Interpolace

Pro funkci viz: Interpolant .

Interpolace , interpolace ( z lat. inter-polis - „ vyhlazené, aktualizované, aktualizované; transformované “) - ve výpočetní matematice nalezení neznámých mezihodnot funkce, z existující diskrétní množiny jejích známých hodnot, určitým způsobem . Termín „interpolace“ poprvé použil John Vallis ve svém pojednání Aritmetika nekonečna (1656).

Ve funkcionální analýze je interpolace lineárních operátorů částí, která považuje Banachovy prostory za prvky určité kategorie [1] .

Mnoho z těch, kteří se zabývají vědeckými a technickými výpočty, musí často pracovat se soubory hodnot získaných zkušenostmi nebo náhodným vzorkováním . Zpravidla je na základě těchto množin potřeba sestrojit funkci , na kterou by mohly s vysokou přesností padat další získané hodnoty. Takový úkol se nazývá aproximace . Interpolace je typ aproximace, při které křivka konstruované funkce prochází přesně dostupnými datovými body.

Existuje také problém blízký interpolaci, který spočívá v aproximaci nějaké komplexní funkce jinou, jednodušší funkcí. Pokud je určitá funkce pro produktivní výpočty příliš složitá, můžete zkusit vypočítat její hodnotu v několika bodech a sestavit z nich, tedy interpolovat, jednodušší funkci. Použití zjednodušené funkce vám samozřejmě neumožňuje získat stejné přesné výsledky, jaké by poskytla původní funkce. Ale v některých třídách problémů může zisk v jednoduchosti a rychlosti výpočtů převážit výslednou chybu ve výsledcích.

Měli bychom také zmínit zcela jiný druh matematické interpolace, známý jako „operátorská interpolace“. Mezi klasické práce o operátorové interpolaci patří Riesz-Thorinův teorém a Marcinkiewiczův teorém , které jsou základem pro mnoho dalších prací.

Definice

Uvažujme systém neshodných bodů ( ) z nějaké oblasti . Nechť jsou hodnoty funkce známé pouze v těchto bodech: $x_{i}$ $i\in {0,1,\tečky ,N}$ $D$ $F$

y_{i}=f(x_{i}),\quad i=1,\ldots ,N.

Problémem interpolace je najít z dané třídy funkcí takovou funkci, která $F$

F(x_{i})=y_{i},\quad i=1,\ldots,N.

Body se nazývají interpolační uzly a jejich celek se nazývá interpolační mřížka . $x_{i}$
Tyto páry se nazývají datové body nebo základní body . $(x_{i},y_{i})$
Rozdíl mezi „sousedními“ hodnotami je krok interpolační mřížky . Může být jak variabilní, tak konstantní. ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1))$
Funkce - interpolační funkce nebo interpolant . $F(x)$

Příklad

1. Předpokládejme, že máme tabulkovou funkci, jako je ta popsaná níže, která pro několik hodnot určuje odpovídající hodnoty : $X$ $F$

$X$	$f(x)$
0	0
jeden	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
čtyři	−0,7568
5	−0,9589
6	-0,2794

Interpolace nám pomáhá zjistit, jakou hodnotu může mít taková funkce v jiném než zadaných bodech (například v x = 2,5).

K dnešnímu dni existuje mnoho různých metod interpolace. Výběr nejvhodnějšího algoritmu závisí na odpovědích na otázky: jak přesná je zvolená metoda, jaké jsou náklady na její použití, jak hladká je interpolační funkce, kolik datových bodů vyžaduje atd.

2. Najděte mezihodnotu ( lineární interpolací ).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

$?=15,5+{\frac {(6378-6000)}{8000-6000}}*{\frac {(19,2-15,5)}{1}}=16,1993$

Interpolační metody

Interpolace nejbližšího souseda

Nejjednodušší interpolační metodou je interpolace nejbližšího souseda .

Interpolace pomocí polynomů

V praxi se nejčastěji používá interpolace polynomy . Je to dáno především tím, že polynomy se snadno počítají, lze snadno analyticky najít jejich derivace a množina polynomů je hustá v prostoru spojitých funkcí ( Weierstrassova věta ).

Lineární interpolace
Newtonův interpolační vzorec
Metoda konečných rozdílů
IMN-1 a IMN-2
Lagrangeův polynom (interpolační polynom)
Aitkenovo schéma
funkce spline
kubický spline

Reverzní interpolace (výpočet x dané y)

Lagrangeův polynom
Inverzní interpolace podle Newtonova vzorce
Inverzní Gaussova interpolace

Interpolace funkce více proměnných

Jiné metody interpolace

Racionální interpolace
Trigonometrická interpolace

Související pojmy

Extrapolace - metody pro nalezení bodů mimo daný interval (prodloužení křivky)
Retropolace - metody pro zjištění, podle známých hodnot proměnné, jejích neznámých hodnot na začátku časové řady .
Aproximace - metody pro konstrukci přibližných křivek

Viz také

Poznámky

↑ Berg, 1980 , str. 6-7.

Literatura

J. Berg, J. Löfström. interpolační prostory. Úvod. — M .: Mir, 1980. — 264 s.
Ibragimov II Metody interpolace funkcí a některé jejich aplikace. - M . : Vyšší škola , 1971. - 520 s.
Walsh JL Interpolace a aproximace racionálními funkcemi v komplexní oblasti. -M.:Zahraniční literatura, 1961. - 508 s.
Tribel H. Teorie interpolace, funkční prostory, diferenciální operátory. - M .: Mir , 1980. - 664 s.

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Velký Rus Britannica (online) Treccani
V bibliografických katalozích	BNF : 11978011w J9U : 987007558186905171 LCCN : sh85067492