Potenciální vektorové pole

Potenciální (nebo irotační ) vektorové pole v matematice - vektorové pole , které lze znázornit jako gradient nějaké skalární funkce souřadnic. Nezbytnou podmínkou potenciálu vektorového pole v trojrozměrném prostoru je rovnost stočení pole na nulu. Tato podmínka však není dostatečná - pokud uvažovaná oblast prostoru není jednoduše spojena , pak může být skalární potenciál vícehodnotovou funkcí.

Ve fyzice zabývající se silovými poli lze matematickou podmínku potenciálu silového pole reprezentovat jako požadavek, aby se práce rovnala nule , když se částice, na kterou pole působí, okamžitě pohybuje po uzavřeném okruhu. Tento obrys nemusí být trajektorií částice pohybující se působením pouze daných sil. Jako potenciál pole lze v tomto případě zvolit práci na okamžitém pohybu testovací částice z nějakého libovolně zvoleného výchozího bodu do daného bodu (tato práce podle definice nezávisí na dráze pohybu). Například statické elektrické pole je potenciální , stejně jako gravitační pole v Newtonově teorii gravitace.

V některých zdrojích je za potenciální pole sil považováno pouze pole s časově nezávislým potenciálem . To je způsobeno skutečností, že časově závislý potenciál sil obecně není potenciální energií tělesa pohybujícího se působením těchto sil. Protože síly nepůsobí najednou, bude práce sil na tělese záviset na jeho dráze a na rychlosti průchodu po něm. Za těchto podmínek není samotná potenciální energie definována, protože podle definice musí záviset pouze na poloze těla, ale ne na dráze. Nicméně i pro tento případ může potenciál sil existovat a může vstupovat do pohybových rovnic stejným způsobem jako potenciální energie pro případy, kdy existuje.

Dovolit být potenciální vektorové pole; vyjadřuje se jako potenciál ${\vec {v}}$ $\phi$

{\vec v}=\nabla \phi

(nebo v jiném záznamu ).

{\vec v}=\jméno operátora {grad}\phi

Pro pole sil a potenciál sil se píše stejný vzorec jako

{\vec F}({\vec r},t)=-\nabla U({\vec r},t)

tedy pro síly je potenciál . Když U nezávisí na čase, jedná se o potenciální energii a pak se znaménko "-" objeví jednoduše z definice. Jinak je znak zachován z důvodu jednotnosti. $\phi$ $-U$

Pro pole je vlastnost nezávislosti na cestě integrálu splněna : $\phi$ $P$

\int _{P}{\vec v}\cdot d{\vec r}=\phi (B)-\phi (A)

To se rovná

\oint {\vec v}\cdot d{\vec r}=0

Integrál s uzavřenou smyčkou se stane 0, protože počáteční a koncový bod jsou stejné. Naopak, předchozí vzorec lze odvodit z tohoto vzorce rozdělením uzavřené smyčky na dvě otevřené smyčky.

Nutná podmínka se zapisuje jako (nebo v jiném zápisu ). $\nabla \times {\vec v}=0$ $\operatorname {rot}{\vec v}=0$

V jazyce diferenciálních forem je potenciální pole přesná 1-forma – tedy forma, která je (vnějším) diferenciálem 0-formy (funkce). Gradient odpovídá převzetí vnějšího diferenciálu 0-formy (potenciálu), zvlnění odpovídá převzetí vnějšího diferenciálu 1-formy (pole). Nutná podmínka vyplývá ze skutečnosti, že druhý vnější diferenciál je vždy roven nule: . Integrální vzorce vyplývají ze (zobecněné) Stokesovy věty . $d^{2}=0$

Potenciální vektorové pole

Viz také