Integrální exponenciální funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. ledna 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Integrální exponenciální funkce je speciální funkce označovaná symbolem . $\operatorname {Ei}$

Definice na množině reálných čísel

Nejběžnější je následující definice (viz tabulka): $\operatorname {Ei}$

$\operatorname {Ei} (x)=\mathrm {vp} \int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm { d} t=\gamma +\jméno operátora {ln} |x|+\součet \limits _{n\geq 1}{\frac {x^{n}}{n!\cdot n}},\;x\ v \mathbb {R} ,\;(1)$

kde je Eulerova konstanta . Integrál ve smyslu hlavní hodnoty v (1) má různá rozšíření řad pro kladné a záporné x, což ztěžuje jeho analytické pokračování do komplexní roviny [tj. zobecnění (1) na případ komplexních hodnot. z x]. Z tohoto důvodu se zdá, že definice (1) je chybná; místo toho je vhodnější použít [nekompatibilní s (1)] $\gamma$

Základní definice

Integrální exponenciální funkce - speciální funkce definovaná integrálem [1]

$\operatorname {Ei} (z)=\int \limits _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\ gamma +\operatorname {ln} (-z)+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n!\cdot n}},\;|\arg(-z )|<\pi ,\;(2)$

Stejně jako řada pro exponenciální funkci, nekonečný součet v (2) konverguje v libovolném bodě v komplexní rovině. Výsledek integrace v (2) závisí nejen na , ale také na integrační cestě, konkrétně je určen tím, kolikrát integrační cesta obejde bod , v jehož blízkosti je integrand v (2) přibližně rovný . Funkce je tedy vícehodnotová a singulární bod je logaritmický bod větvení . Stejně jako v případě logaritmické funkce je rozdíl v hodnotách různých větví funkce (pro pevnou hodnotu ) násobkem . $z$ $t=0$ $1/t$ $\operatorname {Ei} (z)$ $z=0$ $\operatorname {ln} z$ $z$ $2\pi i$

Níže budeme uvažovat pouze hlavní větev (hodnotu) odpovídající hlavní větvi v (2). Konvenční řez komplexní roviny pro (podél záporné reálné osy) odpovídá řezu podél kladné reálné osy pro funkci . Opravíme také hlavní větev argumentu: a dále budeme předpokládat, že jde o jednohodnotovou analytickou funkci definovanou v celé komplexní rovině, kromě řezu podél kladné reálné osy. $\operatorname {Ei}$ $\operatorname {ln}$ $\operatorname {ln} z$ $\operatorname {Ei} (z)$ $-\pi <\jméno operátora {arg} z\leq \pi$ $\operatorname {Ei}$

Výskyt ve výpočtu integrálů $\operatorname {Ei}$

Integrál libovolné racionální funkce vynásobený exponentem je vyjádřen v konečném tvaru pomocí funkce a elementárních funkcí. [jeden] $\operatorname {Ei}$

Jako jednoduchý příklad integrálu, který se redukuje na integrální exponenciální funkci, zvažte (za předpokladu, že ) $b>0$

$\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {e^{ibx}\mathrm {d} x}{x+iz))={\begin{cases}-e^{ bz}\jméno operátora {Ei} (-bz),&\jméno operátora {arg} z\not \in [\pi /2,\pi ],\\-e^{bz}\left[\jméno operátora {Ei} ( -bz)-2\pi i\right],&\jméno operátora {arg} z\in (\pi /2,\pi ).\end{cases}}\;(2)$

Z (2) vyplývá, že pro skutečné hodnoty a $y$ $b$

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+y^{2))}=-{ \frac {1}{2}}\left[e^{|by|}\jméno operátora {Ei} (-|by|)+e^{-|by|}\jméno operátora {Ei} _{1}(| by|)\right],\;(3)$

kde je tzv. modifikovaná integrální exponenciální funkce [1] : $\operatorname {Ei} _{1}$

$\operatorname {Ei} _{1}(y)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Ei} (y+i0)+\operatorname {Ei} (y-i0) \right]=\gamma +\operatorname {ln} y+\součet \limits _{n\geq 1}{\frac {y^{n}}{n!\cdot n}},\;y>0,\ ;\operatorname {Ei} _{1}(y)\in \mathbb {R} .\;(4)$

Ve skutečnosti se (4) shoduje s funkcí definovanou v (1) a často je funkce označena symbolem , což může vést k chybám. $\operatorname {Ei} _{1}$ $\operatorname {Ei}$

Při získávání výsledku (3) byla použita hodnota integrálu

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\sin bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2))}={\frac { \pi }{2}}\operatorname {exp} [-bz\operatorname {sign} \Im z],\;b>0.$

Integrál (3) lze považovat za reálnou funkci reálných argumentů a . Je logické požadovat, aby taková funkce byla vyjádřena pouze pomocí reálných hodnot. Tento požadavek ospravedlňuje zavedení dalšího [kromě již definovaného v (2) ] symbolu . $b$ $y$ $\operatorname {Ei}$ $\operatorname {Ei} _{1}$

Výsledek (3) lze snadno zobecnit na libovolné (kromě čistě imaginárních) komplexních hodnot parametru : $z$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2))}=-{\frac {1}{2}}\left\{e^{bz}\operatorname {Ei} (-bz)+e^{-bz}\left[\operatorname {Ei} (bz)+\pi i\operatorname { znak} \Im z\right]\right\},\;b>0,\;\Re z\neq 0.\;(5)$

Vzorec (3) pro a lze získat vložením (5). $b>0$ $y>0$ $z=y\pm i0$

Integrál (5) lze nalézt na str. 320 Prudnikovovy příručky [2] , zde však uvedený výraz platí pouze pro reálné hodnoty a za předpokladu, že je pro funkci použita definice (1). $z$ $\operatorname {Ei}$

Je třeba poznamenat, že je nebezpečné spoléhat se na komerční systémy počítačové algebry pro výpočet takových integrálů (zejména pro komplexní hodnoty parametrů). Kvůli záměně se zápisem (použití symbolu místo ) nelze plně důvěřovat ani referenčním knihám. $\operatorname {Ei}$ $\operatorname {Ei} _{1}$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 Lebedev, N. N. Speciální funkce a jejich aplikace . - 2. - 1963. (Ruština)
↑ Prudnikov A.P. , Brychkov Yu.A. , Marichev O.I. Integrály a řady. - Ed. 2. - M. : FIZMATLIT, 2003. - T. 1. - S. 320,561,622. — ISBN 5-9221-0323-7 .

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus