Lineární interpolace
Lineární interpolace - interpolace algebraickým binomem funkce dané ve dvou bodech a úsečce .
![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
Pokud jsou hodnoty zadány v několika bodech, je funkce nahrazena po částech lineární funkcí .
Lineární interpolační vzorec je speciální případ Lagrangeova interpolačního vzorce a Newtonova interpolačního vzorce .
Geometrická interpretace
Geometricky to znamená nahrazení grafu funkce přímkou procházející body a .
![{\displaystyle \left[x_{0},f(x_{0})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3252ba6fccac493d131ee7968122ce4334e65537)
![{\displaystyle \left[x_{1},f(x_{1})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1f7ebaf0faf3315b7bb3ae3540632ed4162b14)
Rovnice pro takovou přímku je:
odtud do
![{\displaystyle x\in [x_{0},x_{1}]:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def76a228af280afd9088689c28b867f63ed8040)
Toto je lineární interpolační vzorec , zatímco:
kde je chyba vzorce lineární interpolace.
Pokud má interpolovaná funkce spojitou druhou derivaci na interpolačním segmentu, pak:
![R_1(x) = \frac{f''(\psi)}{2}(x - x_0)(x - x_1),\quad \psi \in [x_0, x_1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d14ef042e12da2baf2eb844dffb877e1ac4af5)
Zároveň na základě Rolleovy věty platí odhad chyby interpolace:
![{\displaystyle M_{2}=\max _{[x_{0},x_{1}]}|f''(x)|;\quad h=x_{1}-x_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2157fab598eaf17e4a800808706d0bca1e6f55b3)
Aplikace
Lineární interpolace se používá ke zmenšení velikosti tabulek funkcí definovaných tabulkou, zatímco hodnoty funkce jsou uvedeny ve sníženém počtu bodů a její hodnoty v bodech, které nejsou v tabulce, se počítají pomocí lineární interpolace. vzorec.
Dalším příkladem použití lineární interpolace je přibližná reprezentace dat jako po částech lineární funkce .