Lineární funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. září 2021; kontroly vyžadují 6 úprav .

Lineární funkce - funkce tvaru

y=kx+b

(pro funkce jedné proměnné).

Hlavní vlastností lineárních funkcí je, že přírůstek funkce je úměrný přírůstku argumentu. To znamená, že funkce je zobecněním přímé úměrnosti .

Graf lineární funkce je přímka , proto je její název souvislý. To se týká reálné funkce jedné reálné proměnné.

V případech se lineární funkce nazývají homogenní (toto je v podstatě synonymum pro přímou úměrnost), na rozdíl od nehomogenních lineárních funkcí . $b=0$ $b\neq 0$

Vlastnosti

$k$ ( sklon přímky) je tečna úhlu , který přímka svírá s kladným směrem osy x a lze ji nalézt ze vzorce . $\alpha \in \left[0;{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2));\pi \right),$ $k=\mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{1} -y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$
Když , přímka svírá ostrý úhel s kladným směrem osy x . $k>0$
Když , čára svírá s kladným směrem osy x tupý úhel . $k<0$
V je přímka rovnoběžná s osou x . $k=0$

Úhel mezi dvěma přímkami daný rovnicemi a je určen rovností: kde , to znamená, že přímky nejsou vzájemně kolmé; pro a přímky jsou rovnoběžné. $y=k_{1}x+b_{1},$ $y=k_{2}x+b_{2},$ ${\mathrm {tg}}\,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|,$ $k_{1}k_{2}\neq -1,$ $k_{1}=k_{2},~\alpha =0$

$b$ je index pořadnice průsečíku přímky s osou y .
Pro , čára prochází počátkem. $b=0$

Lineární funkce je monotónní a nekonvexní v celém definičním oboru , derivace a primitivní funkce budou zapsány: $(\mathbb {R} )$ $f'(x)$ $F(x)$ $f(x)=kx+b$

$f'(x)=k$
$F(x)={\frac {kx^{2}}{2}}+bx+C$

Inverzní funkce k : $f(x)$ $f^{-1}(x)={\frac {1}{k}}\,x-{\frac {b}{k}}$

Lineární funkce několika proměnných

Lineární funkce proměnných - funkce tvaru $n$ $x=(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n})$

f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\tečky +a_{n}x_{n}

kde jsou nějaká pevná čísla. Oblastí definice lineární funkce je celorozměrný prostor reálných nebo komplexních proměnných . Když se lineární funkce nazývá homogenní nebo lineární forma . $a_{0},a_{1},a_{2},\tečky ,a_{n}$ $n$ $x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}$ $a_{0}=0$

Pokud jsou všechny proměnné a koeficienty reálná čísla, pak graf lineární funkce v -rozměrném prostoru proměnných je -rozměrná nadrovina $x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}$ $a_{0},a_{1},a_{2},\tečky ,a_{n}$ $(n+1)$ $x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n},y$ $n$

y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\tečky +a_{n}x_{n}

konkrétně at je přímka v rovině. $n=1$

Abstraktní algebra

Pojem "lineární funkce" nebo přesněji "lineární homogenní funkce" se často používá pro lineární zobrazení vektorového prostoru přes nějaké pole do tohoto pole, tedy pro takové zobrazení , že pro libovolné prvky a jakoukoli rovnost $X$ $K$ $f:X\to K$ $x,y\v X$ $\alpha ,\beta \in K$

f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)

navíc se v tomto případě místo pojmu "lineární funkce" používají také pojmy lineární funkcionál a lineární forma - myšleno také lineární homogenní funkce určité třídy.

Algebra logiky

Booleovská funkce se nazývá lineární, pokud existují takové , kde , že pro všechny platí rovnost: $f(x_{1},x_{2},\tečky,x_{n})$ $a_{0},a_{1},a_{2},\tečky ,a_{n}$ $a_{i}\in \{0,1\},\forall i=\overline {1,n}$ $x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}$

f(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n})=a_{0}\oplus a_{1}\cdot x_{1}\oplus a_{2}\cdot x_{2}\ oplus \dots \oplus a_{n}\cdot x_{n}

Nelineární funkce

Pro funkce, které nejsou lineární, použijte termín nelineární funkce . Totéž platí pro použití slova nelineární ve vztahu k jiným objektům, které nemají vlastnost linearity, například nelineární diferenciální rovnice . Obvykle se tento termín používá, když je funkční závislost nejprve aproximována jako lineární, a pak se pokračuje ke studiu obecnějšího případu, často počínaje nižšími mocninami, například s uvažováním kvadratických korekcí.

Nelineární rovnice jsou spíše libovolné. Funkce je například nelineární . $y=x^2$

V některých případech lze tento termín také aplikovat na závislosti , kde , tedy na nehomogenní lineární funkce, protože nemají vlastnost linearity, jmenovitě v tomto případě a . Například pro materiál s kalením se uvažuje nelineární vztah (viz teorie plasticity ). $f=kx+b$ $b\neq 0$ $f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})$ $f(cx)\neq cf(x)$ $\sigma (\tau)$

Viz také

Literatura

Příručka matematiky pro inženýry a studenty vysokých škol. Bronstein I. N., Semendyaev K. A. - M .: Nauka, 1981. - 720 s., ill.