Integrální sinus

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. dubna 2019; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Integrální sinus je speciální funkce definovaná integrálem [1] :

$\operatorname {Si}\,x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt.$

Někdy také používají notaci $\operatorname {si}\,x:$

$\operatorname {si}\,x=-\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t))\,dt=\operatorname {Si}\,x-{\ frac {\pi }{2}}.$

Integrální sinus lze definovat pomocí integrální exponenciální funkce analogicky se sinem [2] :

$\operatorname {si}\,x={\frac {1}{2i}}\left(\operatorname {Ei}\,(ix)-\operatorname {Ei}\,(-ix)\right).$

Integrální sinus zavedl Lorenzo Mascheroni v roce 1790.

Vlastnosti

Integrální sinusová- lichá funkce :

\operatorname {Si}\,(-x)=-\,\operatorname {Si}\,x.

Integrální sinus má asymptoty :

\lim _{{x\to +\infty }}\jméno operátora {Si}\,x={\frac {\pi }{2)),

\lim _{{x\to +\infty }}\jméno operátora {si}\,x=0,

\lim _{{x\to -\infty }}\jméno operátora {Si}\,x=-{\frac {\pi }{2)),

\lim _{{x\to -\infty }}\jméno operátora {si}\,x=-\pi .

Integrální sinus má lokální extrémy v bodech $x=\pm \pi ,\,\pm 2\pi ,\,\pm 3\pi ,\,\cdots$

Rozšíření řady

\operatorname {Si}\,x=x-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{ \frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\cdots =\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n}} }{(2n+1)!(2n+1)}}x^{{2n+1}}.

Tato řada se používá pro praktický výpočet integrálního sinu a v souladu s Leibnizovou větou bude chyba menší než modul posledního sledovaného členu této řady.

Viz také

Poznámky

↑ Korn G., Korn T. Příručka matematiky pro vědce a inženýry. // M.: Nauka, 1968. - S. 625.
↑ Bateman G., Erdeyi A. Vyšší transcendentální funkce, sv. 2 // M.: Nauka, 1974. - S. 149.

Literatura

Matematický encyklopedický slovník. - M. , 1995. - S. 238.