Derivace funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. srpna 2022; kontroly vyžadují 3 úpravy . Tento článek popisuje derivace reálných funkcí. Pro derivaci komplexních funkcí viz Komplexní analýza .

Derivace funkce je pojem v diferenciálním počtu , který charakterizuje rychlost změny funkce v daném bodě. Je definována jako limit poměru přírůstku funkce k přírůstku jejího argumentu , když přírůstek argumentu směřuje k nule , pokud taková limita existuje. Funkce, která má konečnou derivaci (v určitém bodě), se nazývá diferencovatelná (v daném bodě).

Proces výpočtu derivace se nazývá diferenciace . Opačný proces - nalezení primitivního prvku - integrace .

Historie

V klasickém diferenciálním počtu je derivace nejčastěji definována prostřednictvím konceptu limity , avšak historicky se teorie limit objevila později než diferenciální počet. Historicky byla derivace zavedena kinematicky (jako rychlost) nebo geometricky (určena v podstatě sklonem tečny, v různých specifických formulacích). Newton nazval derivaci tok , označující tečku nad funkčním symbolem, Leibnizova škola preferovala jako základní koncept diferenciál [1] .

Ruský výraz ve tvaru „derivační funkce“ poprvé použil V. I. Viskovatov , který do ruštiny přeložil odpovídající francouzský výraz dérivée , který používal francouzský matematik Lagrange [2] .

Definice

Nechť je funkce definována v nějakém okolí bodu Derivace funkce je takové číslo , že funkce v okolí může být reprezentována jako $x_{0}\in \mathbb{R}$ $f\colon U(x_{0})\podmnožina \mathbb{R} \to \mathbb{R} .$ $A$ $U(x_{0})$

f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)

pokud existuje. $A$

Definice derivace funkce z hlediska limity

Nechť je funkce definována v nějakém okolí bodu . Derivace funkce v bodě se nazývá limita , pokud existuje, $x_{0}\in \mathbb{R}$ $f\colon U(x_{0})\podmnožina \mathbb{R} \to \mathbb{R} .$ $F$ $x_{0}$

f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0} }}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim \limits _ {{\Delta x}\to 0}{\frac {\Delta {f(x)))}{\Delta x)).

Konvenční zápis pro derivaci funkce v bodě $y=f(x)$ $x_{0}$

f'(x_{0})=f'_{x}(x_{0})={\mathrm {D}}\!f(x_{0})={\frac {df}{dx}}( x_{0})=\vlevo.{\frac {dy}{dx}}\vpravo\vert _{{x=x_{0}}}={\tečka {y}}(x_{0}).

Všimněte si, že to druhé obvykle označuje derivaci s ohledem na čas (v teoretické mechanice a fyzice historicky často také).

Tabulka derivátů

Derivace mocninných funkcí	Derivace goniometrických funkcí	Derivace inverzních goniometrických funkcí	Deriváty hyperbolických funkcí
$\left(c\right)^{(n)}=0$	$\left(\sin x\right)^{(n)}=\sin(x+{\dfrac {\pi n}{2)))$	$\left(\arcsin x\right)'={\dfrac {1}({\sqrt {1-x^{{2))))}}$	$(\sinh x)'=\cosh x$
$\left(x^{a}\right)^{(n)}={\dfrac {a!}{(an)!}}x^{an}$	$\left(\cos x\right)^{(n)}=\cos(x+{\dfrac {\pi n}{2)))$	$\left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}({\sqrt {1-x^{{2))))}}$	${\textstyle (\cosh x)'=\sinh x}$
$\left(a^{x}\right)^{(n)}=a^{x}\ln ^{n}a$	$\left(\operatorname {tg} x\right)'=\sec ^{2}x$	${\displaystyle \left(\operatorname {arctg} x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2))))$	$(\tanh x)'=\operatorname {sch} x$
$\left(\log _{a}x\right)^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n} \ln a}}$	$\left(\operatorname {ctg} x\right)'=-\csc ^{2}x$	${\displaystyle \left(\operatorname {arcctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2))))$	$(\coth x)'=-\operatorname {csch} x$
	$\left(\operatorname {sec} x\right)'=\sec x\cdot \mathrm {tg} \ x$	$\left(\operatorname {arcsec} x\right)'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	$(\mathrm {sch} \ x)'=-{\frac {\sinh x}{\cosh ^{2}x))$
	$\left(\operatorname {cosec} x\right)'=-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x$	$\left(\operatorname {arccosec} x\right)'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	$(\mathrm {csch} \ x)'=-{\frac {\cosh x}{\sinh ^{2}x))$

$\left(c\right)=\left(\mathrm {const} \right)$
$\left(e^{{x}}\right)^{{\left(n\right)}}=e^{{x}}$
${\displaystyle (\ln {x})^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n))))$

Diferencovatelnost

Derivace funkce v bodě , která je limitou, nemusí existovat, nebo může existovat a být konečná nebo nekonečná. Funkce je diferencovatelná v bodě právě tehdy, když její derivace v tomto bodě existuje a je konečná: $f'(x_{0})$ $F$ $x_{0}$ $F$ $x_{0}$

f\in {\mathcal {D}} (x_{0})\Šipka doleva \existuje f'(x_{0})\in (-\infty ;\infty ).

Pro funkci diferencovatelnou v sousedství platí následující reprezentace: $x_{0}$ $F$ $U(x_{0})$

f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})

x\to x_{0}.

Poznámky

Zavolejme přírůstek argumentu funkce a nebo přírůstek hodnoty funkce v bodě Potom $\Delta x=x-x_{0}$ $\Delta y=f(x)-f(x_{0})$ $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ $x_{0}.$ $f'(x_{0})=\lim \limits _({\Delta x\to 0)){\frac {\Delta y}{\Delta x)).$
Nechť má funkce v každém bodě konečnou derivaci Pak je derivační funkce definována $f\colon (a,b)\to \mathbb{R}$ $x_{0}\in(a,b).$ $f'\colon (a,b)\to \mathbb{R} .$
Funkce, která má v bodě derivaci, je v tomto bodě spojitá . Opak není vždy pravdou.
Pokud je derivační funkce sama o sobě spojitá, pak se funkce nazývá spojitě diferencovatelná a zapisuje se: $F$ $f\in C^{{(1)}}{\bigl (}(a,b){\bigr )}.$

Geometrický a fyzikální význam derivace

Tangenta sklonu tečny

Má-li funkce v bodě konečnou derivaci, lze ji v okolí aproximovat lineární funkcí $f\dvojtečka U(x_{0})\to \mathbb{R}$ $x_0,$ $U(x_{0})$

f_{l}(x)\ekviv f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

Funkce se nazývá tečna k v bodě Číslo je sklon ( směrnice tečny) nebo tangens sklonu tečny. $f_{l}$ $F$ $x_{0}.$ $f'(x_{0})$

Rychlost změny funkce

Nechť je zákon přímočarého pohybu . Potom vyjadřuje okamžitou rychlost pohybu v daném okamžiku . Nová funkce má také derivaci. Tato tzv. druhá derivace, označovaná jako , a funkce vyjadřuje okamžité zrychlení v čase $s=s(t)$ $v(t_{0})=s'(t_{0})$ $t_0$ $s'(t)$ $s''(t)$ $a(t_{0})=s''(t_{0})$ $t_{0}.$

Obecně platí, že derivace funkce v bodě vyjadřuje rychlost změny funkce v bodě , tedy rychlost procesu popsaného závislostí $y=f(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$ $y=f(x).$

Deriváty vyšších řádů

Pojem derivace libovolného řádu je dán rekurzivně . Věříme

f^{{(0)}}(x_{0})\equiv f(x_{0}).

Pokud je funkce diferencovatelná v , pak derivace prvního řádu je definována vztahem $F$ $x_{0}$

f^{{(1)}}(x_{0})\equiv f'(x_{0}).

Nechť je nyní derivace třetího řádu definována v nějakém okolí bodu a je diferencovatelná. Pak $n$ $f^{{(n)}}$ $x_{0}$

f^{{(n+1)}}(x_{0})=\left(f^{{(n)}}\right)'(x_{0}).

Konkrétně druhá derivace je derivací derivace:

f''(x_{0})=(f'(x))'|_{x=x_{0}}

Jestliže funkce má parciální derivaci vzhledem k jedné z proměnných v nějaké oblasti D , pak pojmenovaná derivace, která je sama o sobě funkcí , může mít parciální derivace s ohledem na stejnou nebo jakoukoli jinou proměnnou v určitém bodě . Pro původní funkci budou tyto derivace parciální derivace druhého řádu (nebo druhé parciální derivace). $u=f(x,y,z)$ $x,y,z,$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $u=f(x,y,z)$

u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})

nebo

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{ 0})}{\částečné x^{2))))

u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})

nebo

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0 })}{\částečné x\částečné y}}

Druhá nebo vyšší parciální derivace zaujatá s ohledem na různé proměnné se nazývá smíšená parciální derivace . Například,

u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})

Třída funkcí, jejichž derivace řádu je spojitá, se označuje jako . $n$ $C^{(n)}$

Způsoby zápisu derivátů

Podle cílů, oblasti použití a použitého matematického aparátu se používají různé způsoby zápisu derivací. Derivace n-tého řádu tedy může být zapsána v zápisech:

Lagrange , zatímco pro malé n tahy a římské číslice jsou často používány : $f^{{(n)}}(x_{0})$

f^{{(1)}}(x_{0})=f'(x_{0})=f^{I}(x_{0}),

f^{{(2)}}(x_{0})=f''(x_{0})=f^{{II}}(x_{0}),

f^{{(3)}}(x_{0})=f'''(x_{0})=f^{{III}}(x_{0}),

f^{{(4)}}(x_{0})=f^{{IV}}(x_{0}),

atd.

Takový zápis je vhodný ve své stručnosti a široce rozšířený; tahy však mohou označovat ne vyšší než třetí derivaci.

Leibniz , pohodlné vizuální znázornění poměru infinitesimálů (pouze pokud je nezávislá proměnná; jinak je zápis platný pouze pro derivaci prvního řádu): $X$

{\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})

Newton , který se v mechanice často používá pro časovou derivaci souřadnicové funkce (pro prostorovou derivaci se častěji používá Lagrangeův zápis). Pořadí derivace je označeno počtem teček nad funkcí, například:

{\tečka {x}}(t_{0})

je derivace prvního řádu vzhledem k bodu v nebo je derivace druhého řádu vzhledem k bodu atd.

X

t

t=t_{0}

{\ddot {f}} (x_{0})

F

X

x_{0}

Euler , který používá diferenciální operátor (přesně řečeno, diferenciální výraz, dokud není zaveden odpovídající funkční prostor), a proto je vhodný v záležitostech souvisejících s funkční analýzou :

{\mathrm {D}}^{n}\!f(x_{0})

nebo někdy .

\částečné ^{n}\!f(x_{0})

V variačním počtu a matematické fyzice se často používá zápis ; pro hodnotu derivátu v bodě - . U parciálních derivací je zápis stejný, význam zápisu je tedy určen z kontextu. $f_{x}$ $f_{{xx}}$ $f_{x}\vert _{{x=x_{0}}}$

Samozřejmě nesmíme zapomínat, že všechny slouží k označení stejných objektů:

f^{(n)}(x_{0})={\frac {d^{n}\!f}{dx^{n))}(x_{0})={\overset {\ overbrace {\cdot \cdot \ldots \cdot } ^{n\ {\text{times}}}}{f}}(x_{0})=\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{ 0})=f{\underbrace {_{xx\ldots x}} _{n\ {\text{times}}}}\vert _{x=x_{0}}.

Příklady

Nechte _ Pak $f(x) = x^2$

f'(x_{0})=\lim \limits _{{x\to x_{0))}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0 }}}=\lim \limits _{{x\to x_{0}}}{\frac {(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}} =\lim \limits _{{x\to x_{0}}}(x+x_{0})=2x_{0}.

Nechte _ Pak když pak $f(x)=|x|$ $x_{0}\neq 0,$

f'(x_{0})=\jméno operátora{sgn} x_{0},

kde označuje znaménkovou funkci . A pokud a pak neexistuje . $\operatorname{sgn}$ $x_{0}=0,$ $f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,$ $f'(x_{0})$

Věty související s diferenciací

Pro spojité funkce na intervalu , diferencovatelné na intervalu , platí následující: $f,g$ $[a,b]$ $(a,b)$

Lemma Fermat . Jestliženabývá maximální nebo minimální hodnoty v boděa existuje, pak. $F$ $C$ $f'(c)$ $f'(c)=0$

Věta o nulové derivaci . Pokud stejné hodnotyna koncích segmentu je na intervalu alespoň jeden bod, ve kterém je derivace funkce rovna nule. $F$ $[a,b]$ $(a,b)$

Vzorec konečného přírůstku . Neboťexistuje bodtakový, že. $F$ $c\in(a,b)$ ${\frac {f(b)-f(a)}{ba}}=f'(c)$

Cauchyho věta o střední hodnotě . Pokudse na intervalu nerovná nule, pak existuje bodtakový, že. $G'$ $(a,b)$ $c\in(a,b)$ ${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)))$

L'Hopitalovo pravidlo . Pokudnebo, apro některéz proražených sousedstvía existuje, pak. $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ $\infty$ $g'(x)\neq 0$ $X$ $C$ $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)))$ $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g '(X)}}$

Pravidla diferenciace

Operace hledání derivace se nazývá diferenciace. Při provádění této operace musíte často pracovat s podíly, součty, součiny funkcí a také s „funkcemi funkcí“, tedy komplexními funkcemi. Na základě definice derivátu můžeme odvodit pravidla diferenciace, která tuto práci usnadňují. Pokud je konstantní číslo a jsou to nějaké diferencovatelné funkce, pak platí následující pravidla diferenciace: $C$ $f=f(x),g=g(x)$

$C'=0$
$x'=1$
$\left(f+g\right)'=f'+g'$ [3]

Důkaz

$y(x)=f(x)+g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta {x})-y(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x+\Delta {x})+g(x+\Delta {x}))-(f(x)+g(x ))}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x))+{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x)))}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x))+\lim _{\Delta x\to 0} {\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x))=$

$=f'(x)+g'(x)$ ■

$\left(fg\right)'=f'g+fg'$ [čtyři]

Důkaz

$y(x)=f(x)g(x)$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

$\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x))=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x))=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))(g(x)+\Delta g(x))-f(x) g(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+f(x)\Delta g(x)+\Delta f(x)g(x)+ \Delta f(x)\Delta g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}(f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x))+g(x){\frac {\Delta f( x)}{\Delta x))+\Delta g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x)))=$

$=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+0f'(x)=$

$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ ■

$\left(Cf\right)'=Cf'$
$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ …(g ≠ 0)

Důkaz

$y(x)={\frac {f(x)}{g(x)))$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

$\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x))=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)))-{\frac {f(x) }{g(x)}}}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x )g(x)\Delta x}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))g (x)-f(x)(g(x)+\Delta g(x))}{\Delta x}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+\Delta f(x )g(x)-f(x)g(x)-f(x)\Delta g(x)}{\Delta x))=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))\lim _{\Delta x\to 0}{(g(x){\frac {\Delta f(x)}{ \Delta x))-f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x)))}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))(g(x)f'(x)-f(x)g'(x))=$

$={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)))$ ■

$\left({\frac {C}{g}}\right)'=-{\frac {Cg'}{g^{2}}}$ (g ≠ 0)
Pokud je funkce nastavena parametricky:

$\left\{{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}}\;\;t\in \left[T_{1};T_{2 }\dobře dobře.$ , pak $y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}=y'_{t}\cdot t '_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}$

${\frac {d}{dx}}f(g(x))={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}=f'_ {g}g'_{x}$
Vzorce odvozeného produktu a poměru jsou zobecněny pro případ n-násobné diferenciace ( Leibnizův vzorec ):

(fg)^{{(n)}}=\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{(nk)}}g^ {{(k)}}},

kde jsou binomické koeficienty .

C_{n}^{k}

Následující vlastnosti derivátu slouží jako doplněk k pravidlům diferenciace:

jestliže funkce je diferencovatelná na intervalu , pak je spojitá na intervalu . Opak je obecně nepravdivý (například funkce na ); $(a,b)$ $(a,b)$ $y(x)=|x|$ $[-1,1]$
pokud má funkce lokální maximum/minimum , když je hodnota argumentu rovna , pak (jde o tzv. Fermatovo lemma ); $X$ $f'(x)=0$
derivace této funkce je jedinečná, ale různé funkce mohou mít stejné derivace.
$(f(x)^{{g(x)}})'=f(x)^{{g(x)}}\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g (x)f'(x)}{f(x)}}\right)(\forall x\in D_{f}:f(x)>0)$

Důkaz

$y=f(x)^{{g(x)}}$

$\ln y=g(x)\ln f(x)$

${\frac {y'}{y}}=g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)))$

$y'=y\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)))\vpravo)$

$y'=f(x)^{{g(x)}}(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x))) )$ ■

Tabulka derivací některých funkcí

Funkce $f(x)$	Derivát $f'(x)$	Poznámka
${\displaystyle x^{\alpha ))$	${\displaystyle \alpha \cdot x^{\alpha -1))$	Důkaz Opravíme a zvýšíme argument . Spočítejme si přírůstek funkce: , takže Viz $x\in {\mathbb {D}} (f)$ $\Delta x$ $\Delta y=(x+\Delta x)^{\alpha }-x^{\alpha }=x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x)))^{\alpha }-jeden)$ $(x^{\alpha })'=\lim _({\Delta x\to 0))({\frac {\Delta y}{\Delta x))}=\lim _({\Delta x\to 0)){{\frac {x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x)))^{\alpha }-1)}{\Delta x))}=$ $=\lim _({\Delta x\to 0)){\frac {\alpha \cdot x^{\alpha }\cdot {\frac {\Delta x}{x))}{\Delta x))= \alpha \cdot x^{{\alpha -1}}$
$a^{x}$	$a^{x}\cdot \ln {a}$	Důkaz Opravíme a zvýšíme argument . Spočítejme si přírůstek funkce: , takže Viz $x\in {\mathbb {D}} (f)$ $\Delta x$ $\Delta y=a^{x+\Delta x}-a^{x}=a^{x}(a^{\Delta x}-1)$ $(a^{x})'=\lim _({\Delta x\to 0))({\frac {\Delta y}{\Delta x))}=\lim _({\Delta x\to 0 }}{{\frac {a^{x}(a^{{\Delta x}}-1)}{\Delta x}}}=$ $=\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac {a^{x}\cdot \Delta x\cdot \ln {a}}{\Delta x}}=a^{x}\cdot \ln {a}$
${\displaystyle \log _{a}{x))$	${\displaystyle {\frac {1}{x\cdot \ln {a))))$	Důkaz $(\log _{a}x)'={\frac {1}{\ln {a))}\cdot (\ln {x})'$ Učíme se derivaci prostřednictvím derivace inverzní funkce : ${\displaystyle \ln {x))$ $y_{x}=\ln {x}\Šipka doprava x_{y}=e^{y},$ $y_{x}'=(\ln {x})'={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}} ={\frac {1}{x}}$ Dostaneme: ${\displaystyle (\log _{a}{x})'={\frac {1}{x\cdot \ln {a))))$
$\sin x$	$\cos x$	Důkaz Opravíme a zvýšíme argument . Vypočítejme přírůstek funkce: , takže ( Viz ) $x\in {\mathbb {D}} (f)$ $\Delta x$ $\Delta y=sin(x+\Delta x)-sin(x)=2sin({\frac {x+\Delta xx}{2)))\cdot cos({\frac {x+\Delta +x} {2)))=2sin({\frac {\Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))$ ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2sin({\frac { \Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac { sin({\frac {\Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))))$ $\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))}=cos(x)$
$\cos x$	$-\sin x$	Důkaz Opravíme a zvýšíme argument . Vypočítejme přírůstek funkce: , takže ( Viz ) $x\in {\mathbb {D}} (f)$ $\Delta x$ $\Delta y=cos(x+\Delta x)-cos(x)=-2sin({\frac {x+\Delta x+x}{2)))\cdot sin({\frac {x+\Delta -x}{2)))=-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2))))$ ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\Delta x))=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {- sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))))$ $\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{-sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))}=-sin(x)$
$\mathrm {tg} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}{x))))$	Důkaz 1 Opravíme a zvýšíme argument . Spočítejme si přírůstek funkce: , tak ( Viz ) $x\in {\mathbb {D}} (f)$ $\Delta x$ $\Delta y=tg(x+\Delta x)-tg(x)={\frac {sin(x+\Delta xx)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)))={ \frac {sin(\Delta x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}$ $\lim _{x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\frac {sin(\Delta x )}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin(\Delta x)}{\Delta x}}\cdot$ $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)))={\frac {1}{cos^{2}( X)}}$ Důkaz 2 $(tgx)'=({\frac {sin(x)}{cos(x))))'={\frac {(sin(x))'\cdot cos(x)-sin(x) \cdot (cos(x))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {cos(x)\cdot cos(x)-sin(x)\cdot (-sin(x)) }{cos^{2}(x)}}={\frac {cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)))={\frac {1}{cos^{2}(x)}}$
$\mathrm {ctg} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}{x))))$	Důkaz $(ctgx)'=({\frac {cos(x)}{sin(x))))'={\frac {(cos(x)'\cdot sin(x)-cos(x) \cdot (sin(x))'}{sin^{2}(x)}}={\frac {-sin(x)\cdot sin(x)+cos(x)\cdot cos(x)}{ sin^{2}(x)}}=-{\frac {sin^{2}(x)+cos^{2}(x)}{sin^{2}(x)))=-{\frac {1}{sin^{2}(x)}}$
$\mathrm {sec} \x$	$\mathrm {sec} \ x\cdot \mathrm {tg} \ x$	Důkaz $(sec(x))'=({\frac {1}{cos(x))))'={\frac {(1)'\cdot cos(x)-1\cdot (cos(x) ))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {sin(x)}{cos^{2}(x)}}=sec(x)\cdot tg(x)$
$\mathrm {cosec} \x$	$-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x$	Důkaz $(cosec(x))'=({\frac {1}{sin(x))))'={\frac {(1)'\cdot sin(x)-1\cdot (sin(x) ))'}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {cos(x)}{sin^{2}(x)}}=-coses(x)\cdot ctg(x)$
$\arcsin {x}$	${\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Důkaz Derivaci arkussinus můžete najít pomocí vzájemně inverzních funkcí. Poté musíme vzít derivaci těchto dvou funkcí. Nyní musíme vyjádřit derivaci arkussinus. Na základě goniometrické identity ( ) - dostaneme. Abyste pochopili plus nebo mínus, musíte se podívat na rozsah hodnot kosinus. Protože kosinus je ve 2. a 4. kvadrantu, ukazuje se, že kosinus je kladný. Ukazuje se. $sin(arcsin((x))=x$ $[sin(arcsin((x))]'=x'$ $cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{cos(arcsin(x))))$ $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))}$ $D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2);-{\frac {\pi }{2))]$ ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\arccos {x}$	$-{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Důkaz Derivát arkosinu můžete najít pomocí této identity: Nyní najdeme derivát obou částí této identity. Nyní vyjádříme derivaci arkosinu. Ukazuje se. $arcsin(x)+arccos(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arcsin(x)+arccos(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arcsin(x))'+(arccos(x))'=0$ $(arccos(x))'=-(arcsin(x))'$ $(arccos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))$
$\mathrm {arctg} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2))))$	Důkaz Derivaci arkus tangens můžete najít pomocí reciproké funkce: Nyní najdeme derivaci obou částí této identity. Nyní musíme vyjádřit derivaci arkus tangens: Nyní nám pomůže identita ( ) : Ukazuje se. $tg(arctg(x))=x$ $[tg(arctg(x))]'=1$ ${\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))))\cdot (arctg(x))'=1$ $(arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))$ ${\displaystyle cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x)))))$ ${\displaystyle (arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x)))))^{2))$ ${\displaystyle (arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcctg} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2))))$	Důkaz Pomocí této identity můžete najít derivaci inverzní tečny: Nyní najdeme derivaci obou částí této identity. Nyní vyjádříme derivaci inverzní tečny. Ukazuje se. $arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arctg(x))'+(arctg(x))'=0$ $(arctg(x))'=-(arctg(x))'$ ${\displaystyle (arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2))))$
$\mathrm {arcsec} \ x$	${\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Důkaz Derivát arcsekantu můžete najít pomocí identity: $arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x)))$ Nyní najdeme derivát obou částí této identity. $(arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x))))'$ $(arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2))))))\cdot (-{\frac {1 }{x^{2}}})$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2)))))))$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\|x\|}}}}$ Ukazuje se. $(arcsec(x))'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arccosec} \ x$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Důkaz Pomocí této identity můžete najít derivaci úhlového kosekansu: Nyní najdeme derivaci obou částí této identity. Nyní vyjádříme derivaci arkosinu. Ukazuje se. $arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0$ $(arccosec(x))'=-(arcsec(x))'$ $(arccosec(x))'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {sh} \x$	$\mathrm {ch} \ x$	Důkaz $(\operatorname {sh} {x})'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1} {2}}\cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-(-1)\cdot e^{ -x})={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\jméno operátora {ch} {x}$
$\mathrm {ch} \ x$	$\mathrm {sh} \x$	Důkaz $(\operatorname {ch} {x})'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1} {2}}\cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+(-1)\cdot e^{ -x})=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)=\jméno operátora {sh} {x}$
$\mathrm {th} \ x$	${\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x))$	Důkaz $(th(x))'=({\frac {sh(x)}{ch(x))))'={\frac {(sh(x))'\cdot ch(x)-sh (x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x) }{ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)))={\frac {1}{ch^{2}(x)}}$
$\mathrm {cth} \x$	$-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x))$	Důkaz $(cthx)'=({\frac {ch(x)}{sh(x))))'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)-ch(x) \cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x)}{sh ^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)))=-{\frac {1 }{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {sch} \ x$	$-{\frac {\operatorname {sh} (x)}{\operatorname {ch} ^{2}(x)))$	Důkaz $(sch(x))'=({\frac {1}{ch(x))))'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x) ))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)}}$
$\mathrm {csch} \x$	$-{\frac {\operatorname {ch} (x)}{\operatorname {sh} ^{2}(x)))$	Důkaz $(csch(x))'=({\frac {1}{sh(x))))'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x ))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {arsh} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$	Důkaz ${\displaystyle (arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}+1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1))))\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}+1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}+1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} +1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$
$\mathrm {arch} \ x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$	Důkaz ${\displaystyle (arch(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}-1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1))))\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}-1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}-1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} -1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arth} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Důkaz $({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x} {1-x}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\biggl ( }{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{ 2}}}$
$\mathrm {arcth} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Důkaz $({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1} {x-1}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\biggl ( }{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{1-x^ {2}}}$
$\mathrm {arsech} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x)))))))$
$\mathrm {arcsch} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2))))))))))$

Derivace vektorové funkce s ohledem na parametr

Definujme derivaci vektorové funkce s ohledem na parametr: ${\mathbf {r}} (t)$

{\frac {d}{dt}}{\mathbf {r}}(t)=\lim _{{h\to 0}}{\frac {{\mathbf {r}}(t+h)-{ \mathbf {r}}(t)}{h}}

Pokud v bodě existuje derivace , říká se, že vektorová funkce je v tomto bodě diferencovatelná. Souřadnicové funkce pro derivaci budou . $t$ $x'(t),\y'(t),\z'(t)$

Vlastnosti derivace vektorové funkce (všude se předpokládá, že derivace existují):

${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t)+{\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_ {1}}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}$ Derivace součtu je součtem derivací.
${\frac {d}{dt}}(f(t){\mathbf {r}}(t))={\frac {df(t)}{dt}}{\mathbf {r}}(t) +f(t){\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}$ — zde je diferencovatelná skalární funkce . $f(t)$
${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_{ 1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)+{\mathbf {r_{1}}}(t){\frac {d{\mathbf {r_{ 2}}}(t)}{dt}}$ - diferenciace skalárního součinu .
${\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t),\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf { r_{1}} (t)}{dt}},\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t),{\frac {d\ mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]$ — diferenciace vektorového součinu .
${\frac {d}{dt}}({\mathbf {a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t))=\left({\ frac {d{\mathbf {a}}(t)}{dt}},{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf {a}}(t),{\frac {d{\mathbf {b}}(t)}{dt}},{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf { a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\frac {d{\mathbf {c}}(t)}{dt}}\right)$ je diferenciace smíšeného produktu .

Způsoby nastavení derivací

Jacksonův derivát [5] :

D_{{x}}^{{q}}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.

Variace a zobecnění

Zobecnění derivací

Viz také

Poznámky

↑ Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Algebra a začátek analýzy. Učebnice pro 10-11 tříd střední školy. - M., Vzdělávání, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . - C. 155-156
↑ Komkov G. D. , Levšin B. V., Semenov L. K. Akademie věd SSSR. Krátký historický esej (ve dvou svazcích). - 2. vyd. - M .: Science , 1977. - T. 1. 1724-1917. - S. 173.
↑ Derivace součtu se rovná součtu derivací
↑ Z toho zejména vyplývá, že derivace součinu funkce a konstanty je rovna součinu derivace této funkce a konstanty
↑ AI Olemskoi, SS Borysov,a a IA Shuda. Statistické teorie pole deformované v rámci různých kalkulů . Získáno 21. dubna 2014. Archivováno z originálu dne 21. září 2017. (neurčitý)

Literatura

Vilenkin N., Mordkovich A. Co je derivát // Kvant. - 1975. - č. 12 .
V. G. Boltyansky , Co je diferenciace?, " Populární přednášky v matematice ", číslo 17, Gostekhizdat 1955, 64 stran.
V. A. Gusev , A. G. Mordkovich "Matematika"
G. M. Fikhtengolts "Kurz diferenciálního a integrálního počtu ", svazek 1
V. M. Borodikhin , Vyšší matematika , učebnice. manuál, ISBN 5-7782-0422-1

Odkazy

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Skvělý norský Velký Rus okolo světa Britannica (online) Treccani
V bibliografických katalozích	GND : 4233840-2 J9U : 987007574837105171 LCCN : sh2011005437 NDL : 00560650 NKC : ph137564