Reflexní prostor

Reflexivní prostor je Banachův prostor (v obecnějším případě místně konvexní prostor ) , který se shoduje s jeho druhým duálem, když je kanonicky vložený . $X$ $X^{{**}}$

Reflexní Banachovy mezery

Nechť je Banachův prostor nad polem komplexních čísel [1] , a budiž prostor duální k , tedy množina všech spojitých lineárních funkcionálů s normou $X$ ${{\mathbb C}}$ $X^{*}$ $X$ $f:X\to {\mathbb {C} }$

$||f||=\sup _{{||x||\leq 1}}|f(x)|$ .

Druhý duální prostor je definován jako prostor duální k . Když je fixováno , mapování je lineární spojitý funkcionál na , tedy prvek prostoru . Proto je definováno mapování , , , . Pokud se jedná o izomorfismus Banachových prostorů, pak se říká, že Banachův prostor je reflexivní . Postačující podmínkou k tomu je surjektivita mapování , tedy podmínka . $X^{{**}}$ $X^{*}$ $x\in X$ $f\in X^{*}\mapsto f(x)\in {\mathbb {C} }$ $X^{*}$ $X^{{**}}$ $J_{X}:X\to X^{{**}}$ $J_{X}(x)(f)=f(x)$ $x\in X$ $f\in X^{*}$ $X$ $J_{X}:X\to X^{{**}}$ $J_{X}(X)=X^{{**}}$

Příklady

Mezery a , , jsou reflexní, $\ell _{p}$ $L_{p}(a,b)$ $1<p<\infty$
Mezery nejsou reflexní. $Kabina]$ $L_{1}[a,b],L_{\infty }[a,b]$

Vlastnosti

Prostor je reflexivní právě tehdy, když je reflexivní. $X$ $X^{*}$
Prostor X je reflexivní právě tehdy, když je jednotková koule tohoto pole slabě kompaktní .
Reflexní prostor je slabě úplný . Opak to není pravda, jsou tam slabě úplné nereflexivní mezery, například . $L_{1}$
Uzavřený podprostor reflexního prostoru je reflexivní.

Reflexní lokálně konvexní mezery

Pojem reflexivity se přirozeně rozšiřuje i na lokálně konvexní prostory .

Pro jakýkoli lokálně konvexní prostor označíme prostorem spojitých lineárních funkcionádů na obdařených silnou topologií , tedy topologií jednotné konvergence na ohraničených množinách v . Prostor se nazývá duální prostor prostoru . Stejně jako v Banachově případě je druhý duální prostor definován jako prostor duální k . Vzorec , , definuje přirozené mapování prostoru do druhého duálního prostoru . $X$ $X^{*}$ $X$ $\beta (X',X)$ $X$ $X^{*}$ $X$ $X^{{**}}$ $X^{*}$ $J_{X}(x)(f)=f(x)$ $x\in X$ $f\in X^{*}$ $X$ $X^{{**}}$

Pokud je zobrazení izomorfismem lokálně konvexních prostorů, pak se prostor nazývá reflexivní lokálně konvexní prostor . $J_{X}:X\to X^{{**}}$ $X$

Příklady:

V konkrétním případě, kdy je prostorem Banach, je jeho reflexivita jako Banachova prostoru ekvivalentní reflexivitě jako lokálně konvexního prostoru. $X$
Prostor hladkých funkcí na hladkém rozdělovači je reflexní. ${{\mathcal C}}^{\infty }(M)$ $M$
Prostor holomorfních funkcí na komplexní analytické varietě je reflexivní. ${{\mathcal O}} (M)$ $M$

Stereotypní prostory a další zobecnění reflexivity

Mezi všemi lokálně konvexními prostory (dokonce mezi všemi Banachovými prostory) používanými ve funkcionální analýze je třída reflexivních prostorů příliš úzká na to, aby v jakémkoli smyslu vytvořila soběstačnou kategorii. Myšlenka duality reflektovaná tímto konceptem však vyvolává intuitivní očekávání, že vhodné změny v definici reflexivity mohou vést k jinému konceptu vhodnějšímu pro vnitřní účely matematiky. Za jeden takový cíl lze považovat myšlenku přiblížit analýzu jiným částem matematiky, jako je algebra a geometrie , přeformulováním výsledků analýzy v čistě algebraickém jazyce teorie kategorií .

Tento program je vyvinut v teorii stereotypních prostorů , definovaných jako lokálně konvexní prostory splňující podobnou podmínku reflexivity, avšak s topologií jednotné konvergence na totálně ohraničených množinách (místo ohraničených množin ) v definici prostoru . Na rozdíl od klasických reflexivních prostorů je třída Ste stereotypních prostorů poměrně široká (obsahuje zejména všechny Fréchetovy a tedy všechny Banachovy prostory ), tvoří uzavřenou monoidní kategorii a připouští standardní operace (definované v rámci Ste ) konstruování nových prostorů, jako je převzetí uzavřeného podprostoru, separabilního kvocientového prostoru, projektivních a injektivních limitů, operátorových prostorů, tenzorových součinů atd. Kategorie Ste má aplikace v teorii duality nekomutativních grup. $X^{*}$

Podobně lze třídu ohraničených (a zcela ohraničených) podmnožin v definici duálního prostoru nahradit jinými třídami podmnožin, například třídu kompaktních podmnožin v - prostory definované odpovídající podmínkou reflexivity se nazývají reflektivní [ 2] [3] , a tvoří ještě širší třídu než Ste , ale není známo (2012), zda tato třída tvoří kategorii s vlastnostmi blízkými Ste . $X$ $X^{*}$ $X$

Literatura

Shefer H. Topologické vektorové prostory. M.: Mir, 1971.
Dunford N., Schwartz J., Lineární operátory, část 1 — Obecná teorie, přel. z angličtiny, M., 1982;
Yosida K., Funkční analýza, přel. z angličtiny, M., 1967;
Kantorovich L. V. , Akilov G. P. , Funkční analýza, 1. vydání, M., 1977.
Trenogin V.A. Funkční analýza. — M .: Nauka , 1980 . — 495 s.
Funkční analýza / editor S. G. Kerin . — 2. přepracovaná a doplněná. — M .: Nauka , 1972 . — 544 s. — (Referenční matematická knihovna).

Peach A. Nukleární lokálně konvexní prostory. — M .: Mir , 1967 .

Poznámky

↑ ...nebo nad oborem reálných čísel s podobnou definicí. $\mathbb {R}$
↑ Garibay Bonales, F.; Trigos-Arrieta, FJ, Vera Mendoza, R. Charakterizace Pontryagin-van Kampenovy duality pro lokálně konvexní prostory // Topologie a její aplikace : deník. - 2002. - Sv. 121 . - str. 75-89 .
↑ Akbarov, SS; Shavgulidze, ET O dvou třídách prostorů reflexivních ve smyslu Pontryagina (anglicky) // Mat. Sborník: deník. - 2003. - Sv. 194 , č. 10 . - str. 3-26 .