Základ

Základ ( jiné řecké βάσις „základ“) je uspořádaná (konečná nebo nekonečná) množina vektorů ve vektorovém prostoru , takže jakýkoli vektor tohoto prostoru může být jednoznačně reprezentován jako lineární kombinace vektorů z tohoto souboru. Bázové vektory se nazývají základní vektory .

V případě, že základ je nekonečný, je třeba objasnit pojem "lineární kombinace". To vede ke dvěma hlavním typům definice:

Hamelův základ , v jehož definici jsou uvažovány pouze konečné lineární kombinace; používá se hlavně v abstraktní algebře.
Schauderův základ , v jehož definici jsou uvažovány i nekonečné lineární kombinace, totiž expanze do řad ; používá se především ve funkcionální analýze, zejména pro Hilbertův prostor .

V konečně-dimenzionálních prostorech se obě definice báze shodují.

Původ termínu

Pro Euklida a další starověké řecké matematiky slovo „základ“ (βάσις, což znamená základna ) označovalo vodorovnou základnu ploché nebo prostorové postavy. Moderní matematický význam tohoto termínu byl dán Dedekindem v článku z roku 1885 .

Základ v rovině a v trojrozměrném prostoru

Jakýkoli kartézský souřadnicový systém v rovině nebo v trojrozměrném prostoru (také v prostoru jiné dimenze) může být spojen s bází složenou z vektorů, z nichž každý je nasměrován podél své vlastní souřadnicové osy. To platí jak pro pravoúhlé kartézské souřadnice (pak se odpovídající základna nazývá ortogonální ), tak pro šikmé kartézské souřadnice (kterým bude odpovídat neortogonální základna).

Často je vhodné zvolit délku ( normu ) každého ze základních vektorů jako jednotku, taková báze se nazývá normalizovaná.

Nejčastěji se volí základ ortogonální a zároveň normalizovaný, pak se nazývá ortonormální .

V libovolném vektorovém prostoru lze základ volit různými způsoby (např. změnou směrů jeho vektorů nebo jejich délek).

Notace

Označení základních vektorů může být v zásadě libovolné. Často používají nějaké písmeno s indexem (číselným nebo shodným s názvem souřadné osy), například:

{\vec e}_{1},{\vec e}_{2}

nebo

{\vec e}_{x},{\vec e}_{y}

jsou typická označení pro základ dvourozměrného prostoru (roviny),

{\vec e}_{1},{\vec e}_{2},{\vec e}_{3}

nebo

\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z

- trojrozměrný prostor. Pro trojrozměrný prostor se často tradičně používá notace

{\vec i},{\vec j},{\vec k}.

Reprezentace konkrétního (libovolného) prostorového vektoru jako lineární kombinace bázových vektorů (součet bázových vektorů číselnými koeficienty), např. $\vec a$

{\vec a}=a_{x}{\vec e}_{x}+a_{y}{\vec e}_{y}+a_{z}{\vec e}_{z}

nebo

{\vec a}=a_{1}{\vec e}_{1}+a_{2}{\vec e}_{2}+a_{3}{\vec e}_{3}

nebo pomocí znaku součtu : $\Sigma$

{\vec a}=\sum _{{i=1}}^{3}a_{i}{\vec e}_{i}

se v tomto základu nazývá expanze tohoto vektoru.

Číselné koeficienty se nazývají expanzní koeficienty a jejich soubor jako celek je reprezentací (nebo zástupcem) vektoru v bázi (Expanze vektoru v konkrétní bázi je jedinečná; expanze stejného vektoru v různých bázích je různá , to znamená, že se získá jiná množina konkrétních čísel, ale ve výsledku, když sečteme - jak je uvedeno výše - dáme stejný vektor). $(a_{x},a_{y},a_{z})$ $\vec a$ ${\vec e}_{x},{\vec e}_{y},{\vec e}_{z}.$

Typy základen

Hamelův základ

Hamelův základ je soubor vektorů v lineárním prostoru , takže jakýkoli prostorový vektor může být reprezentován jako nějaká jejich konečná lineární kombinace ( úplnost základu), a taková reprezentace je jedinečná pro jakýkoli vektor.

Kritériem jednoznačnosti řešení problému rozšíření vektoru v úplné soustavě vektorů je lineární nezávislost vektorů obsažených v úplné soustavě. Lineární nezávislost znamená, že jakákoli lineární kombinace systémových vektorů, ve které je alespoň jeden koeficient nenulový, má nenulový součet. To znamená, že je ekvivalentní jedinečnosti rozkladu nulového vektoru.

V případě lineárních prostorů, kdy je každý nenulový koeficient invertibilní, je lineární nezávislost ekvivalentní nemožnosti vyjádřit libovolný vektor úplného systému lineární kombinací jiných vektorů. (V obecnější situaci - moduly nad kruhy - tyto dvě vlastnosti nejsou ekvivalentní). Nemožnost vyjádřit jakýkoli bázový vektor v podmínkách zbytku znamená, že báze je minimální jako úplný systém vektorů – při odstranění kteréhokoli z nich se úplnost ztrácí.

V otázce existence bází je hlavní následující lemma (důkaz tohoto lemmatu je obecně nekonstruktivní a používá axiom výběru ):

Lemma. Nechť je úplný a lineárně nezávislý systém vektorů. Pak systém obsahuje sadu vektorů, které doplňují prostor na bázi . $S_{1}$ $S_{2}$ $S_{1}$ $S_{2}$ $PROTI$

Důkaz

Důkaz je založen na aplikaci Zornova lemmatu. Zvažte . Dovolit být soubor všech lineárně nezávislých podmnožin . Tato sada je částečně objednána s ohledem na zahrnutí. ${\displaystyle S=S_{1}\cup S_{2))$ $L$ $S$

Dokažme, že sjednocení libovolného řetězce lineárně nezávislých množin zůstává lineárně nezávislé. Vezměme si vektory ze sjednocení a vezměme množiny z řetězce, do kterého tyto vektory patří: . Protože tyto množiny jsou prvky řetězce, jejich spojením z nich vznikne maximum, které je lineárně nezávislé, a proto jsou vektory ležící v této množině také lineárně nezávislé. ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n))$ ${\displaystyle a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n))$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n))$

Spojení řetězových množin je lineárně nezávislé, a proto je obsaženo v množině . Aplikujme na to posílenou formulaci Zornova lemmatu , které říká, že pro každý prvek je maximum prvku větší nebo rovno. , což znamená, že existuje maximální prvek takový, že . Je snadné vidět, že existuje základ. Pokud by totiž neexistoval úplný systém vektorů, existoval by vektor , který nelze reprezentovat jako lineární kombinaci vektorů z . Pak je lineárně nezávislý systém, což znamená, že , což je v rozporu s tím, že je maximálním prvkem . $L$ $L$ $S_{2}\in L$ $B\in L$ $S_{2}\subset B$ $B$ $B$ $a\in S_{1}$ $B$ ${\displaystyle B\cup \{a\))$ $B\cup \{a\}\in L$ $B$ $L$

Důsledkem tohoto lemmatu jsou výroky:

Každý lineární prostor má svůj základ.
Prostorová báze může být extrahována z libovolného kompletního systému vektorů.
Libovolný lineárně nezávislý systém lze doplnit na základnu prostoru V.

Jakékoli dvě báze v lineárním prostoru mají stejnou moc, takže mohutnost báze je veličina nezávislá na výběru základních vektorů. Nazývá se dimenze prostoru (označuje se ). Pokud má lineární prostor konečnou bázi, jeho rozměr je konečný a nazývá se konečno -rozměrný , jinak je jeho rozměr nekonečný a prostor se nazývá nekonečně-rozměrný. $\dim V$

Zvolená báze lineárního prostoru nám umožňuje zavést souřadnicovou reprezentaci vektorů, což připravuje použití analytických metod.

Lineární zobrazení z jednoho lineárního prostoru do druhého je jednoznačně definováno, pokud je definováno na vektorech nějaké báze. Kombinace této skutečnosti s možností souřadnicové reprezentace vektorů předurčuje použití matic pro studium lineárních zobrazení vektorových prostorů (především konečnorozměrných). Zároveň mnoho faktů z teorie matic dostává vizuální reprezentaci a získává velmi smysluplný význam, když je vyjádřeno v jazyce lineárních prostorů. A volba základu v tomto případě slouží jako pomocný, ale zároveň klíčový nástroj.

Příklady

Prostorové vektory tvoří základ právě tehdy, když determinant matice složené ze souřadnicových sloupců těchto vektorů není roven 0: . $e_{1},e_{2},\tečky ,e_{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\det\{e_{1},e_{2},\tečky ,e_{n}\}\neq 0$
V prostoru všech polynomů nad polem je jedna ze základen tvořena mocninnými funkcemi: . $1,x,x^{2},\tečky ,x^{n},\tečky$
Pojem báze se používá v nekonečně-dimenzionálním případě, např. reálná čísla tvoří lineární prostor nad racionálními čísly a má spojitý Hamelův základ, a tedy spojitý rozměr.

Hamelova báze a nespojitá lineární funkce

Hamelův základ lze použít ke konstrukci nespojité reálné funkce, která podmínku splňuje . Nechť je Hamelův základ množiny reálných čísel nad polem racionálních čísel . Pak pro každou ( ) nastavíme , kde jsou libovolná reálná čísla, například racionální (v tomto případě funkce nabývá pouze racionálních hodnot, a proto je zaručeno, že nebude lineární funkcí ). Taková funkce je aditivní, to znamená, že splňuje funkcionální Cauchyho rovnici . Nicméně v obecném případě, kdy , se liší od lineární funkce , a proto je v libovolném bodě nespojitá , a také nezachovává znaménko, není omezena nad ani pod, není monotónní , není integrovatelná a není měřitelné na libovolném libovolně malém intervalu, přičemž svými hodnotami na tomto intervalu všude hustě vyplňuje číselnou osu . $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $\{r_{\alpha }\}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $x=k_{{\alpha _{1}}}r_{{\alpha _{1}}}+\cdots +k_{{\alpha _{n}}}r_{{\alpha _{n}}}$ $k_{i}\in {\mathbb {Q}}$ $f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}$ $f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})$ $f(x)$ $f(x)=(c\cdot x)$ $f(x)$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $f_{\alpha _{n}}\neq c\cdot r_{\alpha _{n}}$ $f(x)=c\cdot x$ $\left(-\infty ,+\infty \right)$

Schauderův základ

Systém vektorů v topologickém vektorovém prostoru se nazývá Schauderova báze (na počest Schaudera ), pokud se každý prvek rozloží na jedinou řadu konvergující v : $\{e_{n}\}$ $L$ $f\in L$ $F$ $\{e_{n}\}$

f=\sum _{{i=1}}^{{\infty }}f_{i}e_{i},

kde jsou čísla nazývaná koeficienty expanze vektoru v podmínkách základu . $f_{i}$ $F$ $\{e_{n}\}$

Pro zdůraznění rozdílu mezi definicí Hamelovy báze pro obecné lineární prostory (povoleny jsou pouze konečné součty) a Schauderovou bází pro topologické vektorové prostory (je povolena expanze do konvergentní řady ), se často používá termín lineární báze pro bývalý , opouštět termínový základ pro expanze série . Mocnina lineární báze se také nazývá lineární rozměr . V konečně-dimenzionálních prostorech se tyto definice shodují, protože základ je konečný. V nekonečně-dimenzionálních prostorech se tyto definice výrazně liší a lineární rozměr může být přísně větší než mohutnost Schauderovy báze.

Například žádný nekonečně -rozměrný Hilbertův prostor nemá spočetný lineární základ, ačkoli může mít spočetné sériové expanze Schauderovy základy, včetně ortonormálních základen . Všechny ortonormální báze Hilbertových prostorů jsou Schauderovy báze, například množina funkcí je Schauderova báze v . V obecnějších Banachových prostorech není pojem ortonormální báze aplikovatelný, ale často je možné zkonstruovat Schauderovy báze, které nepoužívají ortogonalitu. $\{1,{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\sin(2\pi nx),{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\cos(2\ pi nx)\mid n=1,2,\tečky \}$ $L^{2}[0,1]$

Příklad: Schauderova báze pro prostor spojitých funkcí C [ a, b ]

$Kabina]$ je Banachův prostor s normou . Pro expanze do Fourierových řad a zobecněných Fourierových řad v ortonormálních systémech funkcí je konvergence v Hilbertově prostoru snadno dokázána , ale ne v . Schauder zkonstruoval Schauderův základ pro . Nechť je hustá spočetná množina bodů na , , , Zbývající body mohou být například všechny racionální body segmentu , uspořádané libovolně. Předpokládejme, že , je lineární funkce. Definujme po částech lineární funkci tak, že for a . Body jsou rozděleny do segmentů. Pointa leží přísně uvnitř jednoho z nich. To budiž u některých (pořadí číslování čísel neodpovídá jejich velikosti). $\|f\|=\max _{{x\in [a,b]}}|f(x)|$ $L^{2}[a,b]$ $Kabina]$ $\{e_{n}\}$ $Kabina]$ $\{x_{0},x_{1},\tečky ,x_{n},\tečky \}$ $[a,b]$ $x_{0}=a$ $x_{1}=b$ $[a,b]$ $e_{0}=1$ $e_{1}=(xa)/(ba)$ $e_{n}(x)$ $e_{n}(x_{i})=0$ $i=0,1,\tečky,n-1$ $e_{n}(x_{n})=1$ $x_{0},x_{1},x_{2},\tečky ,x_{{n-1}}$ $[a,b]$ $n-1$ $x_{n}$ $I_{n}=[x_{j},x_{k}]$ $j,k\in \{0,\tečky ,n-1\}$ $x_{0},x_{1},x_{2},\tečky$

Položme:

e_{n}(x)=0

mimo segment

I_{n}=[x_{j},x_{k}],

e_{n}(x)={\frac {x-x_{j}}{x_{n}-x_{j}}}

x\in [x_{j},x_{n}],

e_{n}(x)={\frac {x_{k}-x}{x_{k}-x_{n}}}

x\in[x_{n},x_{k}].

Výsledný systém po částech lineárních „čepic“ je žádaným Schauderovým základem. Koeficienty expanze libovolné funkce v této bázi jsou vyjádřeny explicitními rekurzivními vzorci z hlediska posloupnosti hodnot . Částečný součet prvních členů řady $f(x)\v C[a,b]$ $f(x_{i})$ $n+1$

L_{n}(x)=\součet _{{i=0}}^{{n}}f_{i}e_{i}(x),

je v tomto případě po částech lineární aproximace s uzly v bodech ; vzorec pro koeficienty (viz obr.) $f(x)$ $x_{0},x_{1},x_{2},\tečky ,x_{{n}}$ $f_{n}=f(x_{n})-L_{{n-1}}(x_{n});\;\;f_{0}=f(a)$

Základní problém

Schauderovy základny byly zkonstruovány pro většinu známých příkladů Banachových prostorů, ale Banachův-Schauderův problém o existenci Schauderovy báze v každém oddělitelném Banachově prostoru se nedal řešit více než 50 let a byl negativně vyřešen až v r. 1972: existují oddělitelné Banachovy prostory bez Schauderovy báze (protipříklady Enflo [1] , Shankovsky, Davy a Figel).

Aplikace v krystalografii

Ve vektorové algebře je pomocí vektorového součinu a smíšeného součinu definován koncept vzájemné báze k bázi v trojrozměrném euklidovském prostoru a používá se k prokázání některých tvrzení souvisejících se smíšeným součinem a úhly mezi vektory [2 ] :212-214 . V krystalografii se reciproční báze nazývá krystalografická definice báze , na jejímž základě se určuje reciproční mřížka .

Viz také

Reper je úzce související pojem.
Ortogonální báze je speciální třída bází (Schauderovy báze) pro prostory s vnitřním součinem ( Hilbertův prostor ).
Gröbnerův základ
Riesz základ
konečně-dimenzionální prostor
Vlajka (matematika)

Poznámky

↑ Pro Enflo. Protipříklad k problému aproximace v Banachových prostorech (anglicky) // Acta Math .. - 1973. - Vol. 130 (1973) . - str. 309-317 . - doi : 10.1007/BF02392270 .
překlad: Per Enflo. Protipříklad k problému aproximace v Banachových prostorech = Protipříklad k problému aproximace v Banachových prostorech // Matematika / přel. B. S. Mityagin. - 1974. - T. 18 , no. 1 . — S. 146–155 .
↑ Gusyatnikov P.B., Rezničenko S.V. Vektorová algebra v příkladech a problémech . - M . : Vyšší škola , 1985. - 232 s.

Literatura

Kutateladze S. S., Základy funkční analýzy . - 4. vyd., opraveno. - Novosibirsk: Nakladatelství Matematického ústavu SB RAS, 2001. - XII + 354 s.

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný