Laplaceův operátor

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. března 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Laplaceův operátor ( Laplacián , delta operátor) je diferenciální operátor působící v lineárním prostoru hladkých funkcí a označovaný symbolem . Spojuje funkci s funkcí $\ \Delta$ $F\$

\Delta F={\partial ^{2}F \over \partial x_{1}^{2))+{\partial ^{2}F \over \partial x_{2}^{2)) +\ldots +{\partial ^{2}F \over \partial x_{n}^{2))

v n -rozměrném prostoru .

Laplaceův operátor je ekvivalentní s postupným přijímáním operací gradientu a divergence : , takže hodnotu Laplaceova operátoru v bodě lze interpretovat jako hustotu zdrojů (propadů) potenciálního vektorového pole v tomto bodě. V kartézském souřadnicovém systému je Laplaceův operátor často označován následovně [1] , tedy jako skalární součin operátoru nabla a sebe sama. Laplaceův operátor je symetrický . $\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}$ $\ \operatorname{grad}F$ $\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2$

Laplaceův operátor pro vektor : $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$

$\Delta \mathbf {A} ={\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z}\mathbf { k} ={\biggl (}{\frac {\částečný ^{2}A_{x}}{\částečný x^{2}}}+{\frac {\částečný ^{2}A_{x}}{ \částečné y^{2))}+{\frac {\částečné ^{2}A_{x)){\částečné z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl ( }{\frac {\částečné ^{2}A_{y}}{\částečné x^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}A_{y}}{\částečné y^{2} ))+{\frac {\částečné ^{2}A_{y)){\částečné z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\částečné ^{2}A_{z}}{\částečné x^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}A_{z}}{\částečné y^{2}}}+{\frac { \částečné ^{2}A_{z}}{\částečné z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k}$ [2]

Laplacián vektoru je také vektor.

Další definice Laplaceova operátoru

Laplaceův operátor je přirozené zobecnění funkcí několika proměnných obvyklé druhé derivace funkce jedné proměnné. Pokud má funkce spojitou druhou derivaci v okolí bodu , pak, jak vyplývá z Taylorova vzorce $\f(x)$ $\ x_0$ $\f''(x)$

\ f(x_0+r)=f(x_0)+rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2),

v ,

r\na 0,

\f(x_0-r)=f(x_0)-rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2),

r\na 0,

druhá derivace je limita

\ f''(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \left\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{ 2}-f(x_0)\vpravo\}.

Pokud při přechodu na funkci proměnných postupujeme stejně, tedy pro daný bod uvažujme jeho sférické sférické okolí poloměru a rozdíl mezi aritmetickým průměrem $\F$ $\k$ $M_0(x_1^0;x_2^0; ... ,x_k^0)$ $\k$ $\ Q_r$ $\r$

\ \frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}Fd\sigma

funkce na hranici takového okolí s plochou hranice a hodnotou ve středu tohoto okolí , pak v případě návaznosti druhé parciální derivace funkce v okolí bodu hodnota laplacián v tomto bodě je limit $\F$ $\ S_r$ $\ \sigma(S_r)$ $\F(M_0)$ $\M_0$ $\F$ $\M_0$ $\\Delta F$

\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2k}{r^2} \left\{\frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r }F(M)d\sigma -F(M_0) \vpravo\}.

Současně s předchozí reprezentací platí pro Laplaceův operátor funkce , který má spojité druhé derivace, vzorec $\F$

\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2(k+2)}{r^2} \left\{\frac{1}{\omega(Q_r)}\ int\limits_{Q_r}F(M)d\omega -F(M_0) \right\},

kde je objem okolí

\ \omega(Q_r)

\ Q_r.

Tento vzorec vyjadřuje přímý vztah mezi Laplaciánem funkce a jejím objemovým průměrem v okolí daného bodu.

Důkaz těchto vzorců lze nalézt např. v [3] .

Výše uvedené limity ve všech případech, kde existují, mohou sloužit jako definice Laplaceova operátoru funkce. Taková definice je výhodnější než obvyklá definice Laplaciovy, která předpokládá existenci druhých derivací uvažovaných funkcí, a shoduje se s obvyklou definicí v případě kontinuity těchto derivátů. $\F.$

Výrazy pro Laplaceův operátor v různých křivočarých souřadnicových systémech

V libovolných ortogonálních křivočarých souřadnicích v trojrozměrném prostoru : $q_1,\ q_2,\ q_3$

\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =

=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\ vlevo( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\částečné f}{\částečné q_3} \vpravo)\vpravo],

kde jsou Lameovy koeficienty .

Ahoj\

Válcové souřadnice

Ve cylindrických souřadnicích mimo čáru : $\r=0$

\Delta f = {1 \přes r} {\částečný \přes \částečný r} \left( r {\částečný f \nad \částečný r} \vpravo) + {\částečný^2f \přes \částečný z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

Sférické souřadnice

Ve sférických souřadnicích mimo počátek (v trojrozměrném prostoru):

\Delta f = {1 \přes r^2} {\částečný \přes \částečný r} \left( r^2 {\částečný f \přes \částečný r} \vpravo) + {1 \přes r^2 \sin \theta} {\částečný \přes \částečný \theta} \left( \sin \theta {\částečný f \přes \částečný \theta} \vpravo) + {1 \přes r^2\sin^2 \theta} { \partial^2 f \over \partial \varphi^2}

nebo

\Delta f = {1 \přes r} {\částečný^2 \přes \částečný r^2} \left( rf \right) + {1 \přes r^2 \sin \theta} {\částečný \přes \částečný \theta} \left( \sin \theta {\částečné f \přes \částečné \theta} \vpravo) + {1 \přes r^2 \sin^2 \theta} {\částečné^2 f \přes \částečné \ varphi^2}.

Pokud v n - rozměrném prostoru: $\f=f(r)$

\Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.

Parabolické souřadnice

V parabolických souřadnicích (v trojrozměrném prostoru) mimo počátek:

\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left ( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left( \tau \frac{\ částečný f}{\částečný \tau} \vpravo)\vpravo] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\částečný^2 f}{\částečný \varphi^2}

Válcové parabolické souřadnice

V souřadnicích parabolického válce mimo počátek:

\Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2 }F}{\částečné u^{2))}+{\frac {\částečné ^{2}F}{\částečné v^{2))}\right]+{\frac {\částečné ^{2} F}{\částečné z^{2}}}.

Obecné křivočaré souřadnice a Riemannovy prostory

Nechť je lokální souřadnicový systém dán na hladké varietě a je Riemannovým metrickým tenzorem na , to znamená, že metrika má tvar $X$ $g_{ij}$ $X$

ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j

Označme prvky matice a $g^{ij}$ $(g_{ij})^{-1}$

g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}

Divergence vektorového pole daného souřadnicemi (a reprezentujícího diferenciální operátor prvního řádu ) na varietě X se vypočítá podle vzorce $F$ $F^i$ $\sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}$

\operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i )

a složky gradientu funkce f podle vzorce

(\nabla f)^{j}=\sum _{{i=1}}^{n}g^{{ij}}{\frac {\částečné f}{\částečné x^{i}}}.

Operátor Laplace- Beltrami na : $X$

\Delta f=\operatorname {div}(\nabla f)={\frac {1}({\sqrt {g))))\sum _{{i=1))^{n}{\frac {\ částečný }{\částečný x^{i))}{\Velký (}{\sqrt {g))\součet _{{k=1))^{n}g^{{ik)){\frac {\ částečné f}{\částečné x^{k))}{\Velké )}.

Hodnota je skalární, to znamená, že se při transformaci souřadnic nemění. $\Delta f$

Aplikace

Pomocí tohoto operátoru je vhodné psát Laplaceovy , Poissonovy rovnice a vlnovou rovnici . Ve fyzice je Laplaceův operátor použitelný v elektrostatice a elektrodynamice, kvantové mechanice , v mnoha rovnicích fyziky kontinua a při studiu rovnováhy membrán, filmů nebo rozhraní s povrchovým napětím (viz Laplaceův tlak ), ve stacionárních problémech difúze a vedení tepla, které se ve spojité meze redukují na obvyklé Laplaceovy nebo Poissonovy rovnice nebo na některé jejich zobecnění.

Variace

D'Alembertův operátor je zobecněním Laplaceova operátoru pro hyperbolické rovnice . Zahrnuje druhou derivaci s ohledem na čas.
Vektorový Laplaceův operátor je zobecněním Laplaceova operátoru pro případ vektorového argumentu.

Viz také

Operátor Nabla
Operátor D'Alembert
Laplaceova rovnice
harmonická funkce
Kirchhoffova matice
V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich "Matematický slovník vysokoškolského vzdělávání". Nakladatelství MPI 1984.

Poznámky

↑ Je třeba se vyhnout zápisu Laplaceova operátoru ve formě druhé mocniny operátoru nabla , protože z takového zápisu není jasné, zda je kvadraturou míněn skalární nebo vektorový součin .
↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich „Matematický slovník vyšší školy“. Nakladatelství MPI 1984. Článek "Laplaceův operátor" a "Vektorový polní rotor".
↑ Timan A. F., Trofimov V. N. Úvod do teorie harmonických funkcí. M. Science. 1968. 208s.

Odkazy

Popis MathWorld Laplacian Archived 17. června 2020 na Wayback Machine

Diferenciální počet

Hlavní

soukromé pohledy

Diferenční operátory
( v různých souřadnicích )

První objednávka	Operátor Nabla Spád Divergence Rotor Helmholtzian
druhá objednávka	Eliptický operátor Laplaceův operátor Laplaceův vektorový operátor Operátor D'Alembert Operátor Laplace-Beltrami
vyšší řády	Hypoeliptický operátor

související témata