Vektorový prostor

Vektorový prostor ( lineární prostor ) je matematická struktura , což je množina prvků, nazývaných vektory , pro které jsou definovány operace sčítání mezi sebou a násobení číslem - skalár [1] . Tyto operace podléhají osmi axiomům . Skaláry mohou být prvky reálného , komplexního nebo jakéhokoli jiného číselného pole . Speciálním případem takového prostoru je obvyklý trojrozměrný euklidovský prostor , jehož vektory se používají například k reprezentaci fyzikálních sil . V tomto případě vektor jako prvek vektorového prostoru nemusí být specifikován jako směrovaný segment. Zobecnění pojmu „vektor“ na prvek vektorového prostoru libovolné povahy nejen nezpůsobuje záměnu pojmů, ale také nám umožňuje pochopit nebo dokonce předvídat řadu výsledků, které jsou platné pro prostory libovolné povahy [ 2] .

Vektorové prostory jsou předmětem studia v lineární algebře . Jednou z hlavních charakteristik vektorového prostoru je jeho rozměr. Dimenze je maximální počet lineárně nezávislých prvků prostoru, to znamená, při hrubé geometrické interpretaci, počet směrů, které nelze vyjádřit přes sebe pouze sčítáním a násobením skalárem. Vektorový prostor může být vybaven dalšími strukturami, jako je norma nebo bodový součin . Takové prostory se přirozeně objevují v kalkulu , převážně ve formě nekonečněrozměrných funkčních prostorů kde vektory funkcemi Mnoho problémů v analýze vyžaduje zjištění, zda sekvence vektorů konverguje k danému vektoru. Zvažování takových otázek je možné ve vektorových prostorech s dodatečnou strukturou, ve většině případů - vhodnou topologií , která nám umožňuje definovat pojmy blízkosti a spojitosti . Takové topologické vektorové prostory , zejména Banachovy a Hilbertovy prostory , umožňují hlubší studium.

První práce, které předpokládaly zavedení konceptu vektorového prostoru, pocházejí ze 17. století . Tehdy se rozvinula analytická geometrie , doktrína matic , systémy lineárních rovnic a euklidovské vektory .

Definice

Lineární neboli vektorový prostor nad polem je uspořádaný čtyřnásobek , kde $V(F)$ $F$ $(V,F,+,\cdot )$

$PROTI$ je neprázdná množina prvků libovolné povahy, které se nazývají vektory .
$F$ je pole, jehož prvky se nazývají skaláry .
Je definována operace sčítání vektorů , která spojuje každou dvojici prvků množiny s jediným prvkem množiny , který se nazývá jejich součet a značí se . $V\times V\to V$ $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ $PROTI$ $PROTI$ $\mathbf {x} +\mathbf {y}$
Je definována operace násobení vektorů skaláry , která spojuje každý prvek pole a každý prvek množiny s jediným prvkem množiny , označeným nebo . $F\krát V\to V$ $\lambda$ $F$ $\mathbf {x}$ $PROTI$ $PROTI$ $\lambda \cdot \mathbf {x}$ $\lambda \mathbf {x}$

Dané operace musí splňovat následující axiomy — axiomy lineárního (vektorového) prostoru:

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$ pro libovolné ( komutativnost sčítání ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$
$\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z}$ pro libovolné ( asociativita sčítání ); $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V$
existuje takový prvek , který pro jakýkoli ( existence neutrálního prvku s ohledem na sčítání ), nazývaný nulový vektor nebo jednoduše nula , prostor ; $\mathbf {0} \in V$ $\mathbf {x} +\mathbf {0} =\mathbf {0} +\mathbf {x} =\mathbf {x}$ $\mathbf {x} \in V$ $PROTI$
pro všechny existuje takový prvek , který se nazývá vektor opačný k vektoru ; $\mathbf {x} \in V$ $-\mathbf {x} \in V$ $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ $\mathbf {x}$
$\alpha (\beta \mathbf {x} )=(\alpha \beta )\mathbf {x}$ ( asociativita násobení skalárem );
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ( unitarita: násobení neutrálním (násobením) prvkem pole zachovává vektor $F$ ).
$(\alpha +\beta )\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x}$ ( distributivita násobení vektoru skalárem s ohledem na sčítání skalárů );
$\alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y}$ ( distributivita násobení vektoru skalárem s ohledem na sčítání vektorů ).

Operace sčítání tedy definuje strukturu (aditivní) abelovské skupiny na množině . $PROTI$

Vektorové prostory definované na stejné sadě prvků, ale v různých polích, budou různé vektorové prostory (například množina párů reálných čísel může být dvourozměrný vektorový prostor nad polem reálných čísel nebo jednorozměrný přes obor komplexních čísel ). $\mathbb {R} ^{2}$

Nejjednodušší vlastnosti

Vektorový prostor je abelovská grupa sčítáním.
Neutrální prvek je jediný, který vyplývá z vlastností skupiny. $\mathbf {0} \in V$
$0\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0}$ pro jakýkoli . $\mathbf {x} \in V$
Neboť jakýkoli opačný prvek je jediný, který vyplývá z vlastností skupiny. $\mathbf {x} \in V$ $-\mathbf {x} \in V$
$1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ pro jakýkoli . $\mathbf {x} \in V$
$(-\alpha )\cdot \mathbf {x} =\alpha \cdot (-\mathbf {x} )=-(\alpha \mathbf {x} )$ pro jakékoli a . $\alpha \in F$ $\mathbf {x} \in V$
$\alpha \cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$ pro jakýkoli . $\alpha \in F$

Související definice a vlastnosti

Podprostor

Algebraická definice: Lineární podprostor , nebo vektorový podprostor , je neprázdná podmnožina lineárního prostoru tak, že je sám lineárním prostorem s ohledem na ty definované v operacích sčítání a násobení skalárem. Množina všech podprostorů se obvykle označuje jako . Aby byla podmnožina podprostorem, je to nutné a dostatečné $K$ $PROTI$ $K$ $PROTI$ $\mathrm {Lat} (V)$

pro jakýkoli vektor , vektor také patřil pro jakýkoli ; $\mathbf {x} \in K$ $\alpha \mathbf {x}$ $K$ $\alpha \in F$
pro všechny vektory vektor také patřil k . $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K$ $\mathbf {x} +\mathbf {y}$ $K$

Poslední dva výroky jsou ekvivalentní následujícímu:

pro všechny vektory , vektor také patřil k jakémukoli .

\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K

\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y}

K

\alpha ,\beta \v F

Zejména vektorový prostor sestávající pouze z jednoho nulového vektoru je podprostorem libovolného prostoru; každý prostor je podprostorem sám o sobě. Podprostory, které se neshodují s těmito dvěma, se nazývají vlastní nebo netriviální .

Vlastnosti podprostoru

Průsečík libovolné rodiny podprostorů je opět podprostor;
Součet podprostorů je definován jako množina obsahující všechny možné součty prvků : ${\displaystyle \{K_{i}\mid i\in 1\ldots N\))$ $K_{i}$ $\sum _{i=1}^{N}{K_{i}}:=\{\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\ldots +\mathbf {x} _{N}\mid \mathbf {x} _{i}\in K_{i}\quad (i\in 1\ldots N)\}$ .
- Součet konečné rodiny podprostorů je opět podprostor.

Lineární kombinace

Formální vyjádření formy

\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}

se nazývá [3] lineární kombinace prvků s koeficienty . $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}\in V$ $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F$

Ve skutečnosti se tato definice (a níže uvedené) vztahuje nejen na kombinace vektorů, ale také na kombinace jakýchkoli jiných objektů, pro které takové součty vůbec dávají smysl (například pro kombinace bodů v afinním prostoru ).

Lineární kombinace se nazývá:

netriviální , pokud je alespoň jeden z jeho koeficientů nenulový.
barycentrický , je-li součet jeho koeficientů roven 1 [4] ,
konvexní , je-li součet jeho koeficientů roven 1 a všechny koeficienty jsou nezáporné,
vyrovnaný , pokud součet jeho koeficientů je 0.

Základ. Rozměr

Vektory se nazývají [5] lineárně závislé , pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jejíž hodnota je rovna nule; to znamená $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$

\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _ {n}=\mathbf {0}

pro některé nenulové koeficienty $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F.$

Jinak se tyto vektory nazývají lineárně nezávislé .

Tato definice umožňuje následující zobecnění: nekonečná množina vektorů z se nazývá lineárně závislá , pokud je nějaká její konečná podmnožina lineárně závislá, a lineárně nezávislá , je-li některá z jejích konečných podmnožin lineárně nezávislá. $PROTI$

Lze ukázat [6] , že počet prvků ( mocniny ) maximální lineárně nezávislé množiny prvků vektorového prostoru nezávisí na volbě této množiny. Toto číslo se nazývá hodnost nebo dimenze prostoru a tato množina samotná se nazývá základ ( Hamelův základ nebo lineární základ ). Prvky báze se nazývají základní vektory . Dimenze prostoru se nejčastěji označuje symbolem . ${\rm {dim}}$

Dimenzí vektorového prostoru je tedy buď nezáporné celé číslo (zejména rovné nule, pokud se prostor skládá pouze z jednoho nulového vektoru), nebo nekonečno (přesněji mocnina nekonečné množiny). V prvním případě se vektorový prostor nazývá konečnorozměrný a ve druhém nekonečněrozměrný (například prostor spojitých funkcí je nekonečněrozměrný ). Tradičně patří studium konečněrozměrných vektorových prostorů a jejich zobrazení k lineární algebře a studium nekonečněrozměrných vektorových prostorů k funkční analýze . V druhém případě hraje podstatnou roli otázka rozložitelnosti daného prvku v daném nekonečném systému funkcí, tedy konvergence odpovídajících nekonečných součtů, pro které se uvažuje společně nekonečněrozměrný vektorový prostor. s další strukturou, která umožňuje určit konvergenci, například s metrikou nebo topologií .

Základní vlastnosti:

Jakékoli lineárně nezávislé prvky -dimenzionálního prostoru tvoří základ tohoto prostoru. $n$ $n$
Jakýkoli vektor může být reprezentován (jedinečně) jako konečná lineární kombinace základních prvků: $\mathbf {x} \in V$

\mathbf {x} =\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf { x} _{n}

Lineární shell

Lineární rozsah podmnožiny lineárního prostoru je průsečíkem všech podprostorů obsahujících . ${\mathcal {V}} (X)$ $X$ $PROTI$ $PROTI$ $X$

Lineární rozsah je podprostorem . $PROTI$

Lineární rozpětí se také nazývá podprostor generovaný pomocí . Také se říká, že lineární rozpětí je prostor rozprostírající se množinou . $X$ ${\mathcal {V}} (X)$ $X$

Lineární rozpětí se skládá ze všech možných lineárních kombinací různých konečných podsystémů prvků z . Zejména, pokud je konečná množina, pak se skládá ze všech lineárních kombinací prvků . Tedy nulový vektor vždy patří do lineárního rozsahu. ${\mathcal {V}} (X)$ $X$ $X$ ${\mathcal {V}} (X)$ $X$

Jestliže je lineárně nezávislá množina, pak je základem a určuje tak její dimenzi. $X$ ${\mathcal {V}} (X)$

Izomorfismus

Dva lineární prostory a jsou nazývány izomorfní , pokud lze mezi vektory vytvořit korespondenci jedna ku jedné a takovým způsobem, že jsou splněny následující podmínky: $V'(F)$ $V''(F)$ $x'\in V'$ $x''\in V''$

jestliže vector odpovídá vector a vector odpovídá vector , potom vector odpovídá vector $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {y} ''\in V''$ $\mathbf {x} '+\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {x} ''+\mathbf {y} ''\in V''$
pokud vektor odpovídá vektoru a je prvkem pole , pak vektor odpovídá vektoru [7] $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\lambda$ $F$ $\lambda \mathbf {x} '\in V'$ $\lambda \mathbf {x} ''\in V''$

Příklady

Prázdný prostor, jehož jediným prvkem je nula.
Prostor všech funkcí s konečnou podporou tvoří vektorový prostor dimenze rovné moci . $X\to F$ $X$
Na pole reálných čísel lze pohlížet jako na kontinuum - rozměrný vektorový prostor nad polem racionálních čísel .
Jakékoli pole je jednorozměrný prostor nad sebou samým.
Prostory matic a tenzorů tvoří lineární prostor.

Doplňkové konstrukce

Viz také

Poznámky

↑ Nezaměňujte pojmy „násobení skalárem“ a „ skalární součin “.
↑ Ilyin, Poznyak, 2010 , str. 45.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , str. osm.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , str. 198.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , str. 16.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , str. čtrnáct.
↑ Shilov G. E. Úvod do teorie lineárních prostorů. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - str. 70

Literatura

Gelfand I. M. Přednášky o lineární algebře. - 5. - M . : Dobrosvet, MTSNMO , 1998. - 319 s. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Gelfand I. M. Přednášky o lineární algebře. 5. vyd. - M . : Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 s. - ISBN 5-7913-0016-6 .
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineární algebra a geometrie. 2. vyd. — M .: Nauka , 1986. — 304 s.
Kostrikin A.I. Úvod do algebry. Část 2: Lineární algebra. - 3. - M .: Nauka ., 2004. - 368 s. — (Učebnice univerzitní).
Maltsev AI Základy lineární algebry. - 3. — M .: Nauka , 1970. — 400 s.

Postnikov M. M. Lineární algebra (Přednášky o geometrii. II. semestr). - 2. — M .: Nauka , 1986. — 400 s.
Streng G. Lineární algebra a její aplikace. — M .: Mir , 1980. — 454 s.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineární algebra. 6. vyd. - M. : Fizmatlit, 2010. - 280 s. - ISBN 978-5-9221-0481-4 .
Halmos P. Konečné-dimenzionální vektorové prostory. — M .: Fizmatgiz , 1963. — 263 s.
Faddeev D. K. Přednášky o algebře. - 5. - Petrohrad. : Lan , 2007. - 416 s.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. - 1. — M .: Fizmatlit , 2009. — 511 s.
Schreier O., Shperner G. Úvod do lineární algebry v geometrickém podání = Einfuhrung in die analytickische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (přeloženo z němčiny). - M. - L .: ONTI , 1934. - 210 s.

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný