Kardinální sinus

Kardinál sinus , sinc (z lat. sinus cardinalis ) - matematická funkce . Označeno pomocí sinc( x ) . Má dvě definice - pro normalizovanou a nenormalizovanou funkci sinc , v tomto pořadí:

V digitálním zpracování signálu a teorii komunikace je normalizovaná funkce sinc obvykle definována jako $\operatorname{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( \pi x \right)}{\pi x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{pole} \vpravo.$
V matematice je nenormalizovaná funkce sinc definována jako $\operatorname{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( x \right)}{x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{pole} \vpravo.$

Normalizace funkce se provádí z podmínky:

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin ax}{ax))\,dx=1

kde $a=\pi .$

pro nenormalizovanou funkci ( ): $a=1$

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi .

V obou případech je hodnota funkce v singulárním bodě x = 0 explicitně nastavena na jedničku ( viz Pozoruhodné meze ). Funkce sinc je tedy analytická pro jakoukoli hodnotu argumentu.

Vlastnosti

Normalizovaná funkce sinc má následující vlastnosti:

$\operatorname{sinc}\left(0\right) = 1$ a pro všechny a ( celá čísla ); to znamená, že je to interpolant . $\operatorname{sinc}\left(k\right) = 0$ $k\neq 0$ $k\in\mathbb{Z}$

funkce tvoří ortonormální základ pro funkce ve funkčním prostoru s nejvyšší kruhovou frekvencí . $x_k\left(t\right)=\jméno operátora{sinc}\left(tk\right)$ $L^2\vlevo(\R\vpravo)$ $\omega_H = \pi$

Lokální maximum a minimum nenormalizované funkce se shodují s hodnotami kosinusu, to znamená, že kde je derivace rovna nule (lokální extrém v bodě ), podmínka je splněna . $\frac{\sin x}{x}$ $x=a$ $\frac{\sin a}{a} = \cos a$

Nenormalizovaná funkce sinc zmizí, když je argument násobkem π , zatímco normalizovaná funkce sinc zmizí, když je argument celé číslo.

Integrál sinus je definován pomocí integrálu funkce sinc( x ) .

Spojitá Fourierova transformace normalizované funkce (pro jednotkový frekvenční interval) je rovna pravoúhlé funkci . $\operatorname{sinc}\left(x\right) = \frac{\sin \pi x}{\pi x}$ $\operatorname{rect}\left(f\right)$

\int\limits_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}\left(t\right)\,e^{-2\pi ift}dt = \operatorname{rect}\left(f\right)

, kde obdélníková funkce je funkce, která má hodnotu 1 pro jakýkoli argument mezi -1 a 1/2 a je rovna nule pro jakoukoli jinou hodnotu argumentu.

Rozklad na nekonečný produkt :

\operatorname{sinc}\left(x\right) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2} {n^2}\right)

Vyjádření z hlediska funkce gama :

\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma\left(1+x\right)\Gamma\left(1-x\ že jo)}

kde je funkce gama.

\gamma\left(x\right)

Použití a aplikace

Jako Fourierova transformace pravoúhlé funkce vzniká funkce sinc v problému šíření vlny z blízkého pole do vzdáleného pole ( Fraunhoferova difrakce , štěrbinová difrakce ). funkce sinc se nachází v teorii antén , radaru , akustice atd.
E. T. Whittaker ukázal, že funkce sinc hraje ústřední roli v teorii interpolace na mřížce ekvidistantních bodů.
V teorii komunikace vám funkce sinc často umožňuje jedinečně a beze ztrát obnovit analogový signál z jeho vzorků ( Kotelnikovův teorém ).
Ze stejné myšlenky vychází i Lanczosův filtr , který se používá zejména pro převzorkování signálů.
Často se hledá snížení efektu sekundárních maxim modulu, která mají za následek nežádoucí postranní laloky v radiačním diagramu .
Často se používá druhá mocnina funkce sinc, která udává intenzitu nebo výkon signálu, jehož amplituda je popsána funkcí sinc.
Protože hodnoty rychle klesají s rostoucím argumentem, druhá mocnina funkce sinc je často reprezentována na logaritmické stupnici .

Zpracování signálu

Sinc filtr je ideální elektronický filtr , který potlačuje všechny frekvence ve spektru signálu nad určitou mezní frekvencí , přičemž všechny frekvence pod touto frekvencí ponechává beze změny. Ve frekvenční oblasti ( AFC ) je pravoúhlá funkce a v časové oblasti (impulzní odezva) je funkce sinc.

Kardinální sinus

Vlastnosti

Použití a aplikace

Zpracování signálu

Viz také