Delta funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. února 2020; kontroly vyžadují 12 úprav .

Delta funkce (nebo delta míra, δ - funkce, δ -Diracova funkce, Diracova delta, jednotková impulsní funkce ) je zobecněná funkce , která umožňuje zaznamenat bodový děj a také prostorovou hustotu fyzikálních veličin (hmotnost, náboj, intenzita zdroje tepla, síla atd. ), soustředěná nebo působící v jednom bodě.

Například hustota jednotkové bodové hmotnosti m umístěná v bodě a v jednorozměrném euklidovském prostoru je zapsána pomocí -funkce ve tvaru Delta funkce je také použitelná pro popis rozložení náboje, hmotnosti atd. na površích nebo liniích . $\R^1,$ $\delta$ $m\delta(xa).$

Navzdory běžné formě zápisu - funkce není funkcí reálné proměnné, ale je definována jako zobecněná funkce : spojitý lineární funkcionál na prostoru diferencovatelných funkcí. Můžete zavést derivaci pro δ-funkci, která bude také zobecněnou funkcí a integrálem definovaným jako Heavisideova funkce . Je snadné najít posloupnosti běžných klasických funkcí, které slabě konvergují k -funkci. $\delta (x),x\in \mathbb {R} ,$ $\delta$ $\delta$

Je možné rozlišovat mezi jednorozměrnými a vícerozměrnými delta funkcemi, ty však lze reprezentovat jako součin jednorozměrných funkcí v množství rovném rozměru prostoru, na kterém je vícerozměrná funkce definována.

Představil anglický fyzik Paul Dirac .

Definice

Existují různé názory na koncept funkce delta. Výsledné objekty jsou, přísně vzato, různé, ale mají řadu společných charakteristických vlastností. Všechny níže uvedené konstrukce přirozeně zobecňují na případy prostorů vyšší dimenze . $(\R^n,\n>1)$

Jednoduchá definice

Delta funkci (Diracovu funkci) jedné reálné proměnné lze definovat jako funkci , která splňuje následující podmínky: $\delta(x)$

$\delta(x)=\left\{\begin{matice} +\infty, & x=0, \\ 0, & x\ne 0; \\ \end{matice}\vpravo.$
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\,dx=1.$

To znamená, že tato funkce není rovna nule pouze v bodě , kde se obrací do nekonečna, takže její integrál nad jakýmkoli okolím je roven 1. V tomto smyslu je koncept delta funkce podobný fyzikálním konceptům bodu. hmotnost nebo bodový náboj . Pro pochopení integrálu je užitečné představit si určitý obrazec v rovině s jednotkovou plochou , například trojúhelník . Pokud snížíme základnu tohoto trojúhelníku a zvětšíme výšku tak, aby plocha zůstala nezměněna, pak v omezujícím případě dostaneme trojúhelník s malou základnou a velmi velkou výškou. Za předpokladu je jeho obsah roven jednotce, což je znázorněno integrálem. Místo trojúhelníku můžete použít jakoukoli figuru bez ztráty obecnosti. Podobné podmínky platí pro delta funkce definované na $x=0$ $x=0$ $\mathbb{R}^n.$

Tyto rovnosti se obvykle nepovažují za definici delta funkce, ale v mnoha učebnicích fyziky je takto definována a pro přesnou definici delta funkce to stačí. Všimněte si, že tato definice funkce delta implikuje následující rovnost

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(xy)f(x)\,dx=f(y)

(vlastnost filtrování) pro libovolnou funkci f . Díky vlastnosti v se hodnota tohoto integrálu nemění, pokud je funkce nahrazena funkcí , která je v bodě rovna a v jiných bodech má libovolné hodnoty. Například vezmeme , pak jej vyjmeme ze znaménka integrálu a pomocí druhé podmínky v definici delta funkce získáme požadovanou rovnost. $\delta(xy)=0$ $x\ney$ $f(x)$ $\tilde{f}(x)$ $f(x)$ $x=y$ $\tilde{f}(x)=f(y)=\jméno operátora {const}$ $f(y)$

Derivace funkce delta se také téměř všude rovnají 0 a mění se v . $\pm\infty$ $x=0$

Klasická definice

Delta funkce je definována jako lineární spojitá funkcionál na nějakém funkčním prostoru ( prostoru testovacích funkcí ). V závislosti na cíli a požadovaných vlastnostech to může být prostor funkcí s kompaktní podporou , prostor funkcí rychle klesající v nekonečnu , hladké funkce na varietě , analytické funkce atd. Aby bylo možné definovat derivace delta funkce s dobrou vlastnosti, ve všech případech jsou hlavní funkce brány jako nekonečně diferencovatelné, prostor hlavních funkcí musí být také úplný metrický prostor . Obecný přístup ke generickým funkcím naleznete v souvisejícím článku . Takové zobecněné funkce se také nazývají distribuce .

Zvážíme nejjednodušší možnost. Za prostor základních funkcí považujeme prostor všech nekonečně diferencovatelných funkcí na intervalu. Posloupnost konverguje k tomu , pokud na jakékoli kompaktní množině funkce konvergují jednotně společně se všemi jejich derivacemi: ${\mathcal {E}}$ $\varphi_n\in\mathcal{E}$ $\varphi\in\mathcal{E}$ $K\in\R$ $\varphi_n$ $\varphi$

\lim_{n\to\infty}\varphi_n=\varphi\iff\sup_j\sup_{x\in K}\left|\varphi^{(j)}_n(x)-\varphi^{(j)} (x)\vpravo|\xšipka vpravo{n\k\infty}\,0.

Jedná se o lokálně konvexní metrizovatelný prostor. Delta funkci definujeme jako funkcionál takový, že $\delta\in\mathcal{E}^\prime$

\forall\varphi\in\mathcal{E}:\;\lang\delta;\;\varphi\rang=\varphi(0).

Kontinuita znamená, že pokud , pak . Zde je hodnota funkcionálu na funkci . $\varphi_n\to\varphi$ $\lang\delta;\;\varphi_n\rang\to\lang\delta;\;\varphi\rang$ $\lang\delta;\;\varphi\rang$ $\varphi$

Colombo delta funkce

Integrálnímu výrazu používanému pro práci s funkcí delta lze v rámci teorie algebry zobecněných Colombových funkcí ( anglicky Colombeau algebra ) [1] přiřadit význam blízký intuitivnímu .

Nechť je množina nekonečně diferencovatelných funkcí s kompaktní podporou, to znamená, že se nerovná nule pouze na omezené množině. Zvažte sadu funkcí $\mathcal{D}$ $f\dvojtečka\R\do\R$

\mathcal{A}=\left\{\varphi\in\mathcal{D}\,\bigg|\int_\R\varphi(x)\,dx=1,\;\int_\R x\varphi(x )\,dx=0\right\}.

Zobecněná funkce je třída ekvivalence funkcí, které jsou nekonečně diferencovatelné vzhledem k x pro každou a splňují určitou podmínku moderování (za předpokladu , že všechny její derivace s ohledem na x rostou poněkud pomalu při ). Předpokládá se, že dvě funkce jsou ekvivalentní, jestliže , kde je další třída funkcí s omezením růstu as $R\colon\mathcal{A}\times\R\to\R,$ $R\colon(\varphi,\;x)\mapsto R(\varphi,\;x),$ $\varphi\in\mathcal{A}$ $\varphi_\varepsilon(x)=\varepsilon^{-1}\varphi(x\varepsilon^{-1}),$ $R(\varphi_\varepsilon,\;x)$ $\varepsilon\na 0$ $R_1-R_2\in\mathcal{N}$ $\mathcal{N}$ $R(\varphi_\varepsilon,\;x)$ $\varepsilon\na 0.$

Delta funkce je definována jako Výhoda Colombova přístupu spočívá v tom, že jeho zobecněné funkce tvoří komutativní asociativní algebru, zatímco pojmy integrace, derivace, limity, sudá hodnota v bodě se přirozeně rozšiřují na množinu zobecněných funkcí. V tomto smyslu lze na delta funkci skutečně nahlížet jako na funkci rovnou 0 všude kromě bodu 0 a rovnou nekonečnu v nule, protože Colombova teorie zahrnuje teorii nekonečně velkých a nekonečně malých čísel, podobnou nestandardní analýze. . $\delta(\varphi,\;x)=\varphi(-x).$

Egorovův přístup

Podobná teorie zobecněných funkcí byla prezentována v práci Yu.V. Egorova [2] . Ačkoli to není ekvivalentní teorii Colomba, design je mnohem jednodušší a má většinu požadovaných vlastností.

Zobecněná funkce je třída ekvivalence sekvencí . Posloupnosti jsou považovány za ekvivalentní, pokud se pro jakoukoli kompaktní množinu funkce sekvencí shodují na začátku od nějakého čísla: $f=(f_1,\;f_2,\;\ldots),\;f_i\in C^\infty(\R).$ $F$ $\tilde f$ $\Omega\Podmnožina\R$ $\Omega$

f\sim\tilde f\iff\forall\Omega\Podmnožina\R\ \existuje N\ \forall k>N\colon f_k|_\Omega={\tilde f}_k|_\Omega.

Všechny druhy operací se sekvencemi (násobení, sčítání, integrace, diferenciace, skládání, ...) jsou definovány komponent po komponentě. Například množinový integrál I je definován jako třída ekvivalence posloupnosti

\int_I f(x)\,dx=[(a_1,\;a_2,\;\ldots)],\;a_i=\int_I f_i(x)\,dx.

Dvě zobecněné funkce jsou pro jakoukoli nekonečně hladkou funkci slabě stejné $\varphi$

\lim_{k\to\infty}\int_I(f_k(x)-{\tilde f}_k(x))\varphi(x)\,dx=0.

V tomto případě je delta funkce určena libovolnou sekvencí ve tvaru delty (viz níže ), všechny takové zobecněné funkce jsou si slabě rovné.

Vlastnosti

Funkce delta je sudá .
Integrál delta funkce přes libovolný interval obsahující nulu, tedy interval ve tvaru kde a jsou libovolná reálná kladná čísla, je roven 1. $(-a_1,\;a_2),$ $a_{1}$ $a_{2}$
$x\delta^\prime(x)=-\delta(x).$
$\delta(f(x))=\součet_k\frac{\delta(x-x_k)}{|f'(x_k)|}$ , kde jsou jednoduché nuly funkce . $x_k$ $f(x)$

Primitivní funkcí jednorozměrné delta funkce je Heavisideova funkce :

\theta (x)=\left\{{\begin{array}{*{35}{l}}0,&x<0,\\1,&x\geqslant 0.\\\end{array} }\že jo.

Filtrační vlastnost funkce delta:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0).

δ-funkce jako slabá mez

Nechat $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1.$

Pak sekvence

f_n(x)=nf(nx)

slabě konverguje k -funkci. $\delta$

Volba integrovatelné funkce, jejíž určitý integrál je roven 1 v rozsahu od do, je libovolná. $f(x),$ ${-\infty }$ ${+\infty }$

Například, jak si můžete vybrat funkci sinc : dávat sekvenci: $f(x)$ $f(x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x)),$

f_{n}(x)=n{\frac {\sin(n\pi x)}{n\pi x))={\frac {\sin(n\pi x)}{\pi x }}.

Pokud je požadováno, aby všechny funkce v posloupnosti byly všude kladné, lze zvolit například normalizovanou Gaussovu funkci nebo jakoukoli jinou všude nezápornou funkci, jejíž integrál je roven 1:

f(x)=\frac1{\sqrt{\pi}}e^{-x^2},

f_n(x)=\frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-(nx)^2}.

Integrální zobrazení

V mnoha aplikacích se integrální znázornění funkce delta ukazuje jako výhodné:

\delta(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega t}\,d\omega.

Důkaz

Zvažte integrál

I(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}\,d\omega,

(jeden)

což lze interpretovat jako limitu

I(t)=\lim _{N\to \infty }I_{N}(t),

kde

I_N(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-N}^N e^{i\omega t}\,d\omega=\frac{1}{\pi}N\ frac{\sin{tN}}{tN}.

(2)

Je známo že

\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt=\pi.

(3)

Na základě (3) pro všechny platí rovnost: $N$

\int\limits_{-\infty}^{\infty}I_N(t)\,dt=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin{tN }}{tN}\,d(tN)=1.

(čtyři)

Lze ukázat ( viz výše ), že při neomezeném růstu N se pro funkci (2) všechny vlastnosti delta funkce ukáží jako pravdivé a v určitém smyslu má sklon k $\delta(t).$

Derivace funkce delta

Podle definice derivace funkce delta : $\delta(x)$

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^\prime(xa)\,dx=-f^\prime(a)

(rozšíření integrace po částech na případ integrandů obsahujících delta funkci).

Podobně pro n-tou derivaci delta funkce:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(xa)\,dx=-\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial x}\delta^{[n-1]}(xa)\,dx.

A po integraci po částech nkrát konečně dostaneme:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(xa)\,dx=\left.(-1)^n\frac{\partial^nf (x)}{\částečné x^n}\vpravo|_{x=a}.

Pro derivaci delta funkce platí následující identita:

f(x)\delta^\prime(x)=f(0)\delta^\prime(x)-f^\prime(0)\delta(x),

které lze získat odlišením produktu . $f(x)\delta(x)$

Fourierova transformace

V této části použijeme normalizaci odpovídající konvenci jednotkových koeficientů v inverzní transformaci, to znamená, že budeme mít na paměti $f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\,d \omega.$
Vzorce v této části mají odpovídající analogy pro vícerozměrnou Fourierovu transformaci.

Fourierovu transformaci lze aplikovat na delta funkci :

F\left\{\delta(t-t_0)\right\}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-t_0)\cdot e^{-i\omega t}\,dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega\cdot t_0}.

Spektrum (Fourierova transformace) delta funkce se středem v , je tedy "vlna" ve frekvenčním prostoru, která má "periodu" . Konkrétně spektrum (Fourierova transformace) delta funkce se středem na nule je konstanta (ve volném smyslu „vlna“ s nekonečně velkou „periodou“): $t_0$ $\frac{2\pi}{t_0}$

F\left\{\delta(t)\right\}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega\cdot 0} = \frac{1} {\sqrt{2\pi}}.

V souladu s tím je naopak delta funkce Fourierovou transformací čisté harmonické funkce nebo konstanty.

Reprezentace vícerozměrných delta funkcí v různých souřadnicových systémech

V n -rozměrném prostoru v kartézských souřadnicích (ortonormální báze):

\int\delta^n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)\,d^nx=1;

\delta^n(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)=\delta(x_1)\delta(x_2)\ldots\delta(x_n).

Ve 2D prostoru:

\iint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^2(x,\;y)\,dx\,dy=1;

\delta^2(ax,\;by)=\frac{1}{\left|ab\right|}\delta^2(x,\;y);

\delta^2(x,\;y)=\delta(x)\delta(y).

V polárních souřadnicích:

\delta^2(r,\;\varphi)=\frac{\delta(r)}{2\pi\left|r\right|}

- bez posunutí vzhledem k počátku (s singularitou v r = 0 ),

\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)}{|r|}

— s singularitou v bodě v obecné poloze pro r = 0 je rozšířena o nulu.

(r_0,\;\varphi_0);

Ve 3D prostoru:

\iiiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^3(x,\;y,\;z)\,dx\,dy\,dz=1;

\delta^3(x,\;y,\;z)=\delta(x)\delta(y)\delta(z).

Ve cylindrickém souřadnicovém systému :

\delta^3(r,\;\theta,\;z)=\frac{\delta(r)\delta(z)}{2\pi r}

— bez posunutí vzhledem k počátku (s singularitou v ),

r=0,\;z=0

\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)\delta(z-z_0)}{|r|}

— s singularitou v bodě v obecné poloze pro r = 0 je rozšířena o nulu.

(r_0,\;\varphi_0,\;z_0);

Ve sférickém souřadnicovém systému :

\delta^3(r,\;\theta,\;\varphi)=\frac{\delta(r)}{4\pi r^2}

- neposunuto vzhledem k počátku (s singularitou v r = 0 ). Ve vzorcích s singularitou v počátku se často používají dvakrát větší koeficienty (1/π pro cylindrický a polární, 1/2π pro kulový). To je způsobeno tím, že se předpokládá, že výsledek integrace je dvakrát menší, pokud je singulární bod přesně na hranici integračního intervalu.

Fyzická interpretace

V blízkosti nabitého bodu je pole nekonečné, Taylorovy řady pro pole nekonvergují, proto jsou zavedeny speciální funkce. Jednou z takových funkcí je funkce delta. Otázka pole bodově nabité částice je poměrně složitá, uvažujme proto nejprve jednodušší příklad.

Okamžité posílení

Nechť částice, která je schopna se pohybovat po přímce, při dopadu na zanedbatelnou dobu trvání náhle nabude určité rychlosti. Položme si otázku: jak vypočítat zrychlení získané tělem? Sestavme graf změny rychlosti v čase. Graf bude vypadat takto:

Tento graf je téměř všude grafem Heavisideovy funkce . Derivace Heavisideovy funkce je jednotková delta funkce, jejíž graf lze konvenčně znázornit jako

Tento graf zobrazuje nekonečné zrychlení s okamžitým zrychlením. Obecně lze nárazové zrychlení zapsat jako

a(t)=\nu\delta(t-t_a).\

Hmotnost/náboj hmotného bodu

Potřebujete-li zjistit celkovou hmotnost (celkový náboj) určitého rozložení hustoty (neboli hustoty náboje ), která spolu se spojitou složkou obsahuje i bodové hmotnosti (náboje), je vhodné místo vzorce, který samostatně bere v úvahu kontinuální konečnou hustotu a diskrétní příspěvky: $\rho _{\mathrm {continu} }$

{\displaystyle M=\int \rho _{\mathrm {contin} }(\mathbf {x} )\,dV+\sum _{i}m_{i))

kde je poloměrový vektor polohy příslušného prvku (pro jistotu, označení odpovídají hmotnosti, nikoli náboji), lze jednoduše napsat: $\mathbf {x}$

M=\int \rho (\mathbf {x} )\,dV

což znamená, že zahrnuje jak spojité, tak deltě podobné, to znamená koncentrované v geometrických bodech (jeden pro každý bodový objekt ), komponenty: $\rho(\mathbf{x})$ $m_i$

\rho (\mathbf {x} )=\rho _{\mathrm {contin} } (\mathbf {x} )+\sum _{i}m_{i}\delta (\mathbf {x} - \mathbf {x} _{i})

Další příklady

Funkce delta se používá v matematické fyzice při řešení problémů, které zahrnují soustředěné veličiny. V semiklasické limitě ( ) kvantové mechaniky jsou vlnové funkce lokalizovány do vlnových paketů s delta podobnými (tj. majícími tvar delta funkce v limitě) obálkami a oblasti jejich lokalizace se pohybují po klasických trajektoriích podle Newtonovy rovnice . $\hbar\rightarrow 0$
Fourierova transformace jednoty je delta funkce. To umožňuje pohodlněji a matematicky přesněji formulovat různé problémy související s Fourierovou transformací, kterých je velmi mnoho: vlnová optika, akustika a teorie vibrací. V kvantové mechanice hrají Fourierovy transformace vlnových funkcí prvořadou základní a technickou roli; Dirac proto poprvé zavedl delta funkci.
Delta funkce hrají roli vlastních funkcí operátoru se spojitým spektrem v reprezentacích, kde je tento operátor diagonální. Hrají tedy roli základny v diagonální reprezentaci operátoru.
Důležitou aplikací delta funkcí je jejich účast v aparátu Greenových funkcí lineárních operátorů. Pro lineární operátor působící na zobecněné funkce přes varietu má rovnice, která definuje Greenovu funkci se zdrojem v bodě , tvar $L$ $M$ $G$ $x_0,$

L\,g(x,\;x_0)=\delta(x-x_0).

Obzvláště běžná je aplikace tohoto aparátu na Laplaceův operátor (elektrostatika, tepelná vodivost, difúze, mechanická teorie pružnosti) a operátory jemu podobné, jako je d'Alembertův operátor (akustika, elektrodynamika, kvantová teorie pole, kde je Greenova funkce má často speciální název propagator ).

Pro Laplaciána v Greenově funkci je funkce , takže $\mathbb {R} ^{3}$ $1/r$

\Delta\left(\frac{1}{r}\right)=-4\pi\delta(\mathbf{r}),

kde je vzdálenost k počátku souřadnic. Tato skutečnost se používá k prokázání toho, že výraz pro skalární potenciál

r

\Phi (\mathbf {x} )=\int {\frac {\varrho (\mathbf {x} ^{\prime })}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^ {\prime }\right|}}\,d^{3}x^{\prime }

splňuje Poissonovu rovnici :

\Delta\Phi=-4\pi\varrho.

Viz také

Poznámky

↑ Colombeau JF Elementary Úvod do nových zobecněných funkcí. - Amsterdam: Elsevier Science Publishers BV, 1985. - 281 s. — ISBN 978-0-444-87756-7 .
↑ Egorov Yu.V. K teorii zobecněných funkcí // Uspekhi Mat. - 1990. - T. 45 , no. 5 (275) . - S. 3-40 .

Literatura

Dirac P. A. M. Základy kvantové mechaniky / Per. z angličtiny. - M. , 1932 (existuje mnoho přetisků).
Kudryavtsev L. D. Krátký kurz matematické analýzy. - Svazek 2. - ISBN 5-9221-0185-4 .
Weisstein, Eric W. Delta Function (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
Hermander L. Analýza lineárních diferenciálních rovnic. - Hlasitost 1.
Hermander L. Lineární parciální diferenciální operátory.
Gel'fand I. M., Shilov G. E. Zobecněné funkce a působení na ně.
Krasnopevtsev EA Matematické metody fyziky. Vybrané otázky.