Celá racionální funkce

Celá racionální funkce (také polynomická funkce ) je numerická funkce definovaná polynomem . Nejjednoduššími představiteli celé racionální funkce jsou funkce konstantní , lineární a kvadratické .

Spolu se zlomkovými racionálními funkcemi jsou speciálním případem racionálních funkcí celé racionální funkce .

Definice

Celá racionální funkce je funkcí jedné reálné proměnné tvaru:

f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x +a_{0}=\součet _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},

kde a . _ $n\in \mathbb{N}$ $a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{2},a_{1},a_{0}\in \mathbb {R}$ $a_{n}\neq 0$

Jinými slovy, celá racionální funkce je lineární kombinací několika mocninných funkcí .

Poznámky

Speciálním případem celé racionální funkce je funkce , jejíž všechny koeficienty jsou rovny nule. $f(x)=0$

Přirozené číslo (největší exponent proměnné ) určuje stupeň polynomiální funkce. $n$ $X$
Reálná čísla se nazývají koeficienty polynomiální funkce. V tomto případě se toto číslo často nazývá vyšší koeficient a číslo se nazývá volný koeficient. ${\displaystyle a_{n},\ldots ,a_{2},a_{1},a_{0))$ $a_n$ $a_{0}$

Typy

Pro , polynomiální funkce degeneruje do konstantní funkce $n=0$ ${\displaystyle f(x)=a_{0))$
Když je získána lineární funkce . $n=1$ ${\displaystyle f(x)=a_{1}x+a_{0))$
Když , je získána kvadratická funkce . $n=2$ ${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0))$
Když , získá se kubická funkce . $n=3$ ${\displaystyle f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0))$
Pokud jsou všechny ostatní koeficienty stejné , pak existuje mocninná funkce s přirozeným exponentem. $a_{n}\neq 0$ $0$ ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n))$

Příklady

Funkce je polynomiální funkce třetího stupně s koeficienty ; ; a . $f(x)=-2x^{3}+3x^{2}-5x+4$ $-2$ $3$ $-5$ $čtyři$
Funkce je polynomiální funkce pátého stupně s koeficienty ; ; ; ; a . $f(x)=x^{5}+3x^{3}+5x$ $jeden$ $0$ $3$ $0$ $5$ $0$
Funkce je polynomiální funkce druhého stupně (tj. kvadratická funkce) s koeficienty a . $f(x)={\frac {1}{3}}x^{2}-{\sqrt {2}}$ ${\frac {1}{3))$ $-{\sqrt {2))$

Základní vlastnosti

Doména, množina hodnot, limity

Polynomiální funkce nad polem reálných čísel je definována všude a je spojitá v celém svém oboru definice. Jeho množina hodnot je také podmnožinou množiny reálných čísel. Pro sudou množinu hodnot, v závislosti na znaménku vedoucího koeficientu , bude ohraničen shora nebo zdola (viz také tabulka). $n$ $a_n$

Limita polynomiální funkce v nekonečnu vždy existuje a její konkrétní hodnota závisí na rovnosti stupně a znaménka při nejvyšším koeficientu . V tomto případě se graf polynomiální funkce chová úplně stejně jako graf mocninné funkce : $x\to \pm \infty$ $n$ $a_n$ ${\displaystyle g(x)=a_{n}x^{n))$

	dokonce $n$		zvláštní $n$
$a_{n}>0$	$f(x)\to +\infty$ at (množina hodnot je omezena zdola) $x\to \pm \infty$		$f(x)\to -\infty$ v at $x\to -\infty$ $f(x)\to +\infty$ $x\to +\infty$
$a_{n}<0$	$f(x)\to -\infty$ at (množina hodnot je ohraničena shora) $x\to \pm \infty$		$f(x)\to +\infty$ v at $x\to -\infty$ $f(x)\to -\infty$ $x\to +\infty$

Limita polynomické funkce v každém bodě se shoduje s hodnotou funkce v tomto bodě: . $x_{0}$ $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

Například pro funkci máme: $f(x)=3x^{8}-5x^{4}+1$

\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }(3x^{8})=+\infty

\lim _{x\to 1}f(x)=f(1)=3-5+1=-1

Parita a symetrie

Polynomiální funkce je sudá , jestliže všechny exponenty v jejím zápisu jsou sudá čísla . Graf takové funkce má osovou symetrii vzhledem k ose y ) . Tato symetrie probíhá díky rovnosti , která platí pro sudé funkce. Například následující polynomiální funkce jsou sudé: $f(-x)=f(x)$

${\displaystyle f(x)=-2x^{4}+3x^{2))$ s indikátory a $čtyři$ $2$
$f(x)=-2x^{4}+3x^{2}+1$ s indikátory ; a $čtyři$ $2$ $0$
$f(x)=5x^{6}-2$ s indikátory a $6$ $0$

Polynomiální funkce je lichá, pokud jsou všechny exponenty v jejím zápisu lichá čísla. Graf takové funkce má středovou symetrii vzhledem ke středu souřadnicového systému ). K této symetrii dochází díky rovnosti , která platí pro liché funkce. Například následující polynomiální funkce jsou liché: $f(-x)=-f(x)$

${\displaystyle f(x)=2x^{7}-3x^{5))$ s indikátory a $7$ $5$
$f(x)=-2x^{5}+3x^{3}-2x$ s indikátory ; a $5$ $3$ $jeden$

Pokud polynomická funkce obsahuje sudé i liché exponenty, není funkce ani sudá, ani lichá. Z tohoto důvodu jeho graf nemá symetrii ani vzhledem k ose y, ani vzhledem ke středu souřadnicového systému. Takové funkce však mohou mít složitější případy symetrie. Zejména jsou pravdivá následující tvrzení:

Jestliže pro nějaké číslo , pak graf této funkce má osovou souměrnost vzhledem k přímce . $f(x_{0}+x)=f(x_{0}-x)$ $x_{0}\in \mathbb {R}$ $x = x_0$
Jestliže pro nějakou dvojici čísel , pak graf této funkce má středovou symetrii vzhledem k bodu . ${\displaystyle f(x_{0}+x)-y_{0}=-f(x_{0}-x)+y_{0))$ $x_{0},y_{0}\in \mathbb {R}$ $P(x_{0}|y_{0})$

Kromě toho mají také následující vlastnosti:

Graf každé polynomiální funkce druhého stupně je symetrický vzhledem k přímce procházející rovnoběžně s osou y vrcholem paraboly , která je zároveň krajním bodem této funkce.
Graf každé polynomiální funkce třetího stupně je symetrický vzhledem k jejímu inflexnímu bodu .

Derivát a primitivní

Pravidla diferenciace

$(u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x)$
${\displaystyle (a\cdot x^{n})'=a\cdot n\cdot x^{n-1))$
$(a)'=0$

Integrační pravidla

$\int [u(x)+v(x)]dx=\int u(x)dx+\int v(x)dx$
$\int (a\cdot x^{n})dx={\dfrac {a}{n+1}}\cdot x^{n+1}+C$
$\int \!a\,dx=ax+C$

Polynomiální funkce je diferencovatelná v celém svém oboru definice . Jeho derivát lze snadno najít pomocí elementárních pravidel diferenciace. Derivace funkce se tedy vypočítá takto: $f(x)=2x^{3}-4x^{2}+5x-1$

{\begin{aligned}f'(x)&=(2x^{3}-4x^{2}+5x-1)'=\\&=(2x^{3})'+(- 4x^{2})'+(5x)'+(-1)'=\\&=2\cdot 3x^{2}-4\cdot 2x+5\cdot 1x^{0}-1\cdot 0 =\\&=6x^{2}-8x+5=\end{aligned}}

Polynomiální funkce je také integrovatelná přes celou svou doménu definice . Jeho primitivní prvek lze také snadno najít pomocí elementárních integračních pravidel. Například primitivní funkce stejné funkce jako ve výše uvedeném příkladu se vypočítá takto: $f(x)$

F(x)=\int (2x^{3}-4x^{2}+5x-1)dx={\frac {1}{2}}x^{4}-{\frac {4 }{3}}x^{3}+{\frac {5}{2}}x^{2}-x+c

, kde

c\in \mathbb {R} .

Je snadné vidět, že derivace a primitivní funkce polynomiálního stupně jsou také samy o sobě polynomiální. Navíc funkce má stupeň a funkce má stupeň (kromě triviálního případu, kdy ). $f(x)$ $n$ $f'(x)$ $n-1$ $F(x)$ $n+1$ $f(x)=0$

Singulární body polynomiální funkce

Výpočet nul funkce

Nuly polynomické funkce se shodují s kořeny polynomu přítomného v její rovnici. K nalezení nul je tedy nutné vyřešit rovnici . Metoda řešení do značné míry závisí na konkrétní rovnici funkce. $f(x)=0$

Pokud je funkce zapsána v faktorizovaném tvaru , kde každý z faktorů je lineární binom , pak reálná čísla , , … jsou nuly funkce a přirozená čísla , , … ukazují násobnost odpovídajících nul této funkce funkce. V tomto případě je splněna podmínka: . Stupeň funkce tedy určuje maximální možný počet jejích nul nad oborem reálných čísel . V případě zobecnění polynomiální funkce na obor komplexních čísel bude v souladu se základní větou algebry platit následující rovnost: . ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0))$ $f(x)=a_{n}\cdot (x-x_{1})^{k_{1}}\cdot (x-x_{2})^{k_{2}}\dotsb (x -x_{m})^{k_{m}}$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{m}$ $f(x)$ $k_{1}$ $k_{2}$ $k_m$ $k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{m}\leq n$ $n$ $f(x)$ $k_{1}+k_{2}+\dotsb +k_{m}=n$

Takže například polynomická funkce má tři nuly, a to: (násobek 3), (násobek 1) a (násobek 2). Čtvercový binom nemá žádné skutečné kořeny, takže jej nelze dále rozkládat na lineární faktory. $f(x)=-0{,}01\cdot x^{3}\cdot (x-2)\cdot (x+3)^{2}\cdot (x^{2}+1)$ $x_{1}=0$ $x_{2}=2$ $x_{3}=-3$ $x^{2}+1$

Obecně platí, že k nalezení nul polynomiální funkce stupně a metody používané k řešení lineárních a kvadratických rovnic se používají . K nalezení nul polynomiální funkce stupně lze tam, kde je to možné, použít různé speciální metody řešení algebraických rovnic vyšších stupňů (zejména pro bikvadratické a mocninné rovnice). V obecnějších případech se používají buď takové univerzální metody, jako je dělení polynomů sloupcem nebo Hornerovo schéma , které však umožňují najít pouze celočíselná (přesná) řešení, nebo se používají numerické metody (například Newtonova metoda ) k nalezení všech (ale pouze přibližná) řešení. $n=1$ $n=2$ $n\ge 3$

Metody pro hledání celočíselných kořenů polynomu jsou založeny na důsledku Bézoutovy věty . Konkrétně, pro rozklad polynomiální funkce s celočíselnými koeficienty, nejprve ze všech dělitelů volného koeficientu vybereme jeden libovolný kořen , tedy takové celé číslo, pro které platí: . Poté dělením polynomu binomem sloupcem nebo pomocí Hornerova schématu se původní polynom rozloží na tvar , kde je polynom stupně . Stupeň původní funkce a tím i její složitost se tak snižuje. Hledání nul funkce je redukováno na hledání nul funkce . ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0))$ $a_{0}$ $x_{0}$ $f(x_{0})=0$ $f(x)$ ${\displaystyle x-x_{0))$ $f(x)=(x-x_{0})\cdot g(x)$ $g(x)$ $n-1$ $f(x)$ $g(x)$

Chcete-li tedy například najít nuly funkce (viz příklad) s celočíselnými koeficienty, nejprve se „uhádne“ jeden kořen (číslo je mezi děliteli čísla ) a poté se původní polynom vydělí binomem . Další hledání zbývajících nul funkce je redukováno na hledání nul výsledné funkce , které lze snadno najít řešením odpovídající kvadratické rovnice. $f(x)=x^{3}-12x^{2}+5x+150$ $5$ $150$ $f(x)$ $x-5$ $f(x)$ $g(x)=x^{2}-7x-30$

Monotónnost a extrémní body

Protože nezbytnou podmínkou pro existenci lokálního extrému funkce v bodě je nulová hodnota sklonu v něm, je pro nalezení extrému polynomické funkce nutné vyřešit rovnici , tj. nuly její derivační funkce. Protože derivace polynomické funkce je sama o sobě polynomickou funkcí (nižšího stupně), používají se k nalezení potenciálních extrémů stejné metody jako k výpočtu nul samotné funkce. Z vlastnosti o počtu kořenů polynomu můžeme usoudit, že polynomická funkce stupně může mít teoreticky až lokální extrémy. Je také snadné vidět, že mezi libovolnými dvěma nulami polynomiální funkce je nutně alespoň jeden lokální extrém. $x_{0}$ $f'(x)=0$ $x_{0}$ $n$ $n-1$

Vzhledem k tomu, že jakákoli polynomická funkce je spojitá a v každém bodě dvakrát diferencovatelná , pak pro kontrolu existence lokálního maxima a lokálního minima polynomiální funkce stačí ujistit se, že nalezená hodnota (nula derivace funkce) vyhovuje jedno z dostatečných kritérií. $f(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$

Kritérium pro druhou derivaci:

Jestliže a , potom je místní maximální bod. $f'(x_{0})=0$ $f''(x_{0})<0$ $x_{0}$
Jestliže a , potom je místní minimální bod. $f'(x_{0})=0$ $f''(x_{0})>0$ $x_{0}$
Jestliže a , pak nelze vyvodit žádný závěr ohledně tohoto bodu . $f'(x_{0})=0$ $f''(x_{0})=0$ $x_{0}$

Kritérium pro první derivaci:

Pokud a změní znaménko z "plus" na "minus" při průchodu bodem , pak se jedná o lokální maximální bod. $f'(x_{0})=0$ $f'(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$
Pokud a změní znaménko z "minus" na "plus" při průchodu bodem , pak se jedná o místní minimální bod. $f'(x_{0})=0$ $f'(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$
Pokud a nemění znaménko při průjezdu bodem , pak se nejedná o bod lokálního minima („ seddlový bod “). $f'(x_{0})=0$ $f'(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$

Konvexnost a inflexní body

Nezbytnou podmínkou existence inflexního bodu funkce v bodě (tedy v bodě, ve kterém se mění konvexnost grafu funkce) je nulová hodnota druhé derivace v něm. K nalezení inflexních bodů polynomiální funkce je tedy nutné vyřešit rovnici . Z vlastnosti o počtu kořenů polynomu můžeme usoudit, že polynomická funkce stupně může mít až inflexních bodů. $x_{0}$ $f''(x)=0$ $n$ $n-2$

Vzhledem ke spojitosti a mnohonásobné diferencovatelnosti polynomické funkce v každém bodě postačí pro kontrolu existence inflexních bodů ujistit se, že nalezená hodnota (nula druhé derivace) splňuje jedno z dostatečných kritérií. $f(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$

Třetí derivační kritérium:

Jestliže a , pak bod je inflexní bod. $f''(x_{0})=0$ $f'''(x_{0})\neq 0$ $x_{0}$
Jestliže a , pak nelze vyvodit žádný závěr ohledně tohoto bodu . $f''(x_{0})=0$ $f'''(x_{0})=0$ $x_{0}$

Kritérium pro druhou derivaci:

Pokud a změní znaménko při průchodu bodem , pak je to inflexní bod. $f''(x_{0})=0$ $f''(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$
Pokud a nemění znaménko při průchodu bodem , pak to není inflexní bod. $f''(x_{0})=0$ $f''(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$

Chcete-li například najít inflexní body funkce , provedou se následující výpočty: ${\displaystyle f(x)=x^{3}+2x^{2))$

f'(x)=3x^{2}+4x,\quad f''(x)=6x+4,\quad f'''(x)=6.

Protože v a , pak existuje inflexní bod. $f''(x)=0$ $x=-{\frac {2}{3}}$ $f'''(-{\frac {2}{3)))=6\neq 0$ $x_{0}=-{\frac {2}{3))$

Funkce zároveň nemá inflexní bod v , přestože jsou splněny následující podmínky: $g(x)=x^{4}-x$ $x_{0}=0$

g'(x)=4x^{3}-1,\quad f''(x)=12x^{2},\quad f'''(x)=24x.

Protože pro , ale , je nutné použít kritérium pro druhou derivaci. Protože funkce může nabývat pouze kladných hodnot, nedochází ke změně znaménka, takže funkce nemá inflexní bod v . $g''(x)=0$ $x_{0}=0$ $g'''(0)=0$ ${\displaystyle g''(x)=12x^{2))$ $g(x)$ $x_{0}=0$

Grafické spojení mezi singulárními body

K určení násobnosti nul polynomiální funkce lze využít skutečnosti, že jakákoli polynomická funkce je násobně diferencovatelná. Pokud je tedy nula násobnosti (ale ne násobnosti ) polynomické funkce , platí následující podmínky: $x_{0}$ $k$ $k+1$ $f(x)$

f(x_{0})=0,\quad f'(x_{0})=0,\quad f''(x_{0})=0,\quad \dotsc ,\quad f^{ (k-1)}(x_{0})=0,\quad f^{(k)}(x_{0})\neq 0.

Například pro funkci platí: ; a . Protože , potom je nula funkce . Poté běží: , a . Tedy je nula násobku 3! $f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x-1$ $f'(x)=3x^{2}-6x+3$ $f''(x)=6x-6$ $f'''(x)=6$ $f(1)=1-3+3-1=0$ $x_{0}=1$ $f(x)$ $f'(1)=3-6+3=0$ $f''(1)=6-6=0$ $f'''(1)=6\neq 0$ $x_{0}=1$

Násobnost nul lze vidět z grafu polynomiální funkce:

V případě nulové násobnosti 1 graf funkce protíná osu x . Zároveň nedochází k žádné změně monotónnosti funkce v bodě , protože druhá derivace v tomto bodě není rovna nule! $x_{0}$ $x_{0}$
Pokud má nula sudou násobnost 2, 4, 6 atd., pak je zřejmé, že a . Graf funkce se tedy bude dotýkat osy x v bodě , který má v sobě extrém . Monotónnost funkce v se změní. $x_{0}$ $f'(x_{0})=0$ $f''(x_{0})\neq 0$ $x_{0}$ $x_{0}$
Pokud má nula lichou násobnost 3, 5, 7 atd., pak s ohledem na , a , bude mít graf funkce inflexní bod („ seddlový bod “). Monotónnost funkce v se nezmění. $x_{0}$ $f'(x_{0})=0$ $f''(x_{0})=0$ $f'''(x_{0})\neq 0$ $x_{0}$ $x_{0}$

Literatura

Shneider V. E. et al. Celé a zlomkově-racionální funkce // Krátký kurz vyšší matematiky. - M . : "Vysoká škola", 1972. - S. 27-28. — 640 s.

Gelfand I.M., Glagoleva E.G., Shnol E.E. Polynomy // Funkce a grafy (základní techniky). — M .: MTSNMO , 2006. — 120 s. — ISBN 5-94057-131-X .

Lotharova papula. Ganzrationale Funktionen // Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: [ německy. ] . - Wiesbaden : Vieweg + Teubner, 2009. - T. 1. - S. 190-212. — ISBN 978-3-8348-0545-4 .

Stephen Bucher. Ganzrationale Funktionen höheren Grades // Anwendungsorientierte Mathematik für Techniker: [ německy. ] . - München: Cal Hanser Verlag, 2016. - S. 106-114. - ISBN 978-3-446-44244-3 .

Odkazy

Derivát mocninné funkce // math24.ru