Jakobiánská matice

Jacobiho matice zobrazení v bodě popisuje hlavní lineární část libovolného zobrazení v bodě . ${\mathbf {u}}\colon \mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m}$ $x\in \mathbb{R} ^{n}$ $\mathbf {u}$ $X$

Definice

Nechť je dáno zobrazení , které má v určitém bodě všechny parciální derivace prvního řádu. Matice složená z parciálních derivací těchto funkcí v bodě se nazývá Jacobiho matice daného systému funkcí. $\mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{m}) ^{T},u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,m,$ $X$ $J$ $X$

J(x)={\begin{pmatrix}{\částečné u_{1} \přes \částečné x_{1}}(x)&{\částečné u_{1} \přes \částečné x_{2}} (x)&\ctečky &{\částečné u_{1} \přes \částečné x_{n}}(x)\\{\částečné u_{2} \přes \částečné x_{1}}(x)&{\ částečné u_{2} \přes \částečné x_{2}}(x)&\ctečky &{\částečné u_{2} \přes \částečné x_{n}}(x)\\\vtečky &\vtečky &\dtečky &\vtečky \\{\částečné u_{m} \přes \částečné x_{1}}(x)&{\částečné u_{m} \přes \částečné x_{2}}(x)&\ctečky &{\ částečné u_{m} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}

Jinými slovy, Jacobiho matice je derivát vektorové funkce vektorového argumentu.

Související definice

Jestliže , pak Jacobiho maticový determinant se nazývá Jacobiho determinant nebo jakobián systému funkcí . $m=n$ $|J|$ $u_{1},\ldots ,u_{n}$
Zobrazení se nazývá nedegenerované , pokud jeho jakobiánská matice má maximální možnou hodnost ; to znamená, ${\mathrm {rank}}\,J=\min(m,n)$

Vlastnosti

Pokud jsou všechny v sousedství průběžně rozlišitelné , pak $u_{i}$ ${\mathbf {x}}_{0}$ ${\mathbf {u}}(x)={\mathbf {u}}(x_{0})+J(x_{0})({\mathbf {x}}-{\mathbf {x}}_{ 0})+o(|{\mathbf {x}}-{\mathbf {x}}_{0}|)$
Nechť být diferencovatelná zobrazení a být jejich Jacobiho maticemi. Potom se Jacobiho matice složení zobrazení rovná součinu jejich Jacobiho matic ( funkční vlastnost ): $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},~\psi \colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^ {k}$ $J_{\varphi },J_{\psi }$ $J_{{\psi \circ \varphi }}(x)=J_{\psi }(\varphi (x))J_{\varphi }(x)$

Viz také

jakobiánský

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata