Rolleova věta

Rolleova věta ( nulová derivační věta ) říká, že

Pokud reálná funkce, která je spojitá na segmentu a diferencovatelná na intervalu, nabývá na koncích segmentu stejné hodnoty , pak na intervalu existuje alespoň jeden bod, ve kterém je derivace funkce rovna nule. $[a,b]$ $(a,b)$ $[a,b]$ $(a,b)$

Důkaz

Pokud je funkce na intervalu konstantní, pak je tvrzení zřejmé, protože derivace funkce je v libovolném bodě intervalu rovna nule.

Pokud ne, protože hodnoty funkce v hraničních bodech segmentu jsou stejné, pak podle Weierstrassovy věty nabývá největší nebo nejmenší hodnotu v určitém bodě intervalu, to znamená, že má lokální extrém v tomto bodě a podle Fermatova lemmatu je derivace v tomto bodě rovna 0.

Geometrický smysl

Věta říká, že pokud jsou souřadnice obou konců hladké křivky stejné, pak na křivce existuje bod, ve kterém je tečna ke křivce rovnoběžná s osou x.

Důsledky

Pokud diferencovatelná funkce zaniká v různých bodech, pak její derivace zaniká alespoň v různých bodech [1] a tyto nuly derivace leží v konvexním obalu nul původní funkce. Tento důsledek lze snadno ověřit v případě skutečných kořenů, ale platí i v případě složitém. $n$ $n-1$

Jsou-li všechny kořeny polynomu n-tého stupně reálné, pak jsou výhradně reálné i kořeny všech jeho derivací až po včetně. $n-1$

Diferencovatelná funkce na segmentu mezi jejími dvěma body má tečnu rovnoběžnou se sečnou/tetivou vedenou těmito dvěma body.

Viz také

Poznámky

↑ N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov , G. M. Kobelkov — Numerické metody, str.43

Literatura

Fikhtengol'ts G.M. Základy matematické analýzy. - M .: " Nauka ", 1962. - T. 1. - S. 225. - 607 s.