Skalární potenciál

Skalární potenciál vektorového pole (častěji jen potenciál vektorového pole) je skalární funkce taková, že ve všech bodech oblasti definice pole $\mathbf {A}$ $\phi$

{\mathbf {A}}=\operatorname {grad}\,\phi ,

kde označuje gradient . Ve fyzice se potenciálem obvykle nazývá veličina opačného znaménka (potenciál síly, potenciál elektrického pole). $\operatorname {grad}\phi$ $\phi$

Potenciální pole

Pole se nazývá potenciál , pokud má skalární potenciál. Pro potenciální pole je křivočarý integrál mezi dvěma body:

\phi ({\mathbf r})=\int \limits _{C}{\mathbf {A}} ({\mathbf {r}})\cdot \,d{\mathbf {r}}=\int \ limity _{a}^{b}{\mathbf {A}}({\mathbf {r}}(t))\cdot {\mathbf {{\dot r}}}(t)\,dt

nezávisí na integrační cestě spojující tyto body. To je ekvivalentní skutečnosti, že integrál přes jakýkoli uzavřený obrys je roven nule: $C=\left\{{\mathbf {r}}(t)|t\in [a,b]\right\}$ $C$

\oint \limits _{C}{\mathbf {A}}({\mathbf {r}})\cdot \,{\mathbf {dr}}=0

Z fyzikálního hlediska to znamená, že mechanická práce při pohybu zkušebního tělesa v poli silového potenciálu nezávisí na trajektorii pohybu, ale pouze na poloze počátečního a konečného bodu trajektorie.

Spojité vektorové pole v jednoduše spojené oblasti trojrozměrného prostoru je potenciálně tehdy a jen tehdy, je-li irotační :

{\mathbf {A}}=\operatorname {grad}\,\phi \Leftrightarrow \operatorname {rot}\,{\mathbf {A}}=0

Zobecněním této věty na případ libovolného konečněrozměrného prostoru je Poincarého lemma . Pro takové prostory existuje izomorfismus mezi vektorovými poli a 1-formami , přičemž otázka existence potenciálu je redukována na otázku invertování vnější derivace . Poincarého lemma říká, že jakákoli uzavřená forma v jednoduše spojené doméně konečně-dimenzionálního prostoru je přesná . $\mathbf {A}$ $\omega _{{{\mathbf {A}}}}$

Všimněte si, že v obecném případě nejednoduše propojeného prostoru není podmínka uzavřenosti dostatečná. Je snadné zkontrolovat, zda je pole v rovině

{\mathbf {A}}=\left({\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2 }}}\že jo)

je irotační v jakékoli jednoduše spojené oblasti , která neobsahuje bod $(0,0)$

\int \limits _{C}{\mathbf {A}}({\mathbf {r}})\cdot \,{\mathbf {dr}}=2\pi

pro jakýkoli obrys , jednou kolem počátku proti směru hodinových ručiček. $C$

Newtonův potenciál

Z libovolného vektorového pole je možné extrahovat jeho potenciální složku. Potenciál, který tomu odpovídá, lze zapsat explicitně bez rozšiřování samotného pole. Je určen integrálem zvaným Newtonův potenciál : $\mathbb {R} ^{3}$

\phi ({\mathbf {r}}_{0})={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{({\mathbb {R}}^{3}}}{\ frac {\operatorname {div}\,{\mathbf {A}}}{\left|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{0}\right|}}dV

V tomto případě musí divergence pole klesat v nekonečnu rychleji než . V případě irotačního pole tento integrál udává skalární potenciál pole. ${\frac {1}{r^{2}}}$

Divergenci lze identifikovat podle hustoty náboje . Zejména do terénu $\operatorname {div}\,{\mathbf {A}}$ $\rho ({\mathbf {r}})$

{\mathbf {A}}=-{\frac {{\mathbf {r}}}{r^{3}}}

získáme obvyklý vzorec pro newtonovský gravitační potenciál hmotného bodu umístěného v počátku:

\phi ({\mathbf {r}}_{0})=\int \limits _{({\mathbb {R}}^{3}}}{\frac {\delta ({\mathbf {r}} )}{\left|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{0}\right|}}dV={\frac {1}{r}}

kde je trojrozměrná Diracova delta funkce . $\delta ({\mathbf {r}})$

Skalární potenciál

Potenciální pole

Newtonův potenciál

Viz také