Faktorizace polynomů

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. listopadu 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Faktorizace polynomu je zobrazením daného polynomu jako součinu polynomů nižších stupňů.

Základní věta algebry říká, že každý polynom na poli komplexních čísel může být reprezentován jako součin lineárních polynomů a jednoznačně až do konstantního faktoru a pořadí faktorů.

Opakem faktoringu polynomů je jejich rozšiřování , násobení polynomiálních faktorů k vytvoření "rozšířeného" polynomu zapsaného jako součet členů.

Kvadratické polynomy

Jakýkoli kvadratický polynom na komplexních číslech (polynomy ve tvaru , kde: , , a ∈ ) lze faktorizovat pomocí výrazů tvaru pomocí kvadratické rovnice . Tato metoda je následující: $ax^{2}+bx+c$ $A$ $b$ $C$ $\mathbb {C}$ $a(x-\alpha )(x-\beta)\$

{\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=a(x-\alpha )(x-\beta )\\&=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b ^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right), \end{aligned}}

kde: a jsou dva kořeny polynomu nalezeného při řešení kvadratické rovnice . $\alpha$ $\beta$

Polynomy na celých číslech

(mx+p)(nx+q),

kde:

mn=a,\ pq=c

pn+mq=b.

Můžete přirovnat každý binom k nule a najít dva kořeny pro x . Při faktoringu stačí k řešení kvadratické rovnice použít tyto konkrétní vzorce. Vezměme si jako příklad 2 x 2 − 5 x + 2 = 0. Protože a = 2 a mn = a , mn = 2, což znamená, že m a n jsou 1 a 2. Nyní máme (2 x + p )( x + q ) = 0. Protože c = 2 a pq = c, pq = 2, což znamená, že p a q jsou obě 1 a 2, nebo jedna z nich je −1 a druhá −2. Dosazením 1 a 2 nebo −1 a −2 za p a q (protože pn + mq = b ), vidíme, že 2 x 2 − 5 x + 2 = 0 rozklad na (2 x − 1)( x − 2 ) = 0, přičemž kořeny x = {0,5, 2}

Poznámka: Rychlý způsob, jak určit, zda je druhý člen kladný nebo záporný (jako v příkladu výše, 1 a 2 nebo −1 a −2), je zkontrolovat druhou operaci trinomu (+ nebo −). Pokud je +, pak zkontrolujeme první operaci: pokud je také +, člen bude kladný, a pokud je operace −, bude člen záporný. Pokud je druhá operace −, pak bude jeden člen kladný a druhý záporný. Tento test je jediný způsob, jak určit, který termín je pozitivní a který negativní.

Jestliže polynom s celočíselnými koeficienty má diskriminant , který je dokonalým čtvercem, pak je polynom rozložitelný na celá čísla.

Uvažujme například polynom 2 x 2 + 2 x − 12. Pokud dosadíme hodnoty v kvadratickém vzorci, pak diskriminant b 2 − 4 ac bude 2 2 − 4 × 2 × −12 a roven 100. Číslo 100 je dokonalý čtverec, takže polynom 2 x 2 + 2 x − 12 je faktorizován celými čísly; tyto faktory jsou 2, ( x − 2) a ( x + 3).

Nyní uvažujme polynom x 2 + 93 x − 2. Jeho diskriminant 93 2 − 4 × 1 × (−2) je 8657, což není dokonalý čtverec. Proto výraz x 2 + 93 x − 2 nelze faktorizovat na celá čísla.

Kompletní čtvercový trojčlen

Některé kvadratické rovnice lze faktorizovat dvěma identickými binomy. Takové rovnice se nazývají úplné čtvercové trinomy. Úplný čtvercový trojčlen lze faktorizovat takto:

a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2},

a^{2}-2ab+b^{2}=(ab)^{2}.

Součet/rozdíl dvou čtverců

Další obecná metoda algebraického rozkladu se nazývá rozdíl dvou čtverců. Spočívá v aplikaci vzorce

a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab),

na libovolné dva členy, ať už jsou úplné kvadratické nebo ne. Pokud jsou dva členy odečteny, pak stačí použít vzorec. Pokud se sečtou, pak oba binomy získané rozkladem budou mít imaginární člen. Tento vzorec může být reprezentován jako:

a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi).

Můžete například faktorizovat na . $4x^{2}+49$ $(2x+7i) (2x-7i)$

Seskupení

Další metodou pro faktorizaci některých polynomů je faktorizace seskupení. Pro ty, kteří rádi navrhují algoritmy, může být „skupovací faktorizace“ nejpříjemnějším přístupem k trinomické faktorizaci, protože vyžaduje určité dohady, jak proces skončí.

Faktorizace seskupení se provádí uspořádáním členů polynomu do dvou nebo více skupin, z nichž každá může být faktorizována známým způsobem. Výsledky těchto rozkladů lze někdy zkombinovat, aby se získal jednodušší výraz. Například rozklad polynomu na faktor:

$4x^{2}+20x+3yx+15y$

podobní členové skupiny: $(4x^{2}+20x)+(3yx+15y)$

faktorizovat přes největšího společného dělitele , $4x(x+5)+3y(x+5)$

a rozklad na dvojčleny $(x+5)(4x+3y)$

AC metoda

Pokud má čtvercová trojčlenka racionální řešení, můžeme najít p a q takové, že a . (Pokud je diskriminant druhou mocninou čísla, pak existují, jinak budeme mít iracionální nebo komplexní řešení a předpoklad racionálního řešení je neplatný.) $pq=ac$ $p+q=b$