžeme považovat všechny funkce, které jsou Lebesgueovy integrovatelné (a stupeň jejich modulu je také sčítatelný). Kořen stupně tohoto integrálu tého stupně modulu funkce je definován jako polonorma . Tato množina není Banachovým prostorem, protože existují nenulové funkce, jejichž norma se bude rovnat nule. Relace ekvivalence definujeme následovně: a jsou ekvivalentní právě tehdy, když je diferenční seminorma rovna nule. Množina tříd ekvivalence s ohledem na tento vztah je již Banachovým prostorem; označuje se jako . Je důležité používat Lebesgueův integrál , nikoli Riemannův integrál , protože Riemannův integrál nevytváří úplný prostor. Tyto příklady lze zobecnit. Viz například L p -spaces . $p\geqslant 1$ $p$ $p$ $p$ $F$ $F$ $G$ $fg$ $L^{p}[a,\;b]$
Jestliže a jsou Banachovy prostory, pak můžeme sestavit jejich přímý součet , což je opět Banachův prostor. Tento příklad lze také zobecnit na přímý součet libovolně velkého počtu Banachových prostorů. $X$ $Y$ $X\plus Y$
Jestliže je uzavřený podprostor Banachova prostoru , pak je podílový prostor opět Banachovým prostorem. $M$ $X$ $X/M$
Jakýkoli Hilbertův prostor je také Banachovým prostorem. Opak není pravdou.
Jestliže a jsou Banachovy prostory nad jedním polem , pak je množina spojitých -lineárních zobrazení označena . Všimněte si, že v nekonečně-dimenzionálních prostorech nejsou všechna lineární zobrazení automaticky spojitá. je vektorový prostor, a pokud je norma uvedena jako , je také Banachovým prostorem. $PROTI$ $W$ $K$ $K$ $A\dvojtečka V\to W$ $L(V,\;W)$ $L(V,\;W)$ $\|A\|=\sup\{\|Ax\|\dvojtečka x\in V,\;\|x\|\leqslant 1\}$
- Prostor je
nečleněná Banachova algebra ; operace násobení v něm je definována jako skládání lineárních zobrazení. $L(V)=L(V,\;V)$

Typy Banachových prostorů

Literatura

I. M. Vinogradov. Banachův prostor // Matematická encyklopedie. — M.: Sovětská encyklopedie . - 1977-1985. (Ruština)// Matematická encyklopedie / Ch. vyd. I. M. Vinogradov. - M.: Sovětská encyklopedie, 1977-1985.

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	J9U : 987007282589705171 LCCN : sh85011441 NDL : 00560500 NKC : ph117384