Ortogonální základ

Ortogonální (ortonormální) báze je ortogonální ( ortonormální ) systém prvků lineárního prostoru se skalárním součinem , který má vlastnost úplnosti .

Případ konečných rozměrů

Ortogonální základ je základ složený z párových ortogonálních vektorů . Ortonormální základ také splňuje podmínku jednoty normy všech jejích prvků. To znamená, že jde o ortogonální bázi s normalizovanými prvky.

Ten se pohodlně píše pomocí symbolu Kronecker :

(e_{i},e_{j})=\delta _{ij},

to znamená, že bodový součin každého páru bázových vektorů je nula, když nejsou stejné ( ), a rovná se jedné, když je index stejný, to znamená, když je vzat bodový součin libovolného bázového vektoru sám se sebou. . $i\neq j$

Mnoho věcí je napsáno v ortogonálním základu mnohem snadněji než v libovolném, proto se velmi často snaží používat právě takové základy, pokud je to možné, nebo použití nějaké speciální neortogonální základny neposkytuje speciální speciální vymoženosti. Nebo pokud ji z důvodů obecnosti neopustí ve prospěch základu obecné formy.

Ortonormální základ je sebeduální ( jeho duální základ se shoduje sám se sebou). Je tedy možné v ní nerozlišovat horní a dolní indexy a používat řekněme pouze dolní indexy (jak tomu většinou bývá, pokud ovšem v tomto případě nejsou použity pouze ortonormální báze).

Lineární nezávislost vyplývá z ortogonality, tj. je dosažena automaticky pro ortogonální systém vektorů.

Koeficienty v expanzi vektoru na ortogonální bázi:

\\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e_{1}} +a_{2}\mathbf {e_{2}} +\ldots +a_{n}\mathbf {e_{n} }

lze najít takto:

\ a_{i}={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {e_{i}} )}{(\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {e_{i}} ) }}.

Úplnost ortonormálního systému vektorů je ekvivalentní Parsevalově rovnosti : pro jakýkoli vektor je druhá mocnina normy vektoru rovna součtu druhých mocnin koeficientů jeho expanze na bázi: ${\mathbf {a}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {a}})=\sum _{i}({\mathbf {a}},{\mathbf {e_{i}}})^{2},

Podobné vztahy platí i pro nekonečněrozměrný případ (viz níže).

Nekonečně-rozměrný případ

Ortogonální báze je systém párových ortogonálních prvků Hilbertova prostoru tak, že jakýkoli prvek může být jednoznačně reprezentován jako norma-konvergující řada. $e_{1},e_{2},...,e_{n},...$ $X$ $x\in X$

x=\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}e_{n},

nazývaná Fourierova řada prvku v systému . $X$ $\{e_{n}\}$

Často je základ zvolen tak, že a pak se nazývá ortonormální základ . V tomto případě čísla , nazývaná Fourierovy koeficienty prvku na ortonormální bázi , mají tvar $\{e_{n}\}$ $|e_{n}|=1$ $a_n$ $X$ $\{e_{n}\}$

a_{n}=(x,e_{n})

Nezbytnou a postačující podmínkou pro to, aby byl základem ortonormální systém, je Parsevalova rovnost . $\{e_{n}\}$

Hilbertův prostor, který má ortonormální základ, je oddělitelný a naopak každý oddělitelný Hilbertův prostor má ortonormální základ.

Je-li libovolná soustava čísel dána taková, že pak v případě Hilbertova prostoru s ortonormálním základem řada konverguje v normě k nějakému prvku . Tím se stanoví izomorfismus libovolného Hilbertova prostoru oddělitelného k prostoru ( Riesz -Fischerův teorém). $\{a_{n}\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}^{2}<\infty$ $\{e_{n}\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}e_{n}$ $x\in X$ $l_{2}$

Příklady

Standardní báze v n-rozměrném euklidovském prostoru R n je ortonormální. $e_{1}=(1,0,\ldots ,0)^{{\mathrm {T}}},e_{2}=(0,1,\ldots ,0)^{{\mathrm {T}} },\ldots e_{n}=(0,0,\ldots ,1)^{{\mathrm {T))}$

Sada tvoří ortonormální základ v . $\{f_{n}={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}e^{{inx}},n\in {\mathbb {Z}}\}$ $L^{2}([-\pi ,\pi ])$

Literatura

Gelfand I. M. Přednášky o lineární algebře, Moskva: Nauka, 1971.
Prostorové metody Morena K. Hilberta. M.: Mir, 1965.

Viz také

Vektory a matice

vektory

Základní pojmy	Vektor v geometrii Základ Ortogonální základ Vektorové souřadnice Kolinearita Ortogonalita Lineární závislost Prostor sloupců
Druhy vektorů	Jednotkový vektor Axiální vektor izotropní vektor Normální Kolinearita Nulový vektor Vektor poloměru Vlastní vektor
Operace s vektory	Skalární součin vektorový produkt smíšený produkt Pseudoskalární produkt Dvojitý křížový produkt
Typy prostoru	vektorový prostor afinní prostor Euklidovský prostor Pseudoeuklidovský prostor Normovaný prostor Minkowského prostor

matrice

Základní pojmy	Maticové násobení Transponovaná matice Hermitovská konjugovaná matice Symetrická matice inverzní matice Vlastní hodnota Charakteristický polynom matice
Speciální matrice	Matice identity Nulová matice Diagonální matice lambda matrice
Maticové rozklady	LU rozklad Choleský rozklad QR rozklad rozklad LUP singulární rozklad hodnoty Spektrální rozklad matice

jiný