Tenzor

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. června 2022; kontroly vyžadují 6 úprav .

Tenzor (z lat. tensus , “čas”) je objekt lineární algebry používaný v matematice a fyzice , definovaný na vektorovém prostoru konečného rozměru . Ve fyzice se jako tenzor obvykle chová fyzický trojrozměrný prostor nebo čtyřrozměrný prostoročas a složky tenzoru jsou souřadnicemi propojených fyzikálních veličin. $PROTI$ $n$ $PROTI$

Použití tenzorů ve fyzice umožňuje lépe porozumět fyzikálním zákonům a rovnicím, zjednodušit jejich zápis redukcí mnoha souvisejících fyzikálních veličin do jednoho tenzoru a také psát rovnice ve formě, která nezávisí na zvolené vztažné soustavě .

Tenzory se liší v hodnosti , která je určena dvojicí přirozených čísel , kde je kontravariantní a je kovariantní hodnost (a říkají jednou kontravariantní a jednou kovariantní tenzor) a součet se jednoduše nazývá hodností tenzoru. $(s,r)$ $s$ $r$ $s$ $r$ $s+r$

Hodnostní tenzory jsou vektory lineárního prostoru, polylineárně související s prostorem a označované nebo . Rozměr se rovná počtu komponent tenzoru a samotné komponenty jsou souřadnicemi tenzoru v základně, "připojené" k vesmírné základně . Hodnost tenzoru spolu s dimenzí prostoru určuje počet složek tenzoru a kovariantní a kontravariantní hodnost určují povahu jejich závislosti na bázi v prostoru . $(s,r)$ $PROTI$ $\otimes _{r}^{s}V$ $T_{r}^{s}(V)$ $\otimes _{r}^{s}V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $PROTI$ $PROTI$ $n^{s+r}$ $PROTI$

Právě multilineární vztah mezi a umožňuje identifikovat vektory od jako tenzory po , a nejen vektory nějakého prostoru, protože když se změní báze v, báze v a souřadnice tenzoru jako vektor tohoto prostoru také změnit. Proto se mluví o souřadnicové reprezentaci tenzoru v prostorové bázi . Navzdory změnám tenzorových složek při změně báze nejsou tenzory jako algebraické a geometrické objekty závislé na bázi - stejnému objektu mohou odpovídat různé sady souřadnic v různých bázích. $PROTI$ $\otimes _{r}^{s}V$ $\otimes _{r}^{s}V$ $PROTI$ $PROTI$ $\otimes _{r}^{s}V$ $PROTI$

Komponenty tenzoru s pevnou bází mohou být strukturovány ve formě rozměrové tabulky . Na úrovni 0 je tabulka jedno číslo, na úrovni 1 uspořádaná množina (vektor sloupců nebo řádků), na úrovni 2 čtvercová matice, na úrovni 3 trojrozměrná krychle atd. Obecně platí, vizuální reprezentace pro velké pozice je obtížná. $PROTI$ $(n+r)$ $n\times n\times \cdots \times n$

Tenzory řady 1 jsou tedy vektory prostoru , stejně jako lineární funkcionály ( covektory ) na , tvořící duální prostor stejné dimenze. Tenzory pozice 2 jsou bilineární formy , lineární operátory a bivektory na , které také tvoří odpovídající lineární prostory. K tenzorům (ranku 0) patří i skaláry - prvky pole , na kterém je dán prostor (většinou se jedná o reálná nebo komplexní čísla). Skaláry se při změně báze nemění (invariantní). $PROTI$ $PROTI$ $V^*$ $PROTI$ $PROTI$

Složky tenzoru pořadí se zapisují pomocí horních (kontravariantních) a dolních (kovariantních) indexů: . Například vektory v tenzorové notaci se zapisují jedním horním indexem , lineární operátory dolním a horním indexem: , bilineární formy (dvojitě kovariantní tenzory) dvěma dolními indexy . Typový tenzor (například Riemannův tenzor křivosti ) by byl psán jako . $(s,r)$ $s$ $r$ $T_{j_{1}j_{2}\tečky j_{r}}^{i_{1}i_{2}\tečky i_{s}}$ $x^i$ ${\displaystyle a_{j}^{i))$ $F_{{ij}}$ $(1,3)$ ${\displaystyle R_{jkl}^{i))$

Aplikace často používají tenzorová pole , která přiřazují různé tenzory různým bodům v prostoru (například tenzor napětí v objektu). Často se jim však zjednodušeně říká také tenzory.

Tenzory zpopularizovali v roce 1900 Tullio Levi-Civita a Gregorio Ricci-Curbastro , kteří navázali na dřívější práci Bernharda Riemanna a Alvina Bruna Christoffela . Slovo „tensor“ vymyslel německý fyzik W. Vogt v roce 1898 [1] .

Předběžné zápasy

Einsteinovo pravidlo

Zde a dále v textu článku se bude používat především obecně uznávaná konvence - tzv. Einsteinovo pravidlo , podle kterého, pokud jsou v záznamu horní a dolní indexy, označené stejným písmenem (tzv. tzv. "tichý" index), pak se předpokládá sumace. Například vstup znamená totéž jako . To zjednodušuje psaní vzorců tím, že neuvádí znaménka součtu. U indexů označených různými písmeny se sumace neočekává. V důsledku toho „zmizí“ index ztlumení, zatímco zbývající indexy zůstanou, například: nebo . Viz také pododdíl tohoto článku věnovaný operaci konvoluce. ${\displaystyle x^{i}e_{i))$ ${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x^{i}e_{i))$ ${\displaystyle y^{j}=c_{i}^{j}x^{i}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{j}x^{i))$ $a_{i}^{j}=b_{k}^{j}c_{i}^{k}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{j}c_ {i}^{k}$

Kontravariance vektorů

Nechť je množina vektorů základem ve vektorovém prostoru . Potom je libovolný vektor tohoto prostoru v dané bázi reprezentován jako lineární kombinace bázových vektorů: . Množina (uspořádaných) čísel (sloupcový vektor) se nazývá souřadnice nebo složky vektoru v dané bázi nebo souřadnicová reprezentace vektoru. $\{e_{i}\}=(e_{1},e_{2},...,e_{n})$ $PROTI$ $X$ ${\displaystyle x=x^{i}e_{i))$ ${\displaystyle \{x^{i}\}=(x^{1},x^{2},...,x^{n})^{T))$

Zvažte další sadu vektorů , která je také základem. Každý z vektorů nové báze může být reprezentován ve "staré" bázi (stejně jako jakýkoli vektor): , tedy souřadnicemi . Matice, jejíž sloupce představují souřadnice nové báze ve staré, je tedy transformační maticí staré báze na novou. Inverzní matice umožňuje získat starý základ z nového. Navíc právě pomocí inverzní matice lze získat souřadnicovou reprezentaci libovolného vektoru v nové bázi. To znamená, že nové souřadnice (v nové bázi) jsou stejné (ve formě maticového vektoru se to zapisuje jako ). To znamená, že souřadnice vektoru jsou převedeny zpět na základ. Tato vlastnost transformace souřadnic se nazývá kontravariance . $\{e'_{i}\}=(e'_{1},e'_{2},...,e'_{n})$ ${\displaystyle e'_{i}=e_{i'}=c_{i'}^{i}e_{i))$ ${\displaystyle (c_{i'}^{1},c_{i'}^{2},...,c_{i'}^{n})^{T))$ $C=\{c_{i'}^{i}\}$ $C^{-1}=\{c_{i}^{i'}\}$ $x=x^{i}e_{i}=x^{i}c_{i}^{i'}e_{i'}=(x^{i}c_{i}^{i'} )e'_{i}$ $x^{i'}=x^{i}c_{i}^{i'}$ $x'=C^{-1}x$

Kovariance lineárních funkcionálů

Pokud budou souřadnice libovolného objektu transformovány jako základ, to znamená pomocí matice základní transformace, pak se tomu říká kovariance . Příkladem kovariantního objektu jsou tzv. covektory - jedná se o lineární funkcionály ( lineární formy ) na prostoru . To vyžaduje vysvětlení. Díky linearitě tvoří množina všech takových funkcionalí také vektorový prostor , který se nazývá dual to a má stejnou dimenzi jako . Lineární funkcionály (formy) jsou tedy vektory duálního prostoru. Stávají se kovektory (kovariantní tenzory hodnosti 1) díky vazbě na hlavní prostor , totiž specifickou volbou základu duálního prostoru, jednoznačně určeným základem prostoru . V daném prostorovém základu je libovolný lineární tvar roven . Souřadnice vektoru lze interpretovat také jako lineární funkce, které spojují každý vektor s jeho odpovídající souřadnicí: . Tyto lineární funkcionály jsou bází v duálním prostoru a nazývají se duální (nebo duální) báze (k bázi základního prostoru). V souladu s tím je libovolný lineární tvar reprezentován jako: , tedy také jako množina souřadnic (jsou psány jako řádkový vektor, na rozdíl od sloupcového vektoru souřadnic hlavních prostorových vektorů). $PROTI$ $V^*$ $PROTI$ $PROTI$ $PROTI$ $PROTI$ $PROTI$ ${\displaystyle f(x)=f(x^{i}e_{i})=f(e_{i})x^{i}=f_{i}x^{i))$ $x^i$ $x^{i}=e^{i}(x)$ ${\displaystyle f(x)=f_{i}e^{i))$ $(f_{1},f_{2},...,f_{n})$

V novém základu máme: , kde jsou souřadnice lineárního tvaru v novém duálním základu . Jsou transformovány pomocí stejné přechodové matice ze starého vesmírného základu na nový . To lze vysvětlit bez vzorců: lineární funkcionál je vektor v prostoru , proto se při změně báze v něm jeho souřadnice změní zpět na svou bázi, ale tato duální báze se zase změní inverzně ke změně báze v prostoru ( protože to jsou ve skutečnosti souřadnice vektorů) . V důsledku toho jsou souřadnice lineární funkce transformovány stejným způsobem jako základ hlavního prostoru. Proto se jim říká covektory vzhledem k hlavnímu prostoru. $f(x)=f(x^{i'}e_{j'})=f(e_{i'})x^{i'}=f(c_{i'}^{i}e_ {i})e^{i'}(x)=f(e_{i})c_{i'}^{i}e^{i'}=(f_{i}c_{i'}^{i })e^{i'}=f_{i'}e^{i'}$ ${\displaystyle f_{i'}=f_{i}c_{i'}^{i))$ ${\displaystyle \{e^{i'}(x)\))$ $C=\{c_{i'}^{i}\}$ $PROTI$ $f'=fC$ $V^*$ $PROTI$

Poznámky

1. V případě ortonormálních bází se inverzní transformační matice báze jednoduše transponuje: , tedy , to znamená, že pokud souřadnice lineárního tvaru nejsou zapsány jako řádkový vektor, ale jako sloupcový vektor, pak pravidlo pro transformaci souřadnic lineárního tvaru se nebudou lišit od transformací vektorových pravidel. Při přechodech mezi ortonormálními bázemi (rotacemi nebo změnami orientace báze) se tedy kovariantní transformace neliší od kontravariantní. ${\displaystyle C^{T}=C^{-1))$ ${\displaystyle (fC)^{T}=C^{T}f^{T}=C^{-1}f^{T))$

2. V prostorech s (pseudo)skalárním součinem ((pseudo)euklidovské prostory) je prostor kanonicky izomorfní s prostorem , to znamená, že je lze identifikovat (každý lineární funkcionál je reprezentován jako skalární součin pevného vektoru a vektorový argument funkce , tj . mezi a existuje korespondence jedna ku jedné). Proto lze vektor a covektor v podstatě považovat za jeden objekt. V tomto ohledu se má za to, že stejný vektor (v obecném případě tenzor) může být jednoduše reprezentován jak v kontravariančních, tak v kovariančních souřadnicích. To se často provádí například ve fyzice, kde se tenzory obvykle uvažují buď v geometrickém trojrozměrném prostoru, nebo ve čtyřrozměrném časoprostoru. $V^*$ $PROTI$ $a\in V$ $x \in V$ $f(x)=(a,x)$ $A$ $F$

Příklady přepočtu souřadnic při změně základny

Příklad přepočtu souřadnic vektoru při změně základny

Uvažujme nějaký vektor v nějakém dvourozměrném euklidovském prostoru ( euklidovská rovina ), který je na obrázku vpravo znázorněn jako nasměrovaná zelená šipka. Na nějaké bázi (na obrázku je označena červeně) na rovině skládající se z vektorů a , má tento vektor souřadnice , to jest (vektor samotný nezávisí na volbě báze a nastavuje se nezávisle na ní). $v$ ${\color {red}e_{1}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ${\color {red}e_{2}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ ${\color {limegreen}v}={\color {red}e_{1}}+2\color {red}e_{2}$ $proti$

Nyní představujeme nový základ , získaný z prvního zapnutím v kladném směru. Rozšiřme vektory , z hlediska základu a označme -tou souřadnicí vektoru , pak $\color {blue}f_{1}$ $\color {blue}f_{2}$ ${\displaystyle 45^{\circ ))$ $\color {blue}f_{1}$ $\color {blue}f_{2}$ $\color {red}e_{1}$ $\color {red}e_{2}$ ${\displaystyle c_{i}^{j))$ $j$ $\color {blue}f_{i}$

F i = C i jeden E jeden + C i 2 E 2 = C i j E j , i = jeden , 2 , {\displaystyle {\color {blue}f_{i}}=c_{i}^{1}{\color {red}e_{1}}+c_{i}^{2}{\color {red}e_ {2}}=c_{i}^{j}{\barva {červená}e_{j}},\quad i=1,2,}

{\color {blue}f_{i}}=c_{i}^{1}{\color {red}e_{1}}+c_{i}^{2}{\color {red}e_ {2}}=c_{i}^{j}{\barva {červená}e_{j}},\quad i=1,2,

Očividně . _ Matice přechodu od základu k základu má tedy tvar . ${\color {blue}f_{1}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}} }\end{pmatrix}}$ ${\color {blue}f_{2}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2} }}\end{pmatrix}}$ $(c_{i}^{j})$ $\color {red}e_{1}$ $\color {red}e_{2}$ $\color {blue}f_{1}$ $\color {blue}f_{2}$ $C=\{c_{i}^{j}\}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt { 2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}$

Protože staré souřadnice jsou vztaženy k novým jako nebo v maticovém tvaru , inverzní závislost souřadnic v nové bázi na souřadnicích ve starém vypadá v tensorovém zápisu jako , a v maticovém zápisu jako . Inverzní matici lze v tomto případě snadno najít: . V souladu s tím jsou souřadnice vektoru v nové bázi ${\color {limegreen}v}={\tilde {v}}^{i}{\color {blue}f_{i}}={\tilde {v}}^{i}c_{i} ^{j}{\color {red}e_{j}}=v^{j}{\color {red}e_{j}}$ $v^{j}=c_{i}^{j}{\tilde {v}}^{i}$ $v=C{\tilde {v}}$ ${\tilde {v}}^{i}=c_{j}^{i}v^{j}$ ${\tilde {v}}=C^{-1}v$ $C^{-1}=C^{T}=\{c_{j}^{i}\}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2))}& {\frac {1}{\sqrt {2}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix }}$

proti ~ = ( jeden 2 jeden 2 − jeden 2 jeden 2 ) ( jeden 2 ) = ( 3 2 jeden 2 ) = ( 3 2 2 2 2 ) {\displaystyle {\tilde {v}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{ \frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}} ={\begin{pmatrix}{\frac {3}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} {\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}} ${\tilde {v}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{ \frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}} ={\begin{pmatrix}{\frac {3}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} {\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}$

Je vidět, že souřadnice vektoru v novém základu se opravdu liší od souřadnic staré základny (což bylo vidět již z obrázku), zatímco samotný vektor jako prvek prostoru na volbě nezávisí. základu (geometricky se zelená šipka nijak nezměnila) . $\color {limegreen}v$

Příklad přepočtu souřadnic lineárního funkcionálu

Lineární funkcionály jsou kovektory (kovariantní tenzory řady 1), proto se při změně báze transformují jejich souřadnice stejně jako báze (pomocí stejné matice). Uvažujme například stejný dvourozměrný euklidovský prostor se stejnou počáteční červenou bází a zeleným vektorem.

Nechť v tomto základu (přesněji v duálu k němu) má nějaký lineární funkcionál souřadnice (1,1) (lze ukázat, že takový funkcionál najde průmět do směru vektoru (1,1) a vynásobí jej o . Například pro zelený vektor z obrázku je hodnota funkcionálu 1 + 2 = 3. Hodnota funkcionálu by neměla záviset na bázi. Ukažme si to na příkladu nové báze, ve které osa se získá otočením o 45 stupňů proti směru hodinových ručiček a osa zůstane nezměněna. Transformační matice báze bude vypadat takto: , a nové souřadnice lineárního funkcionálu se budou rovnat .Inverzní transformační matice báze je .Použití to, najdeme souřadnice vektoru v v nové bázi . Podle toho bude hodnota lineárního funkcionálu vektoru v nové bázi: , to znamená, že jsme dostali stejnou hodnotu jako v původní bázi . $\varphi(x)$ ${\sqrt {2}}$ $proti$ ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ $X$ $y$ $C=\{c_{i}^{j}\}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&1\end{pmatrix}}$ $\varphi =(1,1){\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&1\ end{pmatrix}}=({\frac {2}{\sqrt {2}}},1)$ $C^{-1}={\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\-1&1\end{pmatrix}}$ $v={\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\begin{ pmatrix}{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}$ $({\frac {2}{\sqrt {2}}},1){\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}=3$

Hodnota lineárního funkcionálu nezávisí na zvolené bázi, ale závisí pouze na argumentu vektoru, který také nezávisí na bázi, nicméně v souřadnicovém zápisu je vektor i covektor závislý na bázi.

Definice

Existuje několik v podstatě ekvivalentních definic tenzorů. Jejich ekvivalence je způsobena skutečností, že mezi sadami objektů (včetně tenzorových operací a vztahů mezi nimi) generovanými těmito definicemi lze vytvořit vzájemnou korespondenci (říká se, že prostory těchto objektů jsou navzájem izomorfní) .

Tensor jako soubor komponent (objekt s více indexy)

Obecná definice. Pravidlo transformace souřadnic

Tenzor typu na vektorovém prostoru (dimenze ) je objekt určený na libovolné bázi množinou čísel (každý z indexů může nabývat hodnot od 1 do ), která se při přechodu na jinou bázi mění podle následující zákon (uplatňuje se Einsteinovo pravidlo): $(_{r}^{s})$ $PROTI$ $n$ $\{e_{i}\}$ $T_{j_{1}j_{2}\tečky j_{r}}^{i_{1}i_{2}\tečky i_{s}}$ $n$ $\{e_{i}^{'}\}$

T_{j'_{1}j'_{2}\tečky j'_{r}}^{i'_{1}i'_{2}\tečky i'_{s}}= T_{j_{1}j_{2}\tečky j_{r}}^{i_{1}i_{2}\tečky i_{s}}c_{i_{1}}^{i'_{1}} c_{i_{2}}^{i'_{2}}\tečky c_{i_{s}}^{i'_{s}}c_{j'_{1}}^{j_{1}} c_{j'_{2}}^{j_{2}}\tečky c_{j'_{r}}^{j_{r}}

tedy jednou s inverzní maticí transformační matice báze a jednou s transformační maticí báze. Čili v rámci této definice je tenzorem pole komponent + zákon přeměny komponent při změně báze. $s$ $r$

Číslo se nazývá valence nebo hodnost tenzoru, - kontravariantní valence, - kovariantní valence. Také říkají - krát kontravariantní a - krát kovariantní tenzor. Počet komponent tenzoru (množina čísel, která reprezentují tenzor v dané bázi) je . $s+r$ $s$ $r$ $s$ $r$ $n^{s+r}$

Z této definice tedy vyplývá, že vektor prostoru je tenzor typu , a covektor tohoto prostoru je tenzor typu . Pro pohodlí se má za to, že tenzor typu je samotné pole reálných čísel, tedy skaláry, které se nemění, když se mění základ. $PROTI$ $(_{0}^{1})$ $(_{1}^{0})$ $(_{0}^{0})$

Transformace souřadnic v konkrétních případech

Pro prostorový vektor , který je kontravariančním tenzorem hodnosti 1 , bude mít vzorec transformace souřadnic při změně báze tvar , nebo v maticovém tvaru: , kde jsou sloupcové vektory souřadnic vektoru x ve staré bázi a nový základ. $X$ $PROTI$ $x^i$ ${\displaystyle x^{i'}=x^{i}c_{i}^{i'}=c_{i}^{i'}x^{i))$ $\mathbf {x} '=C^{-1}\mathbf {x}$ $\mathbf {x} ,\mathbf {x} '$

Pro lineární formu - kovariantní tenzor úrovně 1 bude vzorec transformace souřadnic vypadat takto: , nebo v maticovém tvaru , kde jsou řádkové vektory souřadnic lineárního tvaru ve staré a nové bázi. $f(x)$ $f_{i}$ ${\displaystyle f'_{i}=f_{i'}=f_{i}c_{i'}^{i))$ $\mathbf {f} '=\mathbf {f} C$ $\mathbf {f} ,\mathbf {f} '$ $F$

Pro bilineární formu (dvojitý kovariantní tenzor ) je vzorec transformace souřadnic: $B:V^{2}\rightarrow R$ ${\displaystyle B_{ij))$

$B'_{ij}=B_{i'j'}=B_{ij}c_{i'}^{i}c_{j'}^{j}=c_{i'}^{i} B_{ij}c_{j'}^{j}=C^{T}BC$

Pro lineární operátor (jednou kovariantní a jednou kontravariantní tenzor ) je vzorec pro přepočet souřadnic: $A:V\rightarrow V$ ${\displaystyle A_{i}^{j))$

$A_{i'}^{j'}=A_{i}^{j}c_{i'}^{i}c_{j}^{j'}=c_{j}^{j'} A_{i}^{j}c_{i'}^{i}=C^{-1}AC$

Pseudotenzory

Pseudotenzory jsou algebraické objekty, jejichž souřadnice se transformují podobně jako tenzory, až na změnu orientace báze - v tomto případě pseudotenzory mění znaménko na rozdíl od pravých tenzorů. Formálně to znamená, že v zákoně o transformaci souřadnic je nutné přidat faktor rovný znaménku determinantu základní transformační matice: . $sign(det(C))$

Speciálními případy pseudotensorů jsou pseudoskaláry a pseudovektory . Příkladem pseudoskaláry je tzv. orientovaný objem . Příkladem pseudovektoru je výsledek křížového součinu ve 3D prostoru, jako je vektor momentu hybnosti . Symboly Levi-Civita jsou také pseudotenzory .

Objekty s více indexy, které nejsou tenzory

Jakákoli množina čísel (například matice), při absenci nebo nekonzistenci zákona o jejich změně, když se základ prostoru mění s tenzorovým zákonem transformace souřadnic, není tenzorem. Objekty s více indexy, které se rovnají nule alespoň v jedné bázi (všechny souřadnice v této bázi jsou rovny nule), také nejsou tenzory.

Existují objekty, které jsou podobné tenzorům (platí pro ně standardní operace s tenzory, např. konvoluce s vektory nebo jiné tenzory), ale jejichž zákon transformace při změně báze není tenzor. Klasickým, ale komplexním příkladem takových objektů jsou Christoffelovy symboly , označující složky tzv. spojení (nekonečně malý paralelní posun vektoru podél křivky) v Riemannových varietách - jejich transformační zákon není tenzorický. Konvoluce spojených složek s vektorem však dává skutečný vektor a jejich rozdíl je skutečným tenzorem ( torzní tenzor ). Christoffelovy symboly, stejně jako jakékoli spojovací koeficienty na svazku , jsou prvky komplexnějšího prostoru, než je prostor svazků tenzorů - trysek . ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i))$

Mezi tenzory také nepatří samotné transformační matice souřadnic ( Jacobiho matice ), které jsou speciálním případem difeomorfismu mezi dvěma varietami, s jejichž pomocí se zavádí klasická definice tenzoru, i když se v mnoha vlastnostech podobají tenzor. U nich můžete také zadávat horní a dolní indexy, operace násobení, sčítání a konvoluce. Avšak na rozdíl od tenzoru, jehož složky závisí pouze na souřadnicích na dané varietě, složky jakobiánské matice závisí také na souřadnicích na manifold-obrazu. Tento rozdíl je zřejmý v případě, kdy jsou uvažovány Jacobiho matice difeomorfismu dvou libovolných variet, ale když je varieta mapována do sebe, lze jej přehlédnout, protože tečné prostory obrazu a předobrazu jsou izomorfní (ne kanonické) . Nicméně přetrvává. Analogii mezi Jacobiho maticemi a tenzory lze vyvinout zvážením libovolných vektorových svazků nad varietou a jejich součinů, nikoli pouze svazků tečny a kotangens.

Tenzor jako multilineární funkce

Obecná definice

Tenzor typu je multilineární funkce (multilineární forma) , tedy numerická funkce argumentů následujícího tvaru , kde jsou lineární funkcionály na a jsou prostorové vektory . $(_{r}^{s})$ $T\colon (V^{*})^{s}\times V^{r}\to R$ $s+r$ $T(f_{1},f_{2},...,f_{s},x_{1},x_{2},...,x_{r})$ $f_{i}$ $PROTI$ $x_{j}$ $PROTI$

Tenzorové souřadnice v nějaké bázi budou hodnoty multilineární funkce na různých kombinacích základních vektorů: $T_{j_{1}j_{2}...j_{r}}^{i_{1}i_{2}...i_{s}}=T(e^{i_{1}} ,e^{i_{2}},...,e^{i_{s}},e_{j_{1}},e_{j_{2}},...,e_{j_{r}} )$

Multilineární funkce na V jako kovariantní tenzory

V prostoru jsou multilineární funkce numerické funkce několika vektorových argumentů tohoto prostoru, lineární v každém z argumentů: . Linearita s ohledem na každý argument znamená, že tyto funkce lze považovat za lineární funkcionály s ohledem na každý argument, pokud jsou ostatní argumenty pevné. $PROTI$ $f(v_{1},v_{2},...,v_{r})$

Multilineární funkce vektorových argumentů v prostoru jsou tenzory typu , tedy -krát kovariantní tenzory (konvektory byly zvláštním případem tohoto typu tenzorů). Pokud takový tenzor považujeme za funkci , pak při reprezentaci každého z vektorů jako lineární kombinace vektorů prostorové báze díky multilinearitě funkce dostaneme: $r$ $PROTI$ $(_{r}^{0})$ $r$ $T(v_{1},v_{2},...,v_{r})$

$T(x_{1}^{i_{1}}e_{i_{1}},x_{2}^{i_{2}}e_{i_{2}},...,x_{r }^{i_{r}}e_{i_{r}})=x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{ r}}T(e_{i_{1}},e_{i_{2}},...,e_{i_{r}})=T_{i_{1}i_{2}...i_{r }}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{r}}$

kde je souřadnicové vyjádření multilineární funkce a produkty jsou duálním základem prostoru duálního k . To znamená, že multilineární funkce tvoří vektorový prostor duální k . Při změně báze v hlavním prostoru v duálním prostoru se základna změní zpět a vektory samotného duálního prostoru (tedy v tomto případě multilineární funkce) se změní zpět na základnu, a proto se stejně jako základ hlavního prostoru. Multilineární funkce na prostoru se tedy v souřadnicové reprezentaci kovariantně transformují a jsou -krát kovariantní tenzory. $T_{i_{1}i_{2}...i_{r))$ $x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{r}^{i_{r}}$ ${\displaystyle (V^{*})^{r))$ ${\displaystyle (V)^{r))$ ${\displaystyle (V)^{r))$ $PROTI$ $r$

Klasickým příkladem tenzorů typu (dvojitě kovariantní tenzor) jsou bilineární formy - numerické funkce dvou argumentů-vektorů prostoru , lineární v každém z argumentů. V souřadnicové reprezentaci je zapsána jako matice komponent — bilineární hodnoty na párech základních vektorů. Při změně báze se matice bilineární formy transformuje jako , kde C je transformační matice báze. $(_{2}^{0})$ $g(x,y)$ $A$ $A'=C^{T}AC$

Multilineární funkce na V* jako kontravariantní tenzory

Podobně lze ukázat, že multilineární funkce na duálním prostoru jsou typové tenzory kvůli kontravariantní povaze transformace souřadnic. ${\displaystyle (V^{*})^{s))$ $(_{0}^{s})$

V této definici je poněkud obtížnější pochopit, že kontravariantní tenzory typu jsou vektory prostoru . Jde o to, že lineární funkcionály na prostoru také tvoří prostor duální k k — druhý duální prostor, označovaný . Nicméně, to může být ukázáno, že pro konečné-dimenzionální vektorové prostory druhý duální prostor je kanonicky izomorfní k původnímu vektorovému prostoru , tj. prostorům a může být identifikován. Lineární funkcionály na duálním prostoru lze tedy ztotožnit s vektory prostoru , respektive jde o tenzory typu $(_{0}^{1})$ $PROTI$ $V^{*}$ $V^{*}$ $V^{**}$ $V^{**}$ $PROTI$ $PROTI$ $V^{**}$ $V^{*}$ $PROTI$ $(_{0}^{1})$

Multilineární funkce jako lineární zobrazení

Podobně lze ukázat, že zákonu transformace obecných multilineárních funkcí také odpovídá tenzorový.

Z této definice není zřejmé, že lineární operátory na jsou tenzory typu . Pokud však uvažujeme multilineární funkci , kde je prostorový vektor a je lineární funkcí (vektor duálního prostoru), pak pro pevnou takovou funkci je prostě lineární funkcionál na prostoru , tedy prvek prostoru . Jak bylo uvedeno výše, tento prostor je totožný s původním prostorem , což znamená, že s touto funkcí je pro pevnou funkci spojen další vektor stejného prostoru a zároveň je takové zobrazení lineární. V důsledku toho jsou multilineární funkce typu identifikovány pomocí lineárních operátorů na . $PROTI$ $(_{1}^{1})$ $T(f,x)$ $X$ $F$ $X$ $V^*$ $V^{**}$ $PROTI$ $X$ $y$ $T(f,x)$ $PROTI$

Argumentujeme-li podobně, lze ukázat, že lineární zobrazení jsou tenzory typu a obecněji lineární zobrazení jsou tenzory typu . $L:V^{r}\rightarrow V$ $(_{r}^{1})$ $L:V^{r}\rightarrow V^{s}$ $(_{r}^{s})$

Tenzor jako prvek tenzorového součinu vektorových prostorů

Obecná definice

Tenzor pořadí nad a- dimenzionálním vektorovým prostorem je prvkem tenzorového součinu prostorů a konjugovaných prostorů (tj. prostorů lineárních funkcionálů ( covektorů ) na ) $(s,r)$ $n$ $PROTI$ $s$ $PROTI$ $r$ $V^*$ $PROTI$

\tau \in \underbrace {V\otimes \ldots \otimes V} _{s}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \ldots \otimes V^{*}} _{r}= \left(\bigotimes _{i=1}^{s}V\right)\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{r}V^{*}\right)=(\otimes ^{ s}V)\otimes (\otimes ^{r}V^{*})=\otimes _{r}^{s}V=T_{r}^{s}(V).

Vysvětlení k součinu tenzoru

Tato definice je považována za moderní, ale vyžaduje předběžné vysvětlení obtížného konceptu tenzorového součinu vektorových prostorů. Tenzorový součin vektorových prostorů je vektorový prostor , který je s těmito vektorovými prostory spojen prostřednictvím multilineárního zobrazení , to znamená, že každý prvek kartézského (přímého) součinu vektorových prostorů je spojen s prvkem prostoru a každá polylineární forma na nich. vektorové prostory odpovídají lineární formě v prostoru . $W$ $W$ $W$

Tenzorový součin vektorů je snadněji definovatelný v souřadnicové reprezentaci: je to vektor, jehož souřadnice jsou všechny možné součiny souřadnic "násobených" vektorů. Pokud jsou například dva vektory x a y rozměrového prostoru „vynásobeny“ , jejich tenzorový součin je rozměrový vektor , jehož souřadnice se rovnají číslům , kde indexy procházejí všemi možnými hodnotami od 1 do (je vhodné zapsat tyto souřadnice jako čtvercovou matici ). Ve vektorové formě bude získání tohoto součinu matice-tenzoru zapsáno jako nebo v závislosti na pořadí násobení (nezaměňovat s nebo - v těchto případech se získá pouze jedno číslo). Tenzorový součin je nekomutativní, to znamená, že pořadí vynásobených vektorů ovlivňuje výsledek (množina čísel je stejná, ale jako uspořádané sady čísel se liší). Tenzorové součiny vektorů jsou ve skutečnosti nějaké tenzory (vynásobené vektory nezávisí na bázi, a proto je tenzorový součin definován nezávisle na ní, zatímco jakákoliv změna báze mění souřadnicovou reprezentaci vynásobených vektorů a jejich součinů). $PROTI$ $n$ $z$ $n^{2}$ ${\displaystyle x^{i}y^{j))$ $i,j$ $n$ $n\krát n$ $xy^{T}$ $yx^{T}$ $x^{T}y$ $y^{T}x$

Souřadnicová reprezentace tenzoru

Zvolíme základ v prostoru , a podle toho duální základ v duálním prostoru (to znamená , kde je symbol Kronecker ). $PROTI$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}\))$ ${\displaystyle \{\mathbf {f} ^{1},\mathbf {f} ^{2},\ldots ,\mathbf {f} ^{n}\))$ $V^*$ $(\mathbf{e}_a \cdot \mathbf{f}^b) = \delta_a^b$ $\delta_a^b$

V prostoru tenzorů pak přirozeně vzniká základ $\mathrm {T} _{r}^{s}(V)=\otimes _{r}^{s}V$

\{\mathbf {e} _{i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\ mathbf {e} _{i_{s}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\ otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{r}}\},\quad 1\leqslant i_{a},j_{b}\leqslant n

Libovolný tenzor lze zapsat jako lineární kombinaci základních tenzorových produktů: $\tau \in \mathrm {T} _{r}^{s}(V)$

\tau =\sum _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}\součet _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}} {\tau _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}}\mathbf {e} _ {i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{s}} \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \, \mathbf {f} ^{j_{r}}.

Pomocí Einsteinovy konvence lze toto rozšíření zapsat jako

\tau ={\tau _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}} \mathbf {e} _{i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {e} _ {i_{s}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{r}}.

Čísla se nazývají komponenty tenzoru . Spodní indexy složek tenzoru se nazývají kovariantní a horní indexy se nazývají kontravariantní. Například expanze nějakého dvojitě kovariantního tenzoru by byla: $\tau _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}$ $\tau$ $h$

h = \sum_{j,k} h_{jk} \mathbf{f}^j \otimes \mathbf{f}^k

Tenzorové pole

Pro takzvané hladké variety , které nejsou v obecných vektorových prostorech, může být dán tenzor na takzvaný tečný prostor k bodu variety, protože tečný prostor je vektorový prostor. V souladu s tím může být tenzor považován za daný v bodě rozdělovače. V souladu s tím je hladká funkce (tensor-valued), která přiřazuje tenzor každému bodu manifoldu, tenzorové pole . $M$ $T_{p}M$ $p$

Klasickým příkladem tenzorového pole, obvykle nazývaného jednoduše tenzor, je metrický tenzor v Riemannových varietách (prostorech) a používá se také v obecné teorii relativity.

Příklady a aplikace tenzorů

Příklady tenzorů seskupených podle valence

Kontravariantní hodnost (počet horních indexů)

kovariantní hodnost (počet indexů)	0	jeden	2	3	s
0	Skalární , délka vektoru , rozteč (teorie relativity) , skalární zakřivení	Vektor (algebra) , 4-vektory v SRT, např. vektor 4-energie-hybnost (4-hybnost)	Tenzor energie-hybnosti v obecné teorii relativity, bivektor, inverzní metrický tenzor	Spinový tenzor v kvantové teorii pole	Polivector
jeden	Covektor , lineární tvar , gradient skalární funkce	Lineární operátor , Kroneckerova delta $L:V\rightarrow V$
2	Bilineární forma , Bodový součin , Metrický tenzor , Ricciho tenzor , Torzní tenzor , Tenzor elektromagnetického pole , Tenzor napětí , Tenzor deformace , Quadrupólový moment	Lineární zobrazení $L:V^{2}\rightarrow V$	Tenzor pružnosti (tuhosti).
3	Levi-Civita Tensor	Riemannův tenzor křivosti
r	Tvar křivky , objemový tvar	Lineární zobrazení $L:V^{r}\rightarrow V$			Lineární zobrazení $L:V^{r}\rightarrow V^{s}$

Příklady tenzorů v různých oblastech matematiky a fyziky

Tenzory jsou široce používány v různých odvětvích matematiky a fyziky. Mnoho rovnic ve fyzice a matematice se při použití tenzorové notace stává kratší a pohodlnější. Použití tenzorů umožňuje vidět různé symetrie fyzikálních veličin, rovnic a modelů a také je zapisovat v obecné kovariantní formě (nezávisle na konkrétní vztažné soustavě).

V matematice jsou tenzory předmětem studia v počtu tenzorů , který zahrnuje algebru tenzoru a analýzu tenzoru . V diferenciální topologii a geometrii , která studuje hladké (včetně Riemannových) variet, jsou uvažovány různé tenzory: tečný vektor , bilineární forma , metrický tenzor , gradient skalární funkce, spojení nebo kovariantní derivace , torzní tenzor , Riemannův tenzor křivosti a jeho konvoluce - Ricciho tenzor a skalární zakřivení atd.

Ve fyzice se termín tenzor obvykle vztahuje pouze na tenzory nad běžným fyzickým 3-rozměrným prostorem nebo 4-rozměrným prostoročasem, nebo přinejmenším pro nejjednodušší a nejpřímější zobecnění těchto prostorů (i když principiální možnost jeho aplikace je v obecnějších případech zůstává ). Například lineární operátory kvantové mechaniky lze interpretovat jako tenzory nad některými abstraktními prostory (stavovými prostory), ale tradičně se taková aplikace termínu tenzor prakticky nepoužívá a obecně se velmi zřídka používá k popisu lineárních operátorů nad nekonečně dimenzionální prostory. Tenzory ve fyzice jsou široce používány v teoriích, které mají geometrickou povahu (jako je obecná teorie relativity ) nebo umožňují úplnou nebo významnou geometrizaci (k nim lze do značné míry přiřadit prakticky všechny moderní základní teorie - elektrodynamika , relativistická mechanika atd.). .), a také v teorii anizotropních médií (která mohou být zpočátku anizotropní, jako krystaly s nízkou symetrií, nebo v důsledku jejich pohybu nebo napětí, jako proudící kapalina nebo plyn nebo jako deformované pevné těleso). Kromě toho jsou tenzory široce používány v mechanice tuhých těles . Většina tenzorů ve fyzice (bez ohledu na skaláry a vektory) je druhé řady (se dvěma indexy). Tenzory s velkou valenci (např. Riemannův tenzor v obecné relativitě) se vyskytují zpravidla pouze v teoriích, které jsou považovány za poměrně složité, a i tehdy se často objevují především ve formě svých konvolucí nižší valence. Většina tenzorů ve fyzice je symetrická nebo antisymetrická.

Níže je uvedena tabulka použití tenzorů ve fyzice podle směru.

Vědecká sekce	Tenzory a jejich aplikace
Speciální teorie relativity (SRT)	4-vektory , včetně 4-vektorových souřadnic ve 4-rozměrném Minkowského prostoročasu, metrický tenzor , interval (teorie relativity) ("délka" v tomto prostoru); 4-tenzory se používají k označení jakéhokoli tenzoru ve čtyřrozměrném časoprostoru, ve kterém rotace snímků zahrnují jak běžné rotace trojrozměrného prostoru, tak přechod mezi referenčními snímky, které se vůči sobě pohybují různými rychlostmi. Je to tenzor nad prostorem 4 vektorů , tenzor, jehož index nabývá čtyř hodnot: jedné „časové“ a tří „prostorové“. Příkladem je 4-hybnost ( vektor 4-energie-hybnost );
Obecná teorie relativity (GR)	metrický tenzor nad pseudo-Riemannovou 4-rozměrnou varietou, což je v obecné relativitě vývoj konceptu newtonského gravitačního potenciálu a z něj vyplývajících konvolucí Riemannova tenzoru křivosti - Ricciho tenzoru a skalární křivosti (konvoluce Ricciho tenzor), spojený ve stejné teorii s energií gravitačního pole a přímo zahrnutý v hlavní rovnici teorie (na levé straně Einsteinovy rovnice společně tvoří tzv. Einsteinův tenzor ), energetická hybnost tenzor materiálových polí zahrnutých na pravé straně Einsteinovy rovnice
Klasická elektrodynamika	Tenzor elektromagnetického pole nad Minkowského prostorem, obsahující síly elektrického a magnetického pole a je hlavním objektem klasické elektrodynamiky ve 4-rozměrném zápisu. Zejména Maxwellovy rovnice jsou psány pomocí ní jako jediné 4rozměrné rovnice.
Teorie pružnosti a mechanika kontinua	Tenzory druhé řady nad 3-rozměrným fyzikálním prostorem Tenzor deformace a tenzor napětí jsou vzájemně propojeny přes tenzor pružnosti 4. řady. Uplatňují se také moduly pružnosti .
kvantová teorie pole	V relativistické teorii pole vznikají tenzor energie-hybnosti a spin-tensor , které v QFT mají podobu lineárních operátorů nad stavovým vektorem.
Kinematika tuhého tělesa	Nejdůležitější roli hraje tenzor setrvačnosti , který spojuje úhlovou rychlost s momentem hybnosti a kinetickou energií rotace. Tento tenzor se liší od většiny ostatních tenzorů ve fyzice, což jsou obecně tenzorová pole, v tom, že jeden tenzor charakterizuje jedno absolutně tuhé těleso a zcela určuje spolu s hmotností jeho setrvačnost.
Teorie pole	Kvadrupolový moment a obecně tenzory zahrnuté do vícepólové expanze : pouze jeden tenzor zcela reprezentuje moment rozložení nábojů odpovídajícího řádu v daném čase.
další sekce	Mnoho veličin, které jsou skalárními charakteristikami látky v případě izotropie druhé jmenované, jsou v případě anizotropní látky tenzory. Konkrétně se to týká podstatných koeficientů spojujících vektorové veličiny nebo stojících před součinem (zejména čtverci) vektorů. Příklady jsou elektrická vodivost (také její inverzní rezistivita ), tepelná vodivost , dielektrická susceptibilita a permitivita , rychlost zvuku (v závislosti na směru) atd. Ve fyzice je často užitečný Levi-Civita pseudo tenzor , který je zahrnut např. v souřadnicovém zápisu vektorových a smíšených součinů vektorů. Složky tohoto tenzoru jsou vždy zapsány téměř stejným způsobem (až do skalárního faktoru v závislosti na metrice) a ve správné ortonormální bázi jsou vždy přesně stejné (každá se rovná 0, +1 nebo −1) .

Symetrické a antisymetrické tenzory

V různých druzích aplikací často vznikají tenzory s určitou vlastností symetrie .

Tenzor se nazývá symetrický vzhledem ke dvěma ko-(kontra-)variantním indexům, pokud se nemění od permutace těchto indexů:

{T_{{\underline {j_{1},j_{2}}},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}} }={T_{{\podtržítko {j_{2},j_{1}}},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}} ,\quad \forall j_{1},j_{2}=1..n

nebo

{T_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{{\underline {i_{1},i_{2}}},\ldots ,i_{s}} }={T_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{{\podtržítko {i_{2},i_{1}}},\ldots ,i_{s}}} ,\quad \forall i_{1},i_{2}=1..n.

Když považujeme tenzor za multilineární funkci, znamená to, že hodnota funkce se nemění, když jsou tyto dva argumenty zaměněny.

Šikmá symetrie ( šikmá symetrie ) nebo antisymetrická vzhledem ke dvěma ko-(kontra-)variantním indexům je tenzor, který mění znaménko, když jsou tyto indexy zaměněny:

T_{{\underline {j_{1},j_{2}}},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}}= -T_{{\podtržítko {j_{2},j_{1}}},\ldots ,j_{r}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{s}},\quad \forall j_{1},j_{2}=1..n

nebo

T_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^({\podtržítko {i_{1},i_{2}}},\ldots ,i_{s}}= -T_{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{r}}^{{\podtržítko {i_{2},i_{1}}},\ldots ,i_{s}},\quad \forall i_{1},i_{2}=1..n.

Uvažujeme-li tenzor jako multilineární funkci, znamená to, že hodnota funkce se při záměně těchto dvou argumentů změní znaménko.

Tyto definice přirozeně zobecňují na případ více než dvou indexů. Tenzor je symetrický vzhledem k množině indexů, pokud se tenzor nemění pro žádnou permutaci indexů z této množiny. Tenzor je antisymetrický vzhledem k množině indexů, pokud změní znaménko při liché permutaci (získané lichým počtem permutací dvou indexů) a nemění znaménko při sudých permutacích nad touto sadou indexů.

Symetrie nebo antisymetrie nemusí zahrnovat pouze sousední indexy, může zahrnovat libovolné indexy, avšak s přihlédnutím k následujícímu: symetrie nebo antisymetrie se může vztahovat pouze na indexy stejného druhu: ko- nebo kontravariantní. Symetrie, které směšují ko- a kontravariantní tenzorové indexy, zpravidla nedávají příliš smysl, protože i když jsou pozorovány ve složkách, jsou zničeny při přechodu na jinou referenční bázi (to znamená, že nejsou invariantní). V přítomnosti metrického tenzoru však přítomnost operací zvyšování nebo snižování indexu tuto nepříjemnost eliminuje a omezení tohoto je v podstatě odstraněno, když je tenzor reprezentován vhodným způsobem (například Riemannův tenzor křivosti je antisymetrický v první dva a poslední dva indexy). $R_{mjkl}=g_{im}R^i_{jk\ell}$

Existují také složitější symetrie, jako je první Bianchiho identita pro tenzor zakřivení.

Tenzorové operace

Standardní lineární operace

Tenzory stejné valence jsou prvky nějakého lineárního prostoru a umožňují operace sčítání a násobení skalárem , podobně jako operace na libovolném lineárním prostoru. Při násobení skalárem se jím násobí každá složka tenzoru (podobně jako při násobení vektoru skalárem). Při sčítání tenzorů se složky těchto tenzorů sčítají (také podobně jako vektory).

Tenzorový produkt

Operace součinu tenzoru je definována mezi tenzory libovolné valence .

V souřadnicové reprezentaci jsou složky tenzorového součinu v podstatě všechny možné součiny odpovídajících složek násobených tenzorů, například . $P^{ij}_{\ \ kl}\ = A^{ij} B_{kl}$

Při uvažování tenzorů jako multilineárních funkcí je tenzorový součin multilineární funkcí rovnající se součinu multiplikátor-multilineárních funkcí. Pokud tedy jeden faktor obsahuje argumenty, druhý - , pak je jejich součin funkcí argumentů: $(s,r)$ $(s',r')$ $(s+s',r+r')$

$\varphi _{r+r'}^{s+s'}=\sigma _{r}^{s}\otimes \tau _{r'}^{s'}=\varphi (f_{ 1},..f_{s+s'},x^{1},..,x^{r+r'})=\sigma (f_{1},..,f_{s},x^ {1},..,x^{r})\tau (f_{s+1},..,f_{s+s'},x^{r+1},..,x^{r+ r '})$

V souladu s tím je součin tenzoru pořadí a tenzoru pořadí celkovým tenzorem pořadí . $(s,r)$ $(s',r')$ $(s+s',r+r')$

To je ještě zjevnější, pokud použijeme definici tenzoru jako prvku tenzorového součinu, jmenovitě jestli a pak jejich součin $\sigma \in T_{r}^{s}=\otimes _{r}^{s}V$ $\tau \in T_{r'}^{s'}=\otimes _{r'}^{s'}V$

\sigma \otimes \tau \in T_{r+r'}^{s+s'}=T_{r}^{s}\otimes T_{r'}^{s'}=(\otimes _{r}^{s}V)\otimes (\otimes _{r'}^{s'}V)=\otimes _{r+r'}^{s+s'}V

Operace tensorového součinu tedy dělá z množiny všech tenzorových prostorů na daném vektorovém prostoru takzvanou bigrádovou algebru . $\otimes V$

Konvoluce

Pravidlo sčítání pomocí tzv. tichého indexu implikované v Einsteinově zápisu (kdy jsou některé horní a dolní indexy v zápisu označeny stejným písmenem) ve skutečnosti definuje specifickou tenzorovou operaci zvanou konvoluce.

Konvoluce tenzoru

Konvoluce tenzoru - operace, která snižuje valenci tenzoru, se vypočítá tak, že se sečte dvojice indexů (horní a dolní, pokud se liší) a proběhnou se všechny jejich hodnoty, které zůstávají stejné, například:

{\displaystyle A_{jkl}^{ji}=\sum _{j}A_{jkl}^{ji}=A_{kl}^{i))

Koncový tenzor se obvykle označuje stejným písmenem, přestože se již jedná o tenzor jiné hodnosti (počet indexů), který je o 2 menší než hodnost původního tenzoru.

V případě tenzoru typu (1,1) vede konvoluce k jedinému číslu, nazývanému stopa tenzoru (analogicky ke stopě stopy matice ). Stopa je invariantní (základně nezávislá) veličina, skalární (někdy nazývaná tenzorový invariant ).

Konvoluce několika tenzorů

Konvoluční operace se také aplikuje na dva nebo více tenzorů (včetně mezi tenzorem a vektorem), například:

B_{m}^{i}A_{jk}^{m}=\sum _{m}B_{m}^{i}A_{jk}^{m}=C_{jk}^{i }

Tato operace může být redukována na postupné násobení tenzorů těchto tenzorů: a poté konvoluci výsledného tenzoru . Je zřejmé, že tato operace je lineární ve všech vstupních kanálech. Konvoluce s tenzorem tedy implementuje lineární nebo multilineární mapování tenzorových prostorů na tenzorový prostor (v obecném případě na jiný), zejména vektory na vektory a vektory na skaláry. ${\displaystyle B_{l}^{i}A_{jk}^{m}=C_{ljk}^{im))$ ${\displaystyle C_{mjk}^{im}=C_{jk}^{i))$

Konvoluce vektoru s tenzorem druhé úrovně je působením lineárního operátora definovaného tímto tenzorem na vektor:

{\displaystyle A_{j}^{i}v^{j}=\sum _{j}A_{j}^{i}v^{j}=u^{i))

(Jedna) konvoluce dvou tenzorů valence dva implementuje složení lineárních operátorů definovaných těmito tenzory:

B_{k}^{i}A_{j}^{k}=\sum _{k}B_{k}^{i}A_{j}^{k}=C_{j}^{i }

Konvolucí vektoru a covektoru získáme skalár - druhou mocninu délky vektoru: ${\displaystyle x^{i}x_{i))$ $d^{2}$

Snížení a zvýšení indexu

V prostorech s metrickým tenzorem (euklidovské a pseudoeuklidovské prostory, Riemannovy a pseudoriemannovské variety) jsou operace snižování a zvyšování indexů definovány konvolucí s metrickým tenzorem (takové operace mění povahu valence tenzoru, ponechání celkové hodnosti tenzoru beze změny):

${\displaystyle x_{j}=g_{ij}x^{i))$ - snížení indexu (přechod z vektoru na covektor)

${\displaystyle x^{i}=g^{ij}x_{i))$ - zvedání indexu (přechod z covektoru do vektoru) pomocí kontravariančního metrického tenzoru (jeho matice je inverzní k obvyklému kovariančnímu metrickému tenzoru)

$R_{mjkl}=g_{im}R^i_{jk\ell}$ — Riemannův tenzor křivosti typu (1,3) je transformován na plně kovariantní tenzor typu (0,4)

Operace snižování a zvyšování indexů umožňují určit invarianty plně kovariančních nebo plně kontravariantních tenzorů. Například dvojitě kovariantní Ricciho tenzor může být redukován na smíšenou formu a výsledný tenzor může být konvolvován. Tyto dvě operace lze jednoduše zredukovat na konvoluci Ricciho tenzoru s metrickým tenzorem přes pár indexů najednou: . Výsledná hodnota se nazývá skalární zakřivení. Nezáleží na volbě základny v prostoru. ${\displaystyle R_{j}^{k}=g^{ki}R_{ij))$ ${\displaystyle R=g^{ij}R_{ij))$

Symetrizace a antisymetrizace

Symetrizace a antisymetrizace je konstrukce tenzoru stejného typu s určitým druhem symetrie. Například symetrizace tenzoru je symetrický tenzora antisymetrizace je antisymetrický tenzor. $T_{ij}$ $\scriptstyle T_{(ij)} = {1\přes 2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right)$ $\scriptstyle T_{[ij]} = {1\přes 2}\left(T_{ij}-T_{ji}\right)$

V obecném případě má symetrizace vzhledem k indexům tvar $n$

T_{(i_1\ldots i_n)} = {1\over n!}\sum_{\sigma} T_{\sigma(i_1)\ldots \sigma(i_n)},

a antisymetrizace (střídání):

T_{[i_1\ldots i_n]} = {1\over n!}\sum_{\sigma} \mathrm{sign}\,(\sigma) T_{\sigma(i_1)\ldots \sigma(i_n)}

Zde jsou všechny možné permutace indexů a je parita permutace . $\sigma$ $i_1,\ldots,i_n,$ $\mathrm{sign}\,(\sigma)$ $\sigma.$

Samozřejmě není nutné symetrizovat tenzor vzhledem ke všem indexům, to je zde použito pouze pro zjednodušení zápisu.

Pokud je symetrický, pak symetrizace vzhledem k těmto indexům souhlasí s a antisymetrizace dává nulový tenzor. Podobně v případě antisymetrie vzhledem k některým indexům. $T_{i_1\ldots i_n}$ $i_1\ldots i_n,$ $T,$

If then Here je symetrický , a je vnějším součinem vektorových prostorů. $T_{ij} \in V\otimes V,$ $T_{(ij)} \in V \vee V,$ $T_{[ij]} \in V \wedge V.$ $\vee$ $\klín$

Související pojmy a zobecnění

Tenzory v nekonečně-rozměrných prostorech

Pojem tenzor lze formálně zobecnit na případ nekonečně rozměrných lineárních prostorů. Zobecnění tenzorů do topologických prostorů se provádí zavedením topologického tenzorového produktu.

Pro správnou definici tenzorů na takových prostorech musí být splněna vlastnost reflexivity tohoto prostoru, to znamená, že musí být kanonicky izomorfní ke svému druhému duálnímu prostoru (tuto vlastnost mají všechny konečněrozměrné prostory). Pak má například definice v podobě multilineárních funkcí správný význam a vede k tomu, že vektory a lineární operátory na takových prostorech jsou tenzory.

Konkrétně jsou tenzory definovány na Hilbertových prostorech a lineární zobrazení na Hilbertových prostorech jsou tenzory. V aplikacích (ve fyzice) se však pro takové objekty termín "tensor" obvykle nepoužívá (například operátory v kvantové fyzice reprezentující různé fyzikální veličiny jsou v Hilbertově prostoru v podstatě tenzory, ale obvykle se tak nenazývají ).

Deviátor a kuličková část

Jakýkoli tenzor druhé řady může být reprezentován jako součet deviátoru a kulové části : $\sigma_{ij}$ $s_{ij}$

\sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+s_{ij},\quad p=-{\frac {\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i }}{N}}.

Zde jsou vlastní hodnoty tenzoru. Vlastní hodnoty deviátoru souvisejí s vlastními čísly tenzoru: . Koncept deviátoru je široce používán v mechanice kontinua. [2] $\sigma_i$ $s_{i}$ $s_{i}=\sigma _{i}+p,\ i=1,\tečky ,N$

Viz také

Tenzorové pole
Metrický tenzor
Tenzor křivosti
Tensor Computing (software)

Poznámky

↑ Woldemar Voigt, Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung [Základní fyzikální vlastnosti krystalů v elementární prezentaci] (Lipsko, Německo: Veit & Co., 1898), s. 20. Od str. 20: "Wir wollen uns deshalb nur darauf stützen, dass Zustände der geschilderten Art bei Spannungen und Dehnungen nicht starrer Körper auftreten, und sie deshalb tensorielle, die für sie anabarischensissenzor." (My proto] chceme [jich. tenzory".)
↑ Klimov D. M. , Petrov A. G., Georgievskiy D. V. Viskoplastické toky: dynamický chaos, stabilita, míchání. - M., Nauka, 2005. - str. 21 - ISBN 5-02-032945-2 .

Literatura

Akivis M. A., Goldberg V. V. Tensor kalkul. — M .: Nauka, 1969;
Kurz algebry Vinberg E. B. 3. vyd. - M. : MTSNMO, 2017. - 592 s. - ISBN 978-5-4439-0209-8 .
Dimitrienko Yu. I. Tenzorový počet: Proc. příspěvek. - M . : Vyšší škola, 2001. - 576 s. — ISBN 5-06-004155-7 .
Korenev GV Tenzorový počet: Proc. příspěvek. - M . : Nakladatelství MIPT, 2000. - 240 s. — ISBN 5-89155-047-4 .
Kostrikin A.I. Úvod do algebry. 2. vyd. - M. : MTsNMO, 2012. - Část II: Lineární algebra. — 368 s. — ISBN 978-5-94057-888-8 .
Kochin N. E. Vektorový počet a počátky tenzorového počtu (9. vydání). — M .: Nauka, 1965.
McConnel A. J. Úvod do tenzorové analýzy s aplikacemi v geometrii, mechanice a fyzice. — M .: Fizmatlit , 1963.
Nomizu K. Lieovy grupy a diferenciální geometrie. — M. : IL, 1960.
Pobedrya B.E. Přednášky o tenzorové analýze: Proc. příspěvek. (3. vyd.). - M .: Nakladatelství Moskevské státní univerzity, 1986.
Rashevsky P. K. Riemann geometrie a tenzorová analýza (3. vydání). - M .: Nauka, 1967.
Sharipov R. A. Rychlý úvod do tenzorové analýzy. - BashGU.

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Velký Rus okolo světa
V bibliografických katalozích	NDL : 00572865